Theorem aleph1irr 15191

Description: There are at least aleph-one irrationals. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1irr	⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem aleph1irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph1re 15190	. 2 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ
2		reex 10308	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3		numth3 9573	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → ℝ ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ dom card
5		nnenom 12999	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
6	5	ensymi 8238	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
7		ruc 15188	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≺ ℝ
8		ensdomtr 8331	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → ω ≺ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 675	. . . . 5 ⊢ ω ≺ ℝ
10		sdomdom 8216	. . . . 5 ⊢ (ω ≺ ℝ → ω ≼ ℝ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ≼ ℝ
12		resdomq 15189	. . . 4 ⊢ ℚ ≺ ℝ
13		infdif 9312	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ dom card ∧ ω ≼ ℝ ∧ ℚ ≺ ℝ) → (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ)
14	4, 11, 12, 13	mp3an 1578	. . 3 ⊢ (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ
15	14	ensymi 8238	. 2 ⊢ ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)
16		domentr 8247	. 2 ⊢ (((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ∧ ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)) → (ℵ‘1𝑜) ≼ (ℝ ∖ ℚ))
17	1, 15, 16	mp2an 675	1 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2156  Vcvv 3391   ∖ cdif 3766   class class class wbr 4844  dom cdm 5311  ‘cfv 6097  ωcom 7291  1_𝑜c1o 7785   ≈ cen 8185   ≼ cdom 8186   ≺ csdm 8187  cardccrd 9040  ℵcale 9041  ℝcr 10216  ℕcn 11301  ℚcq 12003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-ac2 9566  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-omul 7797  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-oi 8650  df-har 8698  df-card 9044  df-aleph 9045  df-acn 9047  df-ac 9218  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-q 12004  df-fz 12546  df-seq 13021

This theorem is referenced by: (None)