MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1irr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aleph1irr 15595
Description: There are at least aleph-one irrationals. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
aleph1irr (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem aleph1irr
StepHypRef Expression
1 aleph1re 15594 . 2 (ℵ‘1o) ≼ ℝ
2 reex 10621 . . . . 5 ℝ ∈ V
3 numth3 9885 . . . . 5 (ℝ ∈ V → ℝ ∈ dom card)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 ℝ ∈ dom card
5 nnenom 13347 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
65ensymi 8546 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
7 ruc 15592 . . . . . 6 ℕ ≺ ℝ
8 ensdomtr 8641 . . . . . 6 ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → ω ≺ ℝ)
96, 7, 8mp2an 691 . . . . 5 ω ≺ ℝ
10 sdomdom 8524 . . . . 5 (ω ≺ ℝ → ω ≼ ℝ)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 ω ≼ ℝ
12 resdomq 15593 . . . 4 ℚ ≺ ℝ
13 infdif 9624 . . . 4 ((ℝ ∈ dom card ∧ ω ≼ ℝ ∧ ℚ ≺ ℝ) → (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ)
144, 11, 12, 13mp3an 1458 . . 3 (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ
1514ensymi 8546 . 2 ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)
16 domentr 8555 . 2 (((ℵ‘1o) ≼ ℝ ∧ ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)) → (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ))
171, 15, 16mp2an 691 1 (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2112  Vcvv 3444  cdif 3881   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  cfv 6328  ωcom 7564  1oc1o 8082  cen 8493  cdom 8494  csdm 8495  cardccrd 9352  cale 9353  cr 10529  cn 11629  cq 12340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-har 9009  df-dju 9318  df-card 9356  df-aleph 9357  df-acn 9359  df-ac 9531  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-fz 12890  df-seq 13369
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator