Theorem alephnbtwn2 10112

Description: No set has equinumerosity between an aleph and its successor aleph. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephnbtwn2	⊢ ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴))

Proof of Theorem alephnbtwn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardidm 9999	. . 3 ⊢ (card‘(card‘𝐵)) = (card‘𝐵)
2		alephnbtwn 10111	. . 3 ⊢ ((card‘(card‘𝐵)) = (card‘𝐵) → ¬ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
4		alephon 10109	. . . . . . . 8 ⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ On
5		sdomdom 9020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → 𝐵 ≼ (ℵ‘suc 𝐴))
6		ondomen 10077	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℵ‘suc 𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ≼ (ℵ‘suc 𝐴)) → 𝐵 ∈ dom card)
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
8		cardid2 9993	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
10	9	ensymd 9045	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → 𝐵 ≈ (card‘𝐵))
11		sdomentr 9151	. . . . 5 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ (card‘𝐵)) → (ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵))
12	10, 11	sylan2 593	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵))
13		alephon 10109	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
14		cardon 9984	. . . . . . 7 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
15		onenon 9989	. . . . . . 7 ⊢ ((card‘𝐵) ∈ On → (card‘𝐵) ∈ dom card)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐵) ∈ dom card
17		cardsdomel 10014	. . . . . 6 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ dom card) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(card‘𝐵))))
18	13, 16, 17	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(card‘𝐵)))
19	1	eleq2i 2833	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(card‘𝐵)) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵))
20	18, 19	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (card‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵))
21	12, 20	sylib 218	. . 3 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵))
22		ensdomtr 9153	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐵) ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
23	9, 22	mpancom 688	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴) → (card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
25		onenon 9989	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ∈ On → (ℵ‘suc 𝐴) ∈ dom card)
26	4, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ dom card
27		cardsdomel 10014	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐵) ∈ On ∧ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ (card‘𝐵) ∈ (card‘(ℵ‘suc 𝐴))))
28	14, 26, 27	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ (card‘𝐵) ∈ (card‘(ℵ‘suc 𝐴)))
29		alephcard 10110	. . . . . 6 ⊢ (card‘(ℵ‘suc 𝐴)) = (ℵ‘suc 𝐴)
30	29	eleq2i 2833	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐵) ∈ (card‘(ℵ‘suc 𝐴)) ↔ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
31	28, 30	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐵) ≺ (ℵ‘suc 𝐴) ↔ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
32	24, 31	sylib 218	. . 3 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴))
33	21, 32	jca 511	. 2 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴)) → ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ∈ (ℵ‘suc 𝐴)))
34	3, 33	mto 197	1 ⊢ ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ (ℵ‘suc 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Oncon0 6384  suc csuc 6386  ‘cfv 6561   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984  cardccrd 9975  ℵcale 9976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-har 9597  df-card 9979  df-aleph 9980

This theorem is referenced by:  alephsucdom  10119  alephsucpw2  10151  alephgch  10714  winalim2  10736  aleph1re  16281