Theorem tskcard 10197

Description: An even more direct relationship than r1tskina 10198 to get an inaccessible cardinal out of a Tarski class: the size of any nonempty Tarski class is an inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskcard	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Proof of Theorem tskcard

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardeq0 9968	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
2	1	necon3bid 3060	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ≠ ∅ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
3	2	biimpar 480	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≠ ∅)
4		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤‘𝑧)))
5	4	pwcfsdom 9999	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
6		vpwex 5270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
7	6	canth2 8664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
8		simpl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ∈ Tarski)
9		cardon 9367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (card‘𝑇) ∈ On
10	9	oneli 6292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ On)
11	10	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ On)
12		cardsdomelir 9396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ≺ 𝑇)
13	12	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ 𝑇)
14		tskord 10196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≺ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
15	8, 11, 13, 14	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
16		tskpw 10169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
17		tskpwss 10168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
18	16, 17	syldan 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
19	15, 18	syldan 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
20		ssdomg 8549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇 → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇))
21	8, 19, 20	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇)
22		cardidg 9964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
23	22	ensymd 8554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
24	23	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
25		domentr 8562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
26	21, 24, 25	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
27		sdomdomtr 8644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
28	7, 26, 27	sylancr 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
29	28	ralrimiva 3182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
30	29	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
31		inawinalem 10105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑇) ∈ On → (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦))
32	9, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦)
33		winainflem 10109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (card‘𝑇) ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
34	9, 33	mp3an2 1445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
35	32, 34	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → ω ⊆ (card‘𝑇))
36	3, 30, 35	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ⊆ (card‘𝑇))
37		cardidm 9382	. . . . . . 7 ⊢ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)
38		cardaleph 9509	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)) → (card‘𝑇) = (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
39	36, 37, 38	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) = (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
40	39	fveq2d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
41	39, 40	oveq12d 7168	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) = ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))))
42	39, 41	breq12d 5071	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))))
43	5, 42	mpbiri 260	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
44		simp1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Tarski)
45		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
46		fvex 6677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (card‘𝑇) ∈ V
47		fvex 6677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V
48	46, 47	elmap 8429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ 𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇))
49		fssxp 6528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
50	48, 49	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
51	15	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇))
52	51	ssrdv 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ⊆ 𝑇)
53		cfle 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇)
54		sstr 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
55	53, 54	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
56		tskxpss 10188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
57	56	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
58	57	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
59	55, 58	mpdi 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇))
60	52, 59	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
61		sstr2 3973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) → (((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → 𝑥 ⊆ 𝑇))
62	50, 60, 61	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑇 ∈ Tarski → 𝑥 ⊆ 𝑇))
63	45, 44, 62	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ⊆ 𝑇)
64		simp2 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
65		ffn 6508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)))
66		fndmeng 8581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
67	65, 47, 66	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
68	48, 67	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
69	68	ensymd 8554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)))
70		cardsdomelir 9396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇)
71		ensdomtr 8647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇) → 𝑥 ≺ 𝑇)
72	69, 70, 71	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ 𝑇)
73	45, 64, 72	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ≺ 𝑇)
74		tskssel 10173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑥 ≺ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
75	44, 63, 73, 74	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ 𝑇)
76	75	3expia 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ∈ 𝑇))
77	76	ssrdv 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇)
78		ssdomg 8549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇))
79	78	imp 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
80	77, 79	syldan 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
81	23	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
82		domentr 8562	. . . . . . . 8 ⊢ ((((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
83	80, 81, 82	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
84		domnsym 8637	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
85	83, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
86	85	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
87	86	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
88	43, 87	mt2d 138	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
89		cfon 9671	. . . . . 6 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ On
90	89, 9	onsseli 6299	. . . . 5 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)))
91	53, 90	mpbi 232	. . . 4 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
92	91	ori 857	. . 3 ⊢ (¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
93	88, 92	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
94		elina 10103	. 2 ⊢ ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
95	3, 93, 30, 94	syl3anbrc 1339	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  ∩ cint 4868   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   × cxp 5547  Oncon0 6185   Fn wfn 6344  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ωcom 7574   ↑_m cmap 8400   ≈ cen 8500   ≼ cdom 8501   ≺ csdm 8502  harchar 9014  cardccrd 9358  ℵcale 9359  cfccf 9360  Inacccina 10099  Tarskictsk 10164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-ac2 9879

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-smo 7977  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-oi 8968  df-har 9016  df-r1 9187  df-card 9362  df-aleph 9363  df-cf 9364  df-acn 9365  df-ac 9536  df-ina 10101  df-tsk 10165

This theorem is referenced by:  r1tskina  10198  tskuni  10199  inaprc  10252