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Theorem areacirc 37666
Description: The area of a circle of radius 𝑅 is π · 𝑅↑2. This is Metamath 100 proof #9. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 22-Sep-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
areacirc.1 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))}
Assertion
Ref Expression
areacirc ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = (π · (𝑅↑2)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem areacirc
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 areacirc.1 . . . . . 6 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))}
2 opabssxp 5787 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ≤ (𝑅↑2))} ⊆ (ℝ × ℝ)
31, 2eqsstri 4043 . . . . 5 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ)
43a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ))
51areacirclem5 37665 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
6 resqcl 14168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
763ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
8 resqcl 14168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
983ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
107, 9resubcld 11712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
12 absresq 15345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
13123ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
1413breq1d 5176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
15 recn 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
1615abscld 15479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
17163ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
18 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
1915absge0d 15487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
20193ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
21 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
2217, 18, 20, 21le2sqd 14300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
237, 9subge0d 11874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
2414, 22, 233bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
2524biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
2611, 25resqrtcld 15460 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
2726renegcld 11711 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
28 iccmbl 25612 . . . . . . . . . 10 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
2927, 26, 28syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
30 mblvol 25576 . . . . . . . . . . . 12 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3211, 25sqrtge0d 15463 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
3326, 26, 32, 32addge0d 11860 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
34 recn 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
3534sqcld 14188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
36353ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
3715sqcld 14188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
38373ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
3936, 38subcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
4039sqrtcld 15480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
4241, 41subnegd 11648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4342breq2d 5178 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
4426, 27subge0d 11874 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4543, 44bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4633, 45mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
47 ovolicc 25569 . . . . . . . . . . . 12 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ ∧ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4827, 26, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
4931, 48eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
5026, 27resubcld 11712 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ℝ)
5149, 50eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ)
52 volf 25575 . . . . . . . . . 10 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
53 ffn 6742 . . . . . . . . . 10 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
54 elpreima 7086 . . . . . . . . . 10 (vol Fn dom vol → ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ) ↔ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ)))
5552, 53, 54mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ) ↔ ((-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ℝ))
5629, 51, 55sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (vol “ ℝ))
57 0mbl 25585 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ dom vol
58 mblvol 25576 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
60 ovol0 25539 . . . . . . . . . . . 12 (vol*‘∅) = 0
6159, 60eqtri 2768 . . . . . . . . . . 11 (vol‘∅) = 0
62 0re 11286 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
6361, 62eqeltri 2840 . . . . . . . . . 10 (vol‘∅) ∈ ℝ
64 elpreima 7086 . . . . . . . . . . 11 (vol Fn dom vol → (∅ ∈ (vol “ ℝ) ↔ (∅ ∈ dom vol ∧ (vol‘∅) ∈ ℝ)))
6552, 53, 64mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ (vol “ ℝ) ↔ (∅ ∈ dom vol ∧ (vol‘∅) ∈ ℝ))
6657, 63, 65mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ (vol “ ℝ)
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅) → ∅ ∈ (vol “ ℝ))
6856, 67ifclda 4583 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) ∈ (vol “ ℝ))
695, 68eqeltrd 2844 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
70693expa 1118 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
7170ralrimiva 3152 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ))
725fveq2d 6919 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
73723expa 1118 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
7473mpteq2dva 5266 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))))
75 renegcl 11593 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ)
7675adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → -𝑅 ∈ ℝ)
77 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
78 iccssre 13483 . . . . . . 7 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
7976, 77, 78syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
80 rembl 25586 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
8180a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ℝ ∈ dom vol)
82 fvexd 6930 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) ∈ V)
83 eldif 3986 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
84 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
86753ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → -𝑅 ∈ ℝ)
87 elicc2 13466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
8886, 18, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
89 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
9089, 18absled 15473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
9189biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
9290, 91bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅𝑡𝑡𝑅))))
9385, 88, 923bitr4rd 312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
9493biimpd 229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)))
