Theorem aleph1re 16184

Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1re	⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ

Proof of Theorem aleph1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 10056	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		nnenom 13941	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8995	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4	1, 3	eqbrtri 5159	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ≈ ℕ
5		ruc 16182	. . . . 5 ⊢ ℕ ≺ ℝ
6		ensdomtr 9108	. . . . 5 ⊢ (((ℵ‘∅) ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → (ℵ‘∅) ≺ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (ℵ‘∅) ≺ ℝ
8		alephnbtwn2 10062	. . . 4 ⊢ ¬ ((ℵ‘∅) ≺ ℝ ∧ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
9	7, 8	mptnan 1762	. . 3 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅)
10		df-1o 8461	. . . . 5 ⊢ 1o = suc ∅
11	10	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
12	11	breq2i 5146	. . 3 ⊢ (ℝ ≺ (ℵ‘1o) ↔ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
13	9, 12	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o)
14		fvex 6894	. . 3 ⊢ (ℵ‘1o) ∈ V
15		reex 11196	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
16		domtri 10546	. . 3 ⊢ (((ℵ‘1o) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((ℵ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o)))
17	14, 15, 16	mp2an 689	. 2 ⊢ ((ℵ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o))
18	13, 17	mpbir 230	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  ∅c0 4314   class class class wbr 5138  suc csuc 6356  ‘cfv 6533  ωcom 7848  1_oc1o 8454   ≈ cen 8931   ≼ cdom 8932   ≺ csdm 8933  ℵcale 9926  ℝcr 11104  ℕcn 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-ac2 10453  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-oi 9500  df-har 9547  df-card 9929  df-aleph 9930  df-ac 10106  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963

This theorem is referenced by:  aleph1irr  16185