Theorem aleph1re 16203

Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1re	⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ

Proof of Theorem aleph1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 9979	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		nnenom 13933	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8944	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4	1, 3	eqbrtri 5107	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ≈ ℕ
5		ruc 16201	. . . . 5 ⊢ ℕ ≺ ℝ
6		ensdomtr 9044	. . . . 5 ⊢ (((ℵ‘∅) ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → (ℵ‘∅) ≺ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (ℵ‘∅) ≺ ℝ
8		alephnbtwn2 9985	. . . 4 ⊢ ¬ ((ℵ‘∅) ≺ ℝ ∧ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
9	7, 8	mptnan 1770	. . 3 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅)
10		df-1o 8398	. . . . 5 ⊢ 1o = suc ∅
11	10	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
12	11	breq2i 5094	. . 3 ⊢ (ℝ ≺ (ℵ‘1o) ↔ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
13	9, 12	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o)
14		fvex 6847	. . 3 ⊢ (ℵ‘1o) ∈ V
15		reex 11120	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
16		domtri 10469	. . 3 ⊢ (((ℵ‘1o) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((ℵ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o)))
17	14, 15, 16	mp2an 693	. 2 ⊢ ((ℵ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o))
18	13, 17	mpbir 231	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  suc csuc 6319  ‘cfv 6492  ωcom 7810  1_oc1o 8391   ≈ cen 8883   ≼ cdom 8884   ≺ csdm 8885  ℵcale 9851  ℝcr 11028  ℕcn 12165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-har 9465  df-card 9854  df-aleph 9855  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955

This theorem is referenced by:  aleph1irr  16204