9594con3d 152 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
96953expia 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)))
9796impd 410 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
9883, 97biimtrid 242 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
9998imp 406 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅))) → ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
100 iffalse 4557 . . . . . . . . 9 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) = ∅)
101100fveq2d 6919 . . . . . . . 8 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘∅))
102101, 61eqtrdi 2796 . . . . . . 7 (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
10399, 102syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅[,]𝑅))) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
10476, 77, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
10590biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
106105expd 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)))
1071063expia 1121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))))
1081073impd 1348 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
109104, 108sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
1101093impia 1117 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
111 iftrue 4554 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅) = (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
112111fveq2d 6919 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
113110, 112syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
11463ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
11575, 78mpancom 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
116115sselda 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
1171163adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
118117resqcld 14169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
119114, 118resubcld 11712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
12075, 87mpancom 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
12222, 90, 143bitr3rd 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
12323, 122bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
124123biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
125124expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1261253expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
1271263impd 1348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
128121, 127sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
1291283impia 1117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
130119, 129resqrtcld 15460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
131130renegcld 11711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
132131, 130, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
133132, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
134119recnd 11312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
135134sqrtcld 15480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
136135, 135subnegd 11648 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
137119, 129sqrtge0d 15463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
138130, 130, 137, 137addge0d 11860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
139136breq2d 5178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
140130, 131subge0d 11874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
141139, 140bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
142138, 141mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
143131, 130, 142, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1441352timesd 12530 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
145136, 143, 1443eqtr4d 2790 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
146113, 133, 1453eqtrd 2784 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
1471463expa 1118 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
148147mpteq2dva 5266 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
149 areacirclem3 37663 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ 𝐿1)
150148, 149eqeltrd 2844 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) ∈ 𝐿1)
15179, 81, 82, 103, 150iblss2 25853 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))) ∈ 𝐿1)
15274, 151eqeltrd 2844 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) ∈ 𝐿1)
153 dmarea 27010 . . . 4 (𝑆 ∈ dom area ↔ (𝑆 ⊆ (ℝ × ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ℝ (𝑆 “ {𝑡}) ∈ (vol “ ℝ) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝑆 “ {𝑡}))) ∈ 𝐿1))
1544, 71, 152, 153syl3anbrc 1343 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑆 ∈ dom area)
155 areaval 27017 . . 3 (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
156154, 155syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
157 elioore 13431 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℝ)
15853expa 1118 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
159157, 158sylan2 592 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
160159fveq2d 6919 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
161160itgeq2dv 25829 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
162 ioossre 13462 . . . . 5 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ
163162a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ)
164 eldif 3986 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)))
16575rexrd 11334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ*)
166 rexr 11330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
167 elioo2 13442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
168165, 166, 167syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
1691683ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
17089biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅))))
17189, 18absltd 15472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
172 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅))))
174170, 171, 1733bitr4rd 312 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ (abs‘𝑡) < 𝑅))
175169, 174bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (abs‘𝑡) < 𝑅))
176175notbid 318 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ ¬ (abs‘𝑡) < 𝑅))
17718, 17lenltd 11430 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) < 𝑅))
178176, 177bitr4d 282 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)))
1795adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑆 “ {𝑡}) = if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅))
180179fveq2d 6919 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)))
18117anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅))
182 eqle 11386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
183181, 182, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
184 oveq1 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘𝑡) = 𝑅 → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑅↑2))
185184adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑅↑2))
18613adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
187185, 186eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (𝑅↑2) = (𝑡↑2))
188 fvoveq1 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))))
