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Theorem tskcard 10821
Description: An even more direct relationship than r1tskina 10822 to get an inaccessible cardinal out of a Tarski class: the size of any nonempty Tarski class is an inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskcard ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Proof of Theorem tskcard
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardeq0 10592 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
21necon3bid 2985 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ≠ ∅ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
32biimpar 477 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≠ ∅)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤𝑧))) = (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤𝑧)))
54pwcfsdom 10623 . . . . 5 (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
6 vpwex 5377 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 𝑥 ∈ V
76canth2 9170 . . . . . . . . . . 11 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
8 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ∈ Tarski)
9 cardon 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘𝑇) ∈ On
109oneli 6498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ On)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ On)
12 cardsdomelir 10013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥𝑇)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
14 tskord 10820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ On ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
158, 11, 13, 14syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
16 tskpw 10793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
17 tskpwss 10792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝒫 𝑥𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
1816, 17syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
1915, 18syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
20 ssdomg 9040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝒫 𝑥𝑇 → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇))
218, 19, 20sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
22 cardidg 10588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
2322ensymd 9045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
25 domentr 9053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝒫 𝑥𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
2621, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
27 sdomdomtr 9150 . . . . . . . . . . 11 ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
287, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
2928ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
31 inawinalem 10729 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝑇) ∈ On → (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦))
329, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦)
33 winainflem 10733 . . . . . . . . . 10 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (card‘𝑇) ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
349, 33mp3an2 1451 . . . . . . . . 9 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
3532, 34sylan2 593 . . . . . . . 8 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → ω ⊆ (card‘𝑇))
363, 30, 35syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ⊆ (card‘𝑇))
37 cardidm 9999 . . . . . . 7 (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)
38 cardaleph 10129 . . . . . . 7 ((ω ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)) → (card‘𝑇) = (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
3936, 37, 38sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) = (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
4039fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
4139, 40oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) = ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))))
4239, 41breq12d 5156 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))))
435, 42mpbiri 258 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
44 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Tarski)
45 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
46 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (card‘𝑇) ∈ V
47 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V
4846, 47elmap 8911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ 𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇))
49 fssxp 6763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
5048, 49sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
5115ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥𝑇))
5251ssrdv 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ⊆ 𝑇)
53 cfle 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇)
54 sstr 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
5553, 54mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
56 tskxpss 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
57563exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
5857com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
5955, 58mpdi 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇))
6052, 59mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
61 sstr2 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) → (((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇𝑥𝑇))
6250, 60, 61syl2im 40 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑇 ∈ Tarski → 𝑥𝑇))
6345, 44, 62sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
64 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
65 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)))
66 fndmeng 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6765, 47, 66sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6848, 67sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6968ensymd 9045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)))
70 cardsdomelir 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇)
71 ensdomtr 9153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇) → 𝑥𝑇)
7269, 70, 71syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
7345, 64, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
74 tskssel 10797 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
7544, 63, 73, 74syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
76753expia 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥𝑇))
7776ssrdv 3989 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇)
78 ssdomg 9040 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Tarski → (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇))
7978imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
8077, 79syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
8123adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
82 domentr 9053 . . . . . . . 8 ((((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
8380, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
84 domnsym 9139 . . . . . . 7 (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
8685ex 412 . . . . 5 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
8786adantr 480 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
8843, 87mt2d 136 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
89 cfon 10295 . . . . . 6 (cf‘(card‘𝑇)) ∈ On
9089, 9onsseli 6505 . . . . 5 ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)))
9153, 90mpbi 230 . . . 4 ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
9291ori 862 . . 3 (¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
9388, 92syl 17 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
94 elina 10727 . 2 ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
953, 93, 30, 94syl3anbrc 1344 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cint 4946   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  Oncon0 6384   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  m cmap 8866  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  harchar 9596  cardccrd 9975  cale 9976  cfccf 9977  Inacccina 10723  Tarskictsk 10788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-smo 8386  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-har 9597  df-r1 9804  df-card 9979  df-aleph 9980  df-cf 9981  df-acn 9982  df-ac 10156  df-ina 10725  df-tsk 10789
This theorem is referenced by:  r1tskina  10822  tskuni  10823  inaprc  10876
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