Theorem aleph1irr 16359

Description: There are at least aleph-one irrationals. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1irr	⊢ (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem aleph1irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph1re 16358	. 2 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ
2		reex 11240	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3		numth3 10497	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → ℝ ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ dom card
5		nnenom 14069	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
6	5	ensymi 9017	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
7		ruc 16356	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≺ ℝ
8		ensdomtr 9118	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → ω ≺ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ω ≺ ℝ
10		sdomdom 8993	. . . . 5 ⊢ (ω ≺ ℝ → ω ≼ ℝ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ≼ ℝ
12		resdomq 16357	. . . 4 ⊢ ℚ ≺ ℝ
13		infdif 10235	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ dom card ∧ ω ≼ ℝ ∧ ℚ ≺ ℝ) → (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ)
14	4, 11, 12, 13	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (ℝ ∖ ℚ) ≈ ℝ
15	14	ensymi 9017	. 2 ⊢ ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)
16		domentr 9026	. 2 ⊢ (((ℵ‘1o) ≼ ℝ ∧ ℝ ≈ (ℝ ∖ ℚ)) → (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ))
17	1, 15, 16	mp2an 705	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ (ℝ ∖ ℚ)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ‘cfv 6535  ωcom 7868  1_oc1o 8455   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957   ≺ csdm 8958  cardccrd 9965  ℵcale 9966  ℝcr 11148  ℕcn 12282  ℚcq 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-ac2 10490  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-oi 9489  df-har 9536  df-dju 9931  df-card 9969  df-aleph 9970  df-acn 9972  df-ac 10144  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-q 13023  df-fz 13587  df-seq 14091

This theorem is used by: (None)