189188negeqd 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))))
190189, 188oveq12d 7461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅↑2) = (𝑡↑2) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))))
1918recnd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
192191subidd 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ ℝ → ((𝑡↑2) − (𝑡↑2)) = 0)
193192fveq2d 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 ∈ ℝ → (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘0))
194193negeqd 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ ℝ → -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = -(√‘0))
195 sqrt0 15284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (√‘0) = 0
196195negeqi 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -(√‘0) = -0
197 neg0 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -0 = 0
198196, 197eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -(√‘0) = 0
199194, 198eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ ℝ → -(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = 0)
200193, 195eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ ℝ → (√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2))) = 0)
201199, 200oveq12d 7461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ ℝ → (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
2022013ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (-(√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑡↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
203190, 202sylan9eqr 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (0[,]0))
204203fveq2d 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol‘(0[,]0)))
205 iccmbl 25612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (0[,]0) ∈ dom vol)
20662, 62, 205mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0[,]0) ∈ dom vol
207 mblvol 25576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0[,]0) ∈ dom vol → (vol‘(0[,]0)) = (vol*‘(0[,]0)))
208206, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (vol‘(0[,]0)) = (vol*‘(0[,]0))
209 0xr 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ ℝ*
210 iccid 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℝ* → (0[,]0) = {0})
211210fveq2d 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℝ* → (vol*‘(0[,]0)) = (vol*‘{0}))
212209, 211ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (vol*‘(0[,]0)) = (vol*‘{0})
213 ovolsn 25541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℝ → (vol*‘{0}) = 0)
21462, 213ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (vol*‘{0}) = 0
215212, 214eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (vol*‘(0[,]0)) = 0
216208, 215eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (vol‘(0[,]0)) = 0
217204, 216eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑅↑2) = (𝑡↑2)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = 0)
218187, 217syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = 0)
219183, 218eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝑡) = 𝑅) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
220219ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) = 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
221220adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → ((abs‘𝑡) = 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
22218, 17ltnled 11431 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
223222adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ ¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅))
224 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → 𝑅 ∈ ℝ)
22517adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
226 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑡))
227224, 225, 226leltned 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (𝑅 < (abs‘𝑡) ↔ (abs‘𝑡) ≠ 𝑅))
228223, 227bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (¬ (abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑡) ≠ 𝑅))
229228, 102biimtrrdi 254 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → ((abs‘𝑡) ≠ 𝑅 → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0))
230221, 229pm2.61dne 3034 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = 0)
231180, 230eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑡)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)
232231ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ (abs‘𝑡) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
233178, 232sylbid 240 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
2342333expia 1121 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)))
235234impd 410 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
236164, 235biimtrid 242 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0))
237236imp 406 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (-𝑅(,)𝑅))) → (vol‘(𝑆 “ {𝑡})) = 0)
238163, 237itgss 25859 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡)
239 negeq 11522 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 0 → -𝑅 = -0)
240239, 197eqtrdi 2796 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → -𝑅 = 0)
241 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → 𝑅 = 0)
242240, 241oveq12d 7461 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0 → (-𝑅(,)𝑅) = (0(,)0))
243 iooid 13429 . . . . . . . 8 (0(,)0) = ∅
244242, 243eqtrdi 2796 . . . . . . 7 (𝑅 = 0 → (-𝑅(,)𝑅) = ∅)
245244adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → (-𝑅(,)𝑅) = ∅)
246 itgeq1 25820 . . . . . 6 ((-𝑅(,)𝑅) = ∅ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
247245, 246syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡)
248 itg0 25827 . . . . . 6 ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = 0
249 sq0 14235 . . . . . . . . . 10 (0↑2) = 0
250249oveq2i 7454 . . . . . . . . 9 (π · (0↑2)) = (π · 0)
251 picn 26511 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
252251mul01i 11474 . . . . . . . . 9 (π · 0) = 0
253250, 252eqtr2i 2769 . . . . . . . 8 0 = (π · (0↑2))
254 oveq1 7450 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0 → (𝑅↑2) = (0↑2))
255254oveq2d 7459 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0 → (π · (𝑅↑2)) = (π · (0↑2)))
256253, 255eqtr4id 2799 . . . . . . 7 (𝑅 = 0 → 0 = (π · (𝑅↑2)))
257256adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → 0 = (π · (𝑅↑2)))
258248, 257eqtrid 2792 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫∅(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
259247, 258eqtrd 2780 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 = 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
260 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
261 0red 11287 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ∈ ℝ)
262 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
263261, 77, 262leltned 11437 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (0 < 𝑅𝑅 ≠ 0))
264263biimp3ar 1470 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 0 < 𝑅)
265260, 264elrpd 13090 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2662653expa 1118 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
267157, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
