MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqle 11312
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
eqle ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem eqle
StepHypRef Expression
1 leid 11306 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴𝐴)
2 breq2 5142 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴𝐴𝐵))
32biimpac 478 . 2 ((𝐴𝐴𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
41, 3sylan 579 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5138  cr 11104  cle 11245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-pre-lttri 11179
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250
This theorem is referenced by:  eqled  11313  pfxsuffeqwrdeq  14644  sqrtneglem  15209  leabs  15242  dvlip  25847  nmlno0lem  30481  nmblolbii  30487  nmlnop0iALT  31683  nmbdoplbi  31712  nmcoplbi  31716  nmbdfnlbi  31737  nmcfnlbi  31740  pjnmopi  31836  areacirc  37037  dvconstbi  43548  binomcxplemnn0  43563
  Copyright terms: Public domain W3C validator