Theorem aleph1irr 16222

Description: There are at least aleph-one irrationals. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1irr	⊢ (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem aleph1irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph1re 16221	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ
2		reex 11229	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3		numth3 10493	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → ℝ ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ dom card
5		nnenom 13977	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
6	5	ensymi 9023	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
7		ruc 16219	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≺ ℝ
8		ensdomtr 9136	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → ω ≺ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ω ≺ ℝ
10		sdomdom 8999	. . . . 5 ⊢ (ω ≺ ℝ → ω ≼ ℝ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ≼ ℝ
12		resdomq 16220	. . . 4 ⊢ ℚ ≺ ℝ
13		infdif 10232	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ dom card ∧ ω ≼ ℝ ∧ ℚ ≺ ℝ) → (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ)
14	4, 11, 12, 13	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ
15	14	ensymi 9023	. 2 ⊢ ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)
16		domentr 9032	. 2 ⊢ (((ℵ‘1o) ≼ ℝ ∧ ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)) → (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ))
17	1, 15, 16	mp2an 690	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∖ cdif 3936   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  ‘cfv 6543  ωcom 7868  1_oc1o 8478   ≈ cen 8959   ≼ cdom 8960   ≺ csdm 8961  cardccrd 9958  ℵcale 9959  ℝcr 11137  ℕcn 12242  ℚcq 12962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-har 9580  df-dju 9924  df-card 9962  df-aleph 9963  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-fz 13517  df-seq 13999

This theorem is referenced by: (None)