268267adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
269 rpre 13059 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
270269adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
271269renegcld 11711 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ)
272271rexrd 11334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ*)
273 rpxr 13060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
274272, 273, 167syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
275 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
276269adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
277275, 276absltd 15472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
278277biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
279278exp4b 430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → (abs‘𝑡) < 𝑅))))
2802793impd 1348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
281274, 280sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (abs‘𝑡) < 𝑅))
282281imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) < 𝑅)
283268, 270, 282ltled 11432 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (abs‘𝑡) ≤ 𝑅)
284283, 112syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
285269resqcld 14169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
286285recnd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
287286adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
288191adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
289287, 288subcld 11641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
290289sqrtcld 15480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
291290, 290subnegd 11648 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
292157, 291sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
293285adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
2948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
295293, 294resubcld 11712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
296157, 295sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
297 0red 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ∈ ℝ)
29816adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
29919adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
300 rpge0 13064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
301300adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
302298, 276, 299, 301lt2sqd 14299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2)))
30312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
304303breq1d 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) < (𝑅↑2)))
305302, 277, 3043bitr3rd 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < (𝑅↑2) ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
306294, 293posdifd 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
307305, 306bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
308307biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
309308exp4b 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
3103093impd 1348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
311274, 310sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
312311imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 < ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
313297, 296, 312ltled 11432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
314296, 313resqrtcld 15460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
315314renegcld 11711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℝ)
316315, 314, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ dom vol)
317316, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
318296, 313sqrtge0d 15463 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
319314, 314, 318, 318addge0d 11860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
320292breq2d 5178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ 0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
321314, 315subge0d 11874 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
322320, 321bitr3d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (0 ≤ ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ↔ -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
323319, 322mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ≤ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
324315, 314, 323, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol*‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
325317, 324eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) − -(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
326 ax-resscn 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
327326a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → ℝ ⊆ ℂ)
328271, 269, 78syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
329 rpcn 13061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
330329sqcld 14188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
331330adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
332328sselda 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑢 ∈ ℝ)
333332recnd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑢 ∈ ℂ)
334329adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
335 rpne0 13067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ≠ 0)
336335adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
337333, 334, 336divcld 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑢 / 𝑅) ∈ ℂ)
338 asincl 26926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) ∈ ℂ)
339337, 338syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) ∈ ℂ)
340 1cnd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
341337sqcld 14188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑢 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
342340, 341subcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
343342sqrtcld 15480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
344337, 343mulcld 11304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
345339, 344addcld 11303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) ∈ ℂ)
346331, 345mulcld 11304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ℂ)
347 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
348347tgioo2 24836 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
349 iccntr 24854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-𝑅[,]𝑅)) = (-𝑅(,)𝑅))
350271, 269, 349syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-𝑅[,]𝑅)) = (-𝑅(,)𝑅))
351327, 328, 346, 348, 347, 350dvmptntr 26021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))))
352 areacirclem1 37661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
353351, 352eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
354353adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))))
355 oveq1 7450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑡 → (𝑢↑2) = (𝑡↑2))
356355oveq2d 7459 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑡 → ((𝑅↑2) − (𝑢↑2)) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
357356fveq2d 6919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑡 → (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
