Theorem alephsucdom 10032

Description: A set dominated by an aleph is strictly dominated by its successor aleph and vice-versa. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephsucdom	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem alephsucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephordilem1 10026	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
2		domsdomtr 9076	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵)) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
3	2	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) → ((ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
4	1, 3	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))
5		sdomdom 8951	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵))
6		alephon 10022	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘suc 𝐵) ∈ On
7		ondomen 9990	. . . . . 6 ⊢ (((ℵ‘suc 𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵)) → 𝐴 ∈ dom card)
8	6, 7	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ dom card)
9		cardid2 9906	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
10	5, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
11	10	ensymd 8976	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (card‘𝐴))
12		alephnbtwn2 10025	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴) ∧ (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
13	12	imnani 400	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴) → ¬ (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
14		ensdomtr 9077	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)) → (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
15	10, 14	mpancom 688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐵))
16	13, 15	nsyl3 138	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴))
17		cardon 9897	. . . . 5 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
18		alephon 10022	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
19		domtriord 9087	. . . . 5 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴)))
20	17, 18, 19	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (card‘𝐴))
21	16, 20	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → (card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵))
22		endomtr 8983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ (card‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵)) → 𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵))
23	11, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵))
24	4, 23	impbid1 225	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘suc 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  Oncon0 6332  suc csuc 6334  ‘cfv 6511   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  cardccrd 9888  ℵcale 9889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-oi 9463  df-har 9510  df-card 9892  df-aleph 9893

This theorem is referenced by:  alephsuc2  10033  alephreg  10535