Theorem alephnbtwn2 10063

Description: No set has equinumerosity between an aleph and its successor aleph. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephnbtwn2	⊢ ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴))

Proof of Theorem alephnbtwn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardidm 9952	. . 3 ⊢ (card‘(card‘𝐵)) = (card‘𝐵)
2		alephnbtwn 10062	. . 3 ⊢ ((card‘(card‘𝐵)) = (card‘𝐵) → ¬ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
4		alephon 10060	. . . . . . . 8 ⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ On
5		sdomdom 8975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → 𝐵 ≼ (ℵ‘suc 𝐴))
6		ondomen 10028	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℵ‘suc 𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ≼ (ℵ‘suc 𝐴)) → 𝐵 ∈ dom card)
7	4, 5, 6	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
8		cardid2 9946	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
10	9	ensymd 9000	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
11		sdomentr 9097	. . . . 5 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ (card‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵))
12	10, 11	sylan2 604	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵))
13		alephon 10060	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
14		cardon 9937	. . . . . . 7 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
15		onenon 9942	. . . . . . 7 ⊢ ((card‘𝐵) ∈ On → (card‘𝐵) ∈ dom card)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐵) ∈ dom card
17		cardsdomel 9967	. . . . . 6 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ dom card) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(card‘𝐵))))
18	13, 16, 17	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(card‘𝐵)))
19	1	eleq2i 2854	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(card‘𝐵)) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵))
20	18, 19	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵))
21	12, 20	sylib 221	. . 3 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵))
22		ensdomtr 9099	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐵) ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
23	9, 22	mpancom 700	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → (card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
24	23	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
25		onenon 9942	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ∈ On → (ℵ‘suc 𝐴) ∈ dom card)
26	4, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ dom card
27		cardsdomel 9967	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐵) ∈ On ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ (card‘𝐵) ∈ (card‘(ℵ‘suc 𝐴))))
28	14, 26, 27	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ (card‘𝐵) ∈ (card‘(ℵ‘suc 𝐴)))
29		alephcard 10061	. . . . . 6 ⊢ (card‘(ℵ‘suc 𝐴)) = (ℵ‘suc 𝐴)
30	29	eleq2i 2854	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐵) ∈ (card‘(ℵ‘suc 𝐴)) ↔ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
31	28, 30	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
32	24, 31	sylib 221	. . 3 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
33	21, 32	jca 520	. 2 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴)))
34	3, 33	mto 200	1 ⊢ ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  dom cdm 5660  Oncon0 6360  suc csuc 6362  ‘cfv 6536   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940  cardccrd 9928  ℵcale 9929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9470  df-har 9517  df-card 9932  df-aleph 9933

This theorem is used by:  alephsucdom  10070  alephsucpw2  10102  alephgch  10665  winalim2  10687  aleph1re  16307