358357oveq2d 7459 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑡 → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
359358adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) ∧ 𝑢 = 𝑡) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
360 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅))
361 ovexd 7478 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ V)
362354, 359, 360, 361fvmptd 7031 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
363157, 290sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
3643632timesd 12530 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
365362, 364eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = ((√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) + (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
366292, 325, 3653eqtr4rd 2791 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) = (vol‘(-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
367284, 366eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) = ((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡))
368367itgeq2dv 25829 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = ∫(-𝑅(,)𝑅)((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) d𝑡)
369269, 269, 300, 300addge0d 11860 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑅 + 𝑅))
370329, 329subnegd 11648 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 − -𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
371370breq2d 5178 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 − -𝑅) ↔ 0 ≤ (𝑅 + 𝑅)))
372269, 271subge0d 11874 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 − -𝑅) ↔ -𝑅𝑅))
373371, 372bitr3d 281 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (𝑅 + 𝑅) ↔ -𝑅𝑅))
374369, 373mpbid 232 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅𝑅)
375 2cn 12362 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
376162, 326sstri 4018 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ
377 ssid 4031 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
378375, 376, 3773pm3.2i 1339 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ ∧ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
379 cncfmptc 24949 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 2) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
380378, 379mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 2) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
381 ioossicc 13487 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅)
382 resmpt 6061 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))))
383381, 382ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) = (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))
384 areacirclem2 37662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
385269, 300, 384syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
386 rescncf 24934 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ)))
387381, 385, 386mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ↾ (-𝑅(,)𝑅)) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
388383, 387eqeltrrid 2849 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
389380, 388mulcncf 25491 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
390353, 389eqeltrd 2844 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) ∈ ((-𝑅(,)𝑅)–cn→ℂ))
391381a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ (-𝑅[,]𝑅))
392 ioombl 25611 . . . . . . . . . . 11 (-𝑅(,)𝑅) ∈ dom vol
393392a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (-𝑅(,)𝑅) ∈ dom vol)
394 ovexd 7478 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2)))) ∈ V)
395 areacirclem3 37663 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
396391, 393, 394, 395iblss 25852 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
397269, 300, 396syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑢↑2))))) ∈ 𝐿1)
398353, 397eqeltrd 2844 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))) ∈ 𝐿1)
399 areacirclem4 37664 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
400271, 269, 374, 390, 398, 399ftc2nc 37655 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)((ℝ D (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)))
401 eqidd 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))) = (𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))))))
402 fvoveq1 7466 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑅 → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) = (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)))
403 oveq1 7450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑅 → (𝑢 / 𝑅) = (𝑅 / 𝑅))
404403oveq1d 7458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑢 / 𝑅)↑2) = ((𝑅 / 𝑅)↑2))
405404oveq2d 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑅 → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) = (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))
406405fveq2d 6919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑅 → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))
407403, 406oveq12d 7461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))
408402, 407oveq12d 7461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑅 → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))))
409408oveq2d 7459 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑅 → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
410409adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = 𝑅) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
411 ubicc2 13519 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ -𝑅𝑅) → 𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
412272, 273, 374, 411syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
413 ovexd 7478 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V)
414401, 410, 412, 413fvmptd 7031 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
415329, 335dividd 12062 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 / 𝑅) = 1)
416415fveq2d 6919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) = (arcsin‘1))
417 asin1 26947 . . . . . . . . . . . . 13 (arcsin‘1) = (π / 2)
418416, 417eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) = (π / 2))
419415oveq1d 7458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅)↑2) = (1↑2))
420 sq1 14238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1↑2) = 1
421419, 420eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅)↑2) = 1)
422421oveq2d 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)) = (1 − 1))
423 1cnd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
424423subidd 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − 1) = 0)
425422, 424eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)) = 0)
426425fveq2d 6919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))) = (√‘0))
427426, 195eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))) = 0)
428427oveq2d 7459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑅 / 𝑅) · 0))
429329, 329, 335divcld 12064 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 / 𝑅) ∈ ℂ)
430429mul01d 11483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · 0) = 0)
