MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephnbtwn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephnbtwn2 10069
Description: No set has equinumerosity between an aleph and its successor aleph. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephnbtwn2 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴))

Proof of Theorem alephnbtwn2
StepHypRef Expression
1 cardidm 9956 . . 3 (card‘(card‘𝐵)) = (card‘𝐵)
2 alephnbtwn 10068 . . 3 ((card‘(card‘𝐵)) = (card‘𝐵) → ¬ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴)))
31, 2ax-mp 5 . 2 ¬ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
4 alephon 10066 . . . . . . . 8 (ℵ‘suc 𝐴) ∈ On
5 sdomdom 8978 . . . . . . . 8 (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → 𝐵 ≼ (ℵ‘suc 𝐴))
6 ondomen 10034 . . . . . . . 8 (((ℵ‘suc 𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ≼ (ℵ‘suc 𝐴)) → 𝐵 ∈ dom card)
74, 5, 6sylancr 585 . . . . . . 7 (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
8 cardid2 9950 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
109ensymd 9003 . . . . 5 (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
11 sdomentr 9113 . . . . 5 (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵𝐵 ≈ (card‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵))
1210, 11sylan2 591 . . . 4 (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵))
13 alephon 10066 . . . . . 6 (ℵ‘𝐴) ∈ On
14 cardon 9941 . . . . . . 7 (card‘𝐵) ∈ On
15 onenon 9946 . . . . . . 7 ((card‘𝐵) ∈ On → (card‘𝐵) ∈ dom card)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (card‘𝐵) ∈ dom card
17 cardsdomel 9971 . . . . . 6 (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ dom card) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(card‘𝐵))))
1813, 16, 17mp2an 688 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(card‘𝐵)))
191eleq2i 2823 . . . . 5 ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(card‘𝐵)) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵))
2018, 19bitri 274 . . . 4 ((ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵))
2112, 20sylib 217 . . 3 (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵))
22 ensdomtr 9115 . . . . . 6 (((card‘𝐵) ≈ 𝐵𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
239, 22mpancom 684 . . . . 5 (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → (card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
2423adantl 480 . . . 4 (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
25 onenon 9946 . . . . . . 7 ((ℵ‘suc 𝐴) ∈ On → (ℵ‘suc 𝐴) ∈ dom card)
264, 25ax-mp 5 . . . . . 6 (ℵ‘suc 𝐴) ∈ dom card
27 cardsdomel 9971 . . . . . 6 (((card‘𝐵) ∈ On ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ (card‘𝐵) ∈ (card‘(ℵ‘suc 𝐴))))
2814, 26, 27mp2an 688 . . . . 5 ((card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ (card‘𝐵) ∈ (card‘(ℵ‘suc 𝐴)))
29 alephcard 10067 . . . . . 6 (card‘(ℵ‘suc 𝐴)) = (ℵ‘suc 𝐴)
3029eleq2i 2823 . . . . 5 ((card‘𝐵) ∈ (card‘(ℵ‘suc 𝐴)) ↔ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
3128, 30bitri 274 . . . 4 ((card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
3224, 31sylib 217 . . 3 (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
3321, 32jca 510 . 2 (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴)))
343, 33mto 196 1 ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Oncon0 6363  suc csuc 6365  cfv 6542  cen 8938  cdom 8939  csdm 8940  cardccrd 9932  cale 9933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-har 9554  df-card 9936  df-aleph 9937
This theorem is referenced by:  alephsucdom  10076  alephsucpw2  10108  alephgch  10671  winalim2  10693  aleph1re  16192
  Copyright terms: Public domain W3C validator