Theorem alephsucdom 10008

Description: A set dominated by an aleph is strictly dominated by its successor aleph and vice-versa. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephsucdom	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem alephsucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephordilem1 10002	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
2		domsdomtr 9053	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵)) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
3	2	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) → ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
4	1, 3	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
5		sdomdom 8928	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵))
6		alephon 9998	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘suc 𝐵) ∈ On
7		ondomen 9966	. . . . . 6 ⊢ (((ℵ‘suc 𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵)) → 𝐴 ∈ dom card)
8	6, 7	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ dom card)
9		cardid2 9882	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
10	5, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
11	10	ensymd 8953	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (card‘𝐴))
12		alephnbtwn2 10001	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴) ∧ (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
13	12	imnani 400	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴) → ¬ (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
14		ensdomtr 9054	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)) → (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
15	10, 14	mpancom 688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
16	13, 15	nsyl3 138	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴))
17		cardon 9873	. . . . 5 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
18		alephon 9998	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
19		domtriord 9064	. . . . 5 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴)))
20	17, 18, 19	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴))
21	16, 20	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
22		endomtr 8960	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ (card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)) → 𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵))
23	11, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵))
24	4, 23	impbid1 225	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  Oncon0 6320  suc csuc 6322  ‘cfv 6499   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  cardccrd 9864  ℵcale 9865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-oi 9439  df-har 9486  df-card 9868  df-aleph 9869

This theorem is referenced by:  alephsuc2  10009  alephreg  10511