Theorem alephsucdom 9188

Description: A set dominated by an aleph is strictly dominated by its successor aleph and vice-versa. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephsucdom	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem alephsucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephordilem1 9182	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
2		domsdomtr 8337	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵)) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
3	2	ex 402	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) → ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
4	1, 3	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
5		sdomdom 8223	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵))
6		alephon 9178	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘suc 𝐵) ∈ On
7		ondomen 9146	. . . . . 6 ⊢ (((ℵ‘suc 𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵)) → 𝐴 ∈ dom card)
8	6, 7	mpan 682	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ dom card)
9		cardid2 9065	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
10	5, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
11	10	ensymd 8246	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (card‘𝐴))
12		alephnbtwn2 9181	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴) ∧ (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
13	12	imnani 390	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴) → ¬ (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
14		ensdomtr 8338	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)) → (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
15	10, 14	mpancom 680	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
16	13, 15	nsyl3 136	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴))
17		cardon 9056	. . . . 5 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
18		alephon 9178	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
19		domtriord 8348	. . . . 5 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴)))
20	17, 18, 19	mp2an 684	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴))
21	16, 20	sylibr 226	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
22		endomtr 8253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ (card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)) → 𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵))
23	11, 21, 22	syl2anc 580	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵))
24	4, 23	impbid1 217	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  Oncon0 5941  suc csuc 5943  ‘cfv 6101   ≈ cen 8192   ≼ cdom 8193   ≺ csdm 8194  cardccrd 9047  ℵcale 9048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-oi 8657  df-har 8705  df-card 9051  df-aleph 9052

This theorem is referenced by:  alephsuc2  9189  alephreg  9692