Theorem aleph1re 16185

Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1re	⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ

Proof of Theorem aleph1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 10058	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		nnenom 13942	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8997	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4	1, 3	eqbrtri 5169	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ≈ ℕ
5		ruc 16183	. . . . 5 ⊢ ℕ ≺ ℝ
6		ensdomtr 9110	. . . . 5 ⊢ (((ℵ‘∅) ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → (ℵ‘∅) ≺ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (ℵ‘∅) ≺ ℝ
8		alephnbtwn2 10064	. . . 4 ⊢ ¬ ((ℵ‘∅) ≺ ℝ ∧ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
9	7, 8	mptnan 1771	. . 3 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅)
10		df-1o 8463	. . . . 5 ⊢ 1o = suc ∅
11	10	fveq2i 6892	. . . 4 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
12	11	breq2i 5156	. . 3 ⊢ (ℝ ≺ (ℵ‘1o) ↔ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
13	9, 12	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o)
14		fvex 6902	. . 3 ⊢ (ℵ‘1o) ∈ V
15		reex 11198	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
16		domtri 10548	. . 3 ⊢ (((ℵ‘1o) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((ℵ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o)))
17	14, 15, 16	mp2an 691	. 2 ⊢ ((ℵ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o))
18	13, 17	mpbir 230	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  suc csuc 6364  ‘cfv 6541  ωcom 7852  1_oc1o 8456   ≈ cen 8933   ≼ cdom 8934   ≺ csdm 8935  ℵcale 9928  ℝcr 11106  ℕcn 12209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-har 9549  df-card 9931  df-aleph 9932  df-ac 10108  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-seq 13964

This theorem is referenced by:  aleph1irr  16186