Theorem aleph1re 16291

Description: There are at least aleph-one real numbers. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
aleph1re	⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ

Proof of Theorem aleph1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 10038	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		nnenom 14007	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8989	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4	1, 3	eqbrtri 5126	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ≈ ℕ
5		ruc 16289	. . . . 5 ⊢ ℕ ≺ ℝ
6		ensdomtr 9089	. . . . 5 ⊢ (((ℵ‘∅) ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ ℝ) → (ℵ‘∅) ≺ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (ℵ‘∅) ≺ ℝ
8		alephnbtwn2 10044	. . . 4 ⊢ ¬ ((ℵ‘∅) ≺ ℝ ∧ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
9	7, 8	mptnan 1791	. . 3 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅)
10		df-1o 8441	. . . . 5 ⊢ 1o = suc ∅
11	10	fveq2i 6874	. . . 4 ⊢ (ℵ‘1o) = (ℵ‘suc ∅)
12	11	breq2i 5113	. . 3 ⊢ (ℝ ≺ (ℵ‘1o) ↔ ℝ ≺ (ℵ‘suc ∅))
13	9, 12	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o)
14		fvex 6884	. . 3 ⊢ (ℵ‘1o) ∈ V
15		reex 11179	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
16		domtri 10528	. . 3 ⊢ (((ℵ‘1o) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((ℵ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o)))
17	14, 15, 16	mp2an 704	. 2 ⊢ ((ℵ‘1o) ≼ ℝ ↔ ¬ ℝ ≺ (ℵ‘1o))
18	13, 17	mpbir 234	1 ⊢ (ℵ‘1o) ≼ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ∅c0 4288   class class class wbr 5105  suc csuc 6352  ‘cfv 6525  ωcom 7850  1_oc1o 8434   ≈ cen 8928   ≼ cdom 8929   ≺ csdm 8930  ℵcale 9910  ℝcr 11087  ℕcn 12224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-ac2 10435  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-har 9507  df-card 9913  df-aleph 9914  df-ac 10088  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-seq 14029

This theorem is referenced by:  aleph1irr  16292