Theorem aleph1irr 15432

Description: There are at least aleph-one irrationals. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1irr	⊢ (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem aleph1irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph1re 15431	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ
2		reex 10474	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3		numth3 9738	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → ℝ ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ dom card
5		nnenom 13198	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
6	5	ensymi 8407	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
7		ruc 15429	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≺ ℝ
8		ensdomtr 8500	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → ω ≺ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ ω ≺ ℝ
10		sdomdom 8385	. . . . 5 ⊢ (ω ≺ ℝ → ω ≼ ℝ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ≼ ℝ
12		resdomq 15430	. . . 4 ⊢ ℚ ≺ ℝ
13		infdif 9477	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ dom card ∧ ω ≼ ℝ ∧ ℚ ≺ ℝ) → (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ)
14	4, 11, 12, 13	mp3an 1453	. . 3 ⊢ (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ
15	14	ensymi 8407	. 2 ⊢ ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)
16		domentr 8416	. 2 ⊢ (((ℵ‘1o) ≼ ℝ ∧ ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)) → (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ))
17	1, 15, 16	mp2an 688	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   ∖ cdif 3856   class class class wbr 4962  dom cdm 5443  ‘cfv 6225  ωcom 7436  1_oc1o 7946   ≈ cen 8354   ≼ cdom 8355   ≺ csdm 8356  cardccrd 9210  ℵcale 9211  ℝcr 10382  ℕcn 11486  ℚcq 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-ac2 9731  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-har 8868  df-dju 9176  df-card 9214  df-aleph 9215  df-acn 9217  df-ac 9388  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-fz 12743  df-seq 13220

This theorem is referenced by: (None)