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Theorem tskcard 9856
Description: An even more direct relationship than r1tskina 9857 to get an inaccessible cardinal out of a Tarski class: the size of any nonempty Tarski class is an inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskcard ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Proof of Theorem tskcard
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardeq0 9627 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
21necon3bid 2981 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ≠ ∅ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
32biimpar 469 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≠ ∅)
4 eqid 2765 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤𝑧))) = (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤𝑧)))
54pwcfsdom 9658 . . . . 5 (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑𝑚 (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
6 vpwex 5013 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 𝑥 ∈ V
76canth2 8320 . . . . . . . . . . 11 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
8 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ∈ Tarski)
9 cardon 9021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘𝑇) ∈ On
109oneli 6015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ On)
1110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ On)
12 cardsdomelir 9050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥𝑇)
1312adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
14 tskord 9855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ On ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
158, 11, 13, 14syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
16 tskpw 9828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
17 tskpwss 9827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝒫 𝑥𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
1816, 17syldan 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
1915, 18syldan 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
20 ssdomg 8206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝒫 𝑥𝑇 → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇))
218, 19, 20sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
22 cardidg 9623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
2322ensymd 8211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
2423adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
25 domentr 8219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝒫 𝑥𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
2621, 24, 25syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
27 sdomdomtr 8300 . . . . . . . . . . 11 ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
287, 26, 27sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
2928ralrimiva 3113 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
3029adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
31 inawinalem 9764 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝑇) ∈ On → (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦))
329, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦)
33 winainflem 9768 . . . . . . . . . 10 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (card‘𝑇) ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
349, 33mp3an2 1573 . . . . . . . . 9 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
3532, 34sylan2 586 . . . . . . . 8 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → ω ⊆ (card‘𝑇))
363, 30, 35syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ⊆ (card‘𝑇))
37 cardidm 9036 . . . . . . 7 (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)
38 cardaleph 9163 . . . . . . 7 ((ω ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)) → (card‘𝑇) = (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
3936, 37, 38sylancl 580 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) = (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
4039fveq2d 6379 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
4139, 40oveq12d 6860 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) = ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑𝑚 (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))))
4239, 41breq12d 4822 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ↔ (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑𝑚 (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))))
435, 42mpbiri 249 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))))
44 simp1 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Tarski)
45 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))))
46 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (card‘𝑇) ∈ V
47 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V
4846, 47elmap 8089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ↔ 𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇))
49 fssxp 6242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
5048, 49sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
5115ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥𝑇))
5251ssrdv 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ⊆ 𝑇)
53 cfle 9329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇)
54 sstr 3769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
5553, 54mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
56 tskxpss 9847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
57563exp 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
5857com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
5955, 58mpdi 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇))
6052, 59mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
61 sstr2 3768 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) → (((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇𝑥𝑇))
6250, 60, 61syl2im 40 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑇 ∈ Tarski → 𝑥𝑇))
6345, 44, 62sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
64 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
65 ffn 6223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)))
66 fndmeng 8238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6765, 47, 66sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6848, 67sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6968ensymd 8211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)))
70 cardsdomelir 9050 . . . . . . . . . . . . . 14 ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇)
71 ensdomtr 8303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇) → 𝑥𝑇)
7269, 70, 71syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
7345, 64, 72syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
74 tskssel 9832 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
7544, 63, 73, 74syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
76753expia 1150 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥𝑇))
7776ssrdv 3767 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇)
78 ssdomg 8206 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Tarski → (((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇))
7978imp 395 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
8077, 79syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
8123adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
82 domentr 8219 . . . . . . . 8 ((((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
8380, 81, 82syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
84 domnsym 8293 . . . . . . 7 (((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))))
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))))
8685ex 401 . . . . 5 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))))
8786adantr 472 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))))
8843, 87mt2d 133 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
89 cfon 9330 . . . . . 6 (cf‘(card‘𝑇)) ∈ On
9089, 9onsseli 6022 . . . . 5 ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)))
9153, 90mpbi 221 . . . 4 ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
9291ori 887 . . 3 (¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
9388, 92syl 17 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
94 elina 9762 . 2 ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
953, 93, 30, 94syl3anbrc 1443 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315   cint 4633   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  Oncon0 5908   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  ωcom 7263  𝑚 cmap 8060  cen 8157  cdom 8158  csdm 8159  harchar 8668  cardccrd 9012  cale 9013  cfccf 9014  Inacccina 9758  Tarskictsk 9823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-ac2 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-smo 7647  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-oi 8622  df-har 8670  df-r1 8842  df-card 9016  df-aleph 9017  df-cf 9018  df-acn 9019  df-ac 9190  df-ina 9760  df-tsk 9824
This theorem is referenced by:  r1tskina  9857  tskuni  9858  inaprc  9911
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