431428, 430eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))) = 0)
432418, 431oveq12d 7461 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))) = ((π / 2) + 0))
433 2ne0 12391 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
434251, 375, 433divcli 12030 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℂ
435434a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℂ)
436435addridd 11484 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((π / 2) + 0) = (π / 2))
437432, 436eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2))))) = (π / 2))
438437oveq2d 7459 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑅 / 𝑅)) + ((𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑅 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · (π / 2)))
439414, 438eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) = ((𝑅↑2) · (π / 2)))
440 fvoveq1 7466 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = -𝑅 → (arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) = (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)))
441 oveq1 7450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = -𝑅 → (𝑢 / 𝑅) = (-𝑅 / 𝑅))
442441oveq1d 7458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = -𝑅 → ((𝑢 / 𝑅)↑2) = ((-𝑅 / 𝑅)↑2))
443442oveq2d 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = -𝑅 → (1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)) = (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))
444443fveq2d 6919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = -𝑅 → (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))
445441, 444oveq12d 7461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = -𝑅 → ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))) = ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))
446440, 445oveq12d 7461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = -𝑅 → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))))
447446adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = -𝑅) → ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2))))) = ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))))
448447oveq2d 7459 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 = -𝑅) → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
449 lbicc2 13518 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ -𝑅𝑅) → -𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
450272, 273, 374, 449syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ (-𝑅[,]𝑅))
451 ovexd 7478 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))) ∈ V)
452401, 448, 450, 451fvmptd 7031 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅) = ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))))
453329, 329, 335divnegd 12077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(𝑅 / 𝑅) = (-𝑅 / 𝑅))
454415negeqd 11524 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(𝑅 / 𝑅) = -1)
455453, 454eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅 / 𝑅) = -1)
456455fveq2d 6919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) = (arcsin‘-1))
457 ax-1cn 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
458 asinneg 26939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1))
459457, 458ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1)
460417negeqi 11523 . . . . . . . . . . . . . 14 -(arcsin‘1) = -(π / 2)
461459, 460eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . 13 (arcsin‘-1) = -(π / 2)
462456, 461eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) = -(π / 2))
463455oveq1d 7458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅)↑2) = (-1↑2))
464 neg1sqe1 14239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-1↑2) = 1
465463, 464eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅)↑2) = 1)
466465oveq2d 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)) = (1 − 1))
467466, 424eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)) = 0)
468467fveq2d 6919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))) = (√‘0))
469468, 195eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))) = 0)
470469oveq2d 7459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))) = ((-𝑅 / 𝑅) · 0))
471271recnd 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℂ)
472471, 329, 335divcld 12064 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅 / 𝑅) ∈ ℂ)
473472mul01d 11483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · 0) = 0)
474470, 473eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))) = 0)
475462, 474oveq12d 7461 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))) = (-(π / 2) + 0))
476434negcli 11598 . . . . . . . . . . . . 13 -(π / 2) ∈ ℂ
477476a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → -(π / 2) ∈ ℂ)
478477addridd 11484 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-(π / 2) + 0) = -(π / 2))
479475, 478eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2))))) = -(π / 2))
480479oveq2d 7459 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(-𝑅 / 𝑅)) + ((-𝑅 / 𝑅) · (√‘(1 − ((-𝑅 / 𝑅)↑2)))))) = ((𝑅↑2) · -(π / 2)))
481452, 480eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅) = ((𝑅↑2) · -(π / 2)))
482439, 481oveq12d 7461 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)) = (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))))
483434, 434subnegi 11609 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
484 pidiv2halves 26519 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) + (π / 2)) = π
485483, 484eqtri 2768 . . . . . . . . . 10 ((π / 2) − -(π / 2)) = π
486485a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((π / 2) − -(π / 2)) = π)
487486oveq2d 7459 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((π / 2) − -(π / 2))) = ((𝑅↑2) · π))
488330, 435, 477subdid 11740 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · ((π / 2) − -(π / 2))) = (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))))
489251a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → π ∈ ℂ)
490330, 489mulcomd 11305 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · π) = (π · (𝑅↑2)))
491487, 488, 4903eqtr3d 2788 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑅↑2) · (π / 2)) − ((𝑅↑2) · -(π / 2))) = (π · (𝑅↑2)))
492482, 491eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘𝑅) − ((𝑢 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑢 / 𝑅)) + ((𝑢 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑢 / 𝑅)↑2)))))))‘-𝑅)) = (π · (𝑅↑2)))
493368, 400, 4923eqtrd 2784 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
494266, 493syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑅 ≠ 0) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
495259, 494pm2.61dane 3035 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫(-𝑅(,)𝑅)(vol‘if((abs‘𝑡) ≤ 𝑅, (-(√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))[,](√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))), ∅)) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
496161, 238, 4953eqtr3d 2788 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑡})) d𝑡 = (π · (𝑅↑2)))
497156, 496eqtrd 2780 1 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (area‘𝑆) = (π · (𝑅↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  Vcvv 