Theorem tskcard 10694

Description: An even more direct relationship than r1tskina 10695 to get an inaccessible cardinal out of a Tarski class: the size of any nonempty Tarski class is an inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskcard	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Proof of Theorem tskcard

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardeq0 10464	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
2	1	necon3bid 2976	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ≠ ∅ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
3	2	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≠ ∅)
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤‘𝑧)))
5	4	pwcfsdom 10496	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
6		vpwex 5322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
7	6	canth2 9060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
8		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ∈ Tarski)
9		cardon 9858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (card‘𝑇) ∈ On
10	9	oneli 6432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ On)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ On)
12		cardsdomelir 9887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ≺ 𝑇)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ 𝑇)
14		tskord 10693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≺ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
15	8, 11, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
16		tskpw 10666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
17		tskpwss 10665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
18	16, 17	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
19	15, 18	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
20		ssdomg 8939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇 → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇))
21	8, 19, 20	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇)
22		cardidg 10460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
23	22	ensymd 8944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
25		domentr 8952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
26	21, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
27		sdomdomtr 9040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
28	7, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
29	28	ralrimiva 3128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
31		inawinalem 10602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑇) ∈ On → (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦))
32	9, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦)
33		winainflem 10606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (card‘𝑇) ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
34	9, 33	mp3an2 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
35	32, 34	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → ω ⊆ (card‘𝑇))
36	3, 30, 35	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ⊆ (card‘𝑇))
37		cardidm 9873	. . . . . . 7 ⊢ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)
38		cardaleph 10001	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)) → (card‘𝑇) = (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
39	36, 37, 38	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) = (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
40	39	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
41	39, 40	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) = ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))))
42	39, 41	breq12d 5111	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))))
43	5, 42	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
44		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Tarski)
45		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
46		fvex 6847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (card‘𝑇) ∈ V
47		fvex 6847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V
48	46, 47	elmap 8811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ 𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇))
49		fssxp 6689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
50	48, 49	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
51	15	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇))
52	51	ssrdv 3939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ⊆ 𝑇)
53		cfle 10166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇)
54		sstr 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
55	53, 54	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
56		tskxpss 10685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
57	56	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
58	57	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
59	55, 58	mpdi 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇))
60	52, 59	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
61		sstr2 3940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) → (((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → 𝑥 ⊆ 𝑇))
62	50, 60, 61	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑇 ∈ Tarski → 𝑥 ⊆ 𝑇))
63	45, 44, 62	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ⊆ 𝑇)
64		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
65		ffn 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)))
66		fndmeng 8974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
67	65, 47, 66	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
68	48, 67	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
69	68	ensymd 8944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)))
70		cardsdomelir 9887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇)
71		ensdomtr 9043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇) → 𝑥 ≺ 𝑇)
72	69, 70, 71	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ 𝑇)
73	45, 64, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ≺ 𝑇)
74		tskssel 10670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑥 ≺ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
75	44, 63, 73, 74	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ 𝑇)
76	75	3expia 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ∈ 𝑇))
77	76	ssrdv 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇)
78		ssdomg 8939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇))
79	78	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
80	77, 79	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
81	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
82		domentr 8952	. . . . . . . 8 ⊢ ((((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
83	80, 81, 82	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
84		domnsym 9033	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
85	83, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
86	85	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
87	86	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
88	43, 87	mt2d 136	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
89		cfon 10167	. . . . . 6 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ On
90	89, 9	onsseli 6439	. . . . 5 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)))
91	53, 90	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
92	91	ori 861	. . 3 ⊢ (¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
93	88, 92	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
94		elina 10600	. 2 ⊢ ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
95	3, 93, 30, 94	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  ∩ cint 4902   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  Oncon0 6317   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ωcom 7808   ↑_m cmap 8765   ≈ cen 8882   ≼ cdom 8883   ≺ csdm 8884  harchar 9463  cardccrd 9849  ℵcale 9850  cfccf 9851  Inacccina 10596  Tarskictsk 10661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-ac2 10375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-smo 8278  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-oi 9417  df-har 9464  df-r1 9678  df-card 9853  df-aleph 9854  df-cf 9855  df-acn 9856  df-ac 10028  df-ina 10598  df-tsk 10662

This theorem is referenced by:  r1tskina  10695  tskuni  10696  inaprc  10749