Theorem aleph1re 16326

Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1re	⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ

Proof of Theorem aleph1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 10069	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		nnenom 14036	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 9010	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4	1, 3	eqbrtri 5137	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ≈ ℕ
5		ruc 16324	. . . . 5 ⊢ ℕ ≺ ℝ
6		ensdomtr 9111	. . . . 5 ⊢ (((ℵ‘∅) ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → (ℵ‘∅) ≺ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℵ‘∅) ≺ ℝ
8		alephnbtwn2 10075	. . . 4 ⊢ ¬ ((ℵ‘∅) ≺ ℝ ∧ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
9	7, 8	mptnan 1801	. . 3 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅)
10		df-1o 8462	. . . . 5 ⊢ 1o = suc ∅
11	10	fveq2i 6891	. . . 4 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
12	11	breq2i 5122	. . 3 ⊢ (ℝ ≺ (ℵ‘1o) ↔ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
13	9, 12	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o)
14		fvex 6901	. . 3 ⊢ (ℵ‘1o) ∈ V
15		reex 11209	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
16		domtri 10558	. . 3 ⊢ (((ℵ‘1o) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((ℵ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o)))
17	14, 15, 16	mp2an 705	. 2 ⊢ ((ℵ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o))
18	13, 17	mpbir 234	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ∅c0 4289   class class class wbr 5114  suc csuc 6369  ‘cfv 6543  ωcom 7871  1_oc1o 8455   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950   ≺ csdm 8951  ℵcale 9941  ℝcr 11117  ℕcn 12251

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-ac2 10465  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-har 9529  df-card 9944  df-aleph 9945  df-ac 10119  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058

This theorem is used by:  aleph1irr  16327