Theorem tskcard 10696

Description: An even more direct relationship than r1tskina 10697 to get an inaccessible cardinal out of a Tarski class: the size of any nonempty Tarski class is an inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskcard	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Proof of Theorem tskcard

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardeq0 10466	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
2	1	necon3bid 2978	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ≠ ∅ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
3	2	biimpar 478	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≠ ∅)
4		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤‘𝑧)))
5	4	pwcfsdom 10498	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
6		vpwex 5307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
7	6	canth2 9059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
8		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ∈ Tarski)
9		cardon 9860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (card‘𝑇) ∈ On
10	9	oneli 6426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ On)
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ On)
12		cardsdomelir 9889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ≺ 𝑇)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ 𝑇)
14		tskord 10695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≺ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
15	8, 11, 13, 14	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
16		tskpw 10668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
17		tskpwss 10667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
18	16, 17	syldan 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
19	15, 18	syldan 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
20		ssdomg 8938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇 → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇))
21	8, 19, 20	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇)
22		cardidg 10462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
23	22	ensymd 8943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
25		domentr 8951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
26	21, 24, 25	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
27		sdomdomtr 9039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
28	7, 26, 27	sylancr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
29	28	ralrimiva 3131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
31		inawinalem 10604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑇) ∈ On → (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦))
32	9, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦)
33		winainflem 10608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (card‘𝑇) ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
34	9, 33	mp3an2 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
35	32, 34	sylan2 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → ω ⊆ (card‘𝑇))
36	3, 30, 35	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ⊆ (card‘𝑇))
37		cardidm 9875	. . . . . . 7 ⊢ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)
38		cardaleph 10003	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)) → (card‘𝑇) = (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
39	36, 37, 38	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) = (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
40	39	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
41	39, 40	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) = ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))))
42	39, 41	breq12d 5086	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑m (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))))
43	5, 42	mpbiri 259	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
44		simp1 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Tarski)
45		simp3 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
46		fvex 6841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (card‘𝑇) ∈ V
47		fvex 6841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V
48	46, 47	elmap 8810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ↔ 𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇))
49		fssxp 6683	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
50	48, 49	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
51	15	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇))
52	51	ssrdv 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ⊆ 𝑇)
53		cfle 10168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇)
54		sstr 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
55	53, 54	mpan 696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
56		tskxpss 10687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
57	56	3exp 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
58	57	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
59	55, 58	mpdi 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇))
60	52, 59	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
61		sstr2 3922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) → (((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → 𝑥 ⊆ 𝑇))
62	50, 60, 61	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑇 ∈ Tarski → 𝑥 ⊆ 𝑇))
63	45, 44, 62	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ⊆ 𝑇)
64		simp2 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
65		ffn 6656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)))
66		fndmeng 8973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
67	65, 47, 66	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
68	48, 67	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
69	68	ensymd 8943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)))
70		cardsdomelir 9889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇)
71		ensdomtr 9042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇) → 𝑥 ≺ 𝑇)
72	69, 70, 71	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ 𝑇)
73	45, 64, 72	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ≺ 𝑇)
74		tskssel 10672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑥 ≺ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
75	44, 63, 73, 74	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ 𝑇)
76	75	3expia 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ∈ 𝑇))
77	76	ssrdv 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇)
78		ssdomg 8938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇))
79	78	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
80	77, 79	syldan 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
81	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
82		domentr 8951	. . . . . . . 8 ⊢ ((((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
83	80, 81, 82	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
84		domnsym 9032	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
85	83, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇))))
86	85	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
87	86	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑m (cf‘(card‘𝑇)))))
88	43, 87	mt2d 136	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
89		cfon 10169	. . . . . 6 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ On
90	89, 9	onsseli 6433	. . . . 5 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)))
91	53, 90	mpbi 231	. . . 4 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
92	91	ori 867	. . 3 ⊢ (¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
93	88, 92	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
94		elina 10602	. 2 ⊢ ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
95	3, 93, 30, 94	syl3anbrc 1350	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  𝒫 cpw 4530  ∩ cint 4878   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154   × cxp 5617  Oncon0 6311   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ωcom 7807   ↑_m cmap 8764   ≈ cen 8881   ≼ cdom 8882   ≺ csdm 8883  harchar 9462  cardccrd 9851  ℵcale 9852  cfccf 9853  Inacccina 10598  Tarskictsk 10663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-ac2 10377

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-smo 8277  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-oi 9416  df-har 9463  df-r1 9680  df-card 9855  df-aleph 9856  df-cf 9857  df-acn 9858  df-ac 10030  df-ina 10600  df-tsk 10664

This theorem is referenced by:  r1tskina  10697  tskuni  10698  inaprc  10751