MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskcard Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskcard 10717
Description: An even more direct relationship than r1tskina 10718 to get an inaccessible cardinal out of a Tarski class: the size of any nonempty Tarski class is an inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskcard ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Proof of Theorem tskcard
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardeq0 10488 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
21necon3bid 2988 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ≠ ∅ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
32biimpar 478 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≠ ∅)
4 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤𝑧))) = (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤𝑧)))
54pwcfsdom 10519 . . . . 5 (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
6 vpwex 5332 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 𝑥 ∈ V
76canth2 9074 . . . . . . . . . . 11 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
8 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ∈ Tarski)
9 cardon 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘𝑇) ∈ On
109oneli 6431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ On)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ On)
12 cardsdomelir 9909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥𝑇)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
14 tskord 10716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ On ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
158, 11, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
16 tskpw 10689 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
17 tskpwss 10688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝒫 𝑥𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
1816, 17syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
1915, 18syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
20 ssdomg 8940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝒫 𝑥𝑇 → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇))
218, 19, 20sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥𝑇)
22 cardidg 10484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
2322ensymd 8945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
25 domentr 8953 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝒫 𝑥𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
2621, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
27 sdomdomtr 9054 . . . . . . . . . . 11 ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
287, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
2928ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
31 inawinalem 10625 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝑇) ∈ On → (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦))
329, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦)
33 winainflem 10629 . . . . . . . . . 10 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (card‘𝑇) ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
349, 33mp3an2 1449 . . . . . . . . 9 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
3532, 34sylan2 593 . . . . . . . 8 (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → ω ⊆ (card‘𝑇))
363, 30, 35syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ⊆ (card‘𝑇))
37 cardidm 9895 . . . . . . 7 (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)
38 cardaleph 10025 . . . . . . 7 ((ω ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)) → (card‘𝑇) = (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
3936, 37, 38sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) = (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
4039fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
4139, 40oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) = ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))))
4239, 41breq12d 5118 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ (ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))))
435, 42mpbiri 257 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
44 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Tarski)
45 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
46 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (card‘𝑇) ∈ V
47 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V
4846, 47elmap 8809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ 𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇))
49 fssxp 6696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
5048, 49sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
5115ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥𝑇))
5251ssrdv 3950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ⊆ 𝑇)
53 cfle 10190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇)
54 sstr 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
5553, 54mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
56 tskxpss 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
57563exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
5857com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
5955, 58mpdi 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇))
6052, 59mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
61 sstr2 3951 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) → (((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇𝑥𝑇))
6250, 60, 61syl2im 40 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑇 ∈ Tarski → 𝑥𝑇))
6345, 44, 62sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
64 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
65 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)))
66 fndmeng 8979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6765, 47, 66sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6848, 67sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
6968ensymd 8945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)))
70 cardsdomelir 9909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇)
71 ensdomtr 9057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇) → 𝑥𝑇)
7269, 70, 71syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥𝑇)
7345, 64, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
74 tskssel 10693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
7544, 63, 73, 74syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥𝑇)
76753expia 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥𝑇))
7776ssrdv 3950 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇)
78 ssdomg 8940 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Tarski → (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇))
7978imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
8077, 79syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
8123adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
82 domentr 8953 . . . . . . . 8 ((((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
8380, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
84 domnsym 9043 . . . . . . 7 (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
8685ex 413 . . . . 5 (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
8786adantr 481 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
8843, 87mt2d 136 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
89 cfon 10191 . . . . . 6 (cf‘(card‘𝑇)) ∈ On
9089, 9onsseli 6438 . . . . 5 ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)))
9153, 90mpbi 229 . . . 4 ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
9291ori 859 . . 3 (¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
9388, 92syl 17 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
94 elina 10623 . 2 ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
953, 93, 30, 94syl3anbrc 1343 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   cint 4907   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  Oncon0 6317   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  ωcom 7802  m cmap 8765  cen 8880  cdom 8881  csdm 8882  harchar 9492  cardccrd 9871  cale 9872  cfccf 9873  Inacccina 10619  Tarskictsk 10684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-smo 8292  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9446  df-har 9493  df-r1 9700  df-card 9875  df-aleph 9876  df-cf 9877  df-acn 9878  df-ac 10052  df-ina 10621  df-tsk 10685
This theorem is referenced by:  r1tskina  10718  tskuni  10719  inaprc  10772
  Copyright terms: Public domain W3C validator