Theorem aleph1re 15180

Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1re	⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ

Proof of Theorem aleph1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 9089	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		nnenom 12987	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8159	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4	1, 3	eqbrtri 4807	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ≈ ℕ
5		ruc 15178	. . . . 5 ⊢ ℕ ≺ ℝ
6		ensdomtr 8252	. . . . 5 ⊢ (((ℵ‘∅) ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → (ℵ‘∅) ≺ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 672	. . . 4 ⊢ (ℵ‘∅) ≺ ℝ
8		alephnbtwn2 9095	. . . 4 ⊢ ¬ ((ℵ‘∅) ≺ ℝ ∧ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
9	7, 8	mptnan 1841	. . 3 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅)
10		df-1o 7713	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
11	10	fveq2i 6335	. . . 4 ⊢ (ℵ‘1𝑜) = (ℵ‘suc ∅)
12	11	breq2i 4794	. . 3 ⊢ (ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜) ↔ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
13	9, 12	mtbir 312	. 2 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜)
14		fvex 6342	. . 3 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ∈ V
15		reex 10229	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
16		domtri 9580	. . 3 ⊢ (((ℵ‘1𝑜) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜)))
17	14, 15, 16	mp2an 672	. 2 ⊢ ((ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1𝑜))
18	13, 17	mpbir 221	1 ⊢ (ℵ‘1𝑜) ≼ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  ∅c0 4063   class class class wbr 4786  suc csuc 5868  ‘cfv 6031  ωcom 7212  1_𝑜c1o 7706   ≈ cen 8106   ≼ cdom 8107   ≺ csdm 8108  ℵcale 8962  ℝcr 10137  ℕcn 11222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-ac2 9487  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-har 8619  df-card 8965  df-aleph 8966  df-ac 9139  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009

This theorem is referenced by:  aleph1irr  15181