Theorem tskcard 10537

Description: An even more direct relationship than r1tskina 10538 to get an inaccessible cardinal out of a Tarski class: the size of any nonempty Tarski class is an inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskcard	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Proof of Theorem tskcard

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardeq0 10308	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
2	1	necon3bid 2988	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ≠ ∅ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
3	2	biimpar 478	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≠ ∅)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤‘𝑧)))
5	4	pwcfsdom 10339	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
6		vpwex 5300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
7	6	canth2 8917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
8		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ∈ Tarski)
9		cardon 9702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (card‘𝑇) ∈ On
10	9	oneli 6374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ On)
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ On)
12		cardsdomelir 9731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ≺ 𝑇)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ 𝑇)
14		tskord 10536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≺ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
15	8, 11, 13, 14	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
16		tskpw 10509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
17		tskpwss 10508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
18	16, 17	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
19	15, 18	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
20		ssdomg 8786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇 → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇))
21	8, 19, 20	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇)
22		cardidg 10304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
23	22	ensymd 8791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
25		domentr 8799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
26	21, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
27		sdomdomtr 8897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
28	7, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
29	28	ralrimiva 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
31		inawinalem 10445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑇) ∈ On → (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦))
32	9, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦)
33		winainflem 10449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (card‘𝑇) ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
34	9, 33	mp3an2 1448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
35	32, 34	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → ω ⊆ (card‘𝑇))
36	3, 30, 35	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ⊆ (card‘𝑇))
37		cardidm 9717	. . . . . . 7 ⊢ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)
38		cardaleph 9845	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)) → (card‘𝑇) = (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
39	36, 37, 38	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) = (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
40	39	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
41	39, 40	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) = ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))))
42	39, 41	breq12d 5087	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))))
43	5, 42	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
44		simp1 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Tarski)
45		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
46		fvex 6787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (card‘𝑇) ∈ V
47		fvex 6787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V
48	46, 47	elmap 8659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ 𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇))
49		fssxp 6628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
50	48, 49	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
51	15	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇))
52	51	ssrdv 3927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ⊆ 𝑇)
53		cfle 10010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇)
54		sstr 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
55	53, 54	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
56		tskxpss 10528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
57	56	3exp 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
58	57	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
59	55, 58	mpdi 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇))
60	52, 59	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
61		sstr2 3928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) → (((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → 𝑥 ⊆ 𝑇))
62	50, 60, 61	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑇 ∈ Tarski → 𝑥 ⊆ 𝑇))
63	45, 44, 62	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ⊆ 𝑇)
64		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
65		ffn 6600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)))
66		fndmeng 8825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
67	65, 47, 66	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
68	48, 67	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
69	68	ensymd 8791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)))
70		cardsdomelir 9731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇)
71		ensdomtr 8900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇) → 𝑥 ≺ 𝑇)
72	69, 70, 71	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ 𝑇)
73	45, 64, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ≺ 𝑇)
74		tskssel 10513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑥 ≺ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
75	44, 63, 73, 74	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ 𝑇)
76	75	3expia 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ∈ 𝑇))
77	76	ssrdv 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇)
78		ssdomg 8786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇))
79	78	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
80	77, 79	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
81	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
82		domentr 8799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
83	80, 81, 82	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
84		domnsym 8886	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
85	83, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
86	85	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
87	86	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
88	43, 87	mt2d 136	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
89		cfon 10011	. . . . . 6 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ On
90	89, 9	onsseli 6381	. . . . 5 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)))
91	53, 90	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
92	91	ori 858	. . 3 ⊢ (¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
93	88, 92	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
94		elina 10443	. 2 ⊢ ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
95	3, 93, 30, 94	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  ∩ cint 4879   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  Oncon0 6266   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ωcom 7712   ↑_m cmap 8615   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732  harchar 9315  cardccrd 9693  ℵcale 9694  cfccf 9695  Inacccina 10439  Tarskictsk 10504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-ac2 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-smo 8177  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-oi 9269  df-har 9316  df-r1 9522  df-card 9697  df-aleph 9698  df-cf 9699  df-acn 9700  df-ac 9872  df-ina 10441  df-tsk 10505

This theorem is referenced by:  r1tskina  10538  tskuni  10539  inaprc  10592