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Theorem tskcard 10818
Description: An even more direct relationship than r1tskina 10819 to get an inaccessible cardinal out of a Tarski class: the size of any nonempty Tarski class is an inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskcard ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Proof of Theorem tskcard
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardeq0 10589 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
21necon3bid 2982 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ≠ ∅ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
32biimpar 477 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≠ ∅)
4 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤𝑧))) = (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤𝑧)))
54pwcfsdom 10620 . . . . 5 (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
6 vpwex 5382 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 𝑥 ∈ V
76canth2 9168 . . . . . . . . . . 11 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
8 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ∈ Tarski)
9 cardon 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘𝑇) ∈ On
109oneli 6499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ On)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ On)
12 cardsdomelir 10010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥𝑇)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
14 tskord 10817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ On ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
158, 11, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
16 tskpw 10790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
17 tskpwss 10789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝒫 𝑥𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
1816, 17syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
1915, 18syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
20 ssdomg 9038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝒫 𝑥𝑇 → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇))
218, 19, 20sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
22 cardidg 10585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
2322ensymd 9043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
25 domentr 9051 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝒫 𝑥𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
2621, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
27 sdomdomtr 9148 . . . . . . . . . . 11 ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
287, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
2928ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
31 inawinalem 10726 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝑇) ∈ On → (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦))
329, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦)
33 winainflem 10730 . . . . . . . . . 10 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (card‘𝑇) ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
349, 33mp3an2 1448 . . . . . . . . 9 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
3532, 34sylan2 593 . . . . . . . 8 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → ω ⊆ (card‘𝑇))
363, 30, 35syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ⊆ (card‘𝑇))
37 cardidm 9996 . . . . . . 7 (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)
38 cardaleph 10126 . . . . . . 7 ((ω ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)) → (card‘𝑇) = (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
3936, 37, 38sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) = (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
4039fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
4139, 40oveq12d 7448 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) = ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))))
4239, 41breq12d 5160 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))))
435, 42mpbiri 258 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
44 simp1 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Tarski)
45 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
46 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (card‘𝑇) ∈ V
47 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V
4846, 47elmap 8909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ 𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇))
49 fssxp 6763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
5048, 49sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
5115ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥𝑇))
5251ssrdv 4000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ⊆ 𝑇)
53 cfle 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇)
54 sstr 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
5553, 54mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
56 tskxpss 10809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
57563exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
5857com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
5955, 58mpdi 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇))
6052, 59mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
61 sstr2 4001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) → (((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇𝑥𝑇))
6250, 60, 61syl2im 40 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑇 ∈ Tarski → 𝑥𝑇))
6345, 44, 62sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
64 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
65 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)))
66 fndmeng 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6765, 47, 66sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6848, 67sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6968ensymd 9043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)))
70 cardsdomelir 10010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇)
71 ensdomtr 9151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇) → 𝑥𝑇)
7269, 70, 71syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
7345, 64, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
74 tskssel 10794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
7544, 63, 73, 74syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
76753expia 1120 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥𝑇))
7776ssrdv 4000 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇)
78 ssdomg 9038 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Tarski → (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇))
7978imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
8077, 79syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
8123adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
82 domentr 9051 . . . . . . . 8 ((((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
8380, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
84 domnsym 9137 . . . . . . 7 (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
8685ex 412 . . . . 5 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
8786adantr 480 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
8843, 87mt2d 136 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
89 cfon 10292 . . . . . 6 (cf‘(card‘𝑇)) ∈ On
9089, 9onsseli 6506 . . . . 5 ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)))
9153, 90mpbi 230 . . . 4 ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
9291ori 861 . . 3 (¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
9388, 92syl 17 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
94 elina 10724 . 2 ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
953, 93, 30, 94syl3anbrc 1342 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604   cint 4950   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  Oncon0 6385   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886  m cmap 8864  cen 8980  cdom 8981  csdm 8982  harchar 9593  cardccrd 9972  cale 9973  cfccf 9974  Inacccina 10720  Tarskictsk 10785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-smo 8384  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-oi 9547  df-har 9594  df-r1 9801  df-card 9976  df-aleph 9977  df-cf 9978  df-acn 9979  df-ac 10153  df-ina 10722  df-tsk 10786
This theorem is referenced by:  r1tskina  10819  tskuni  10820  inaprc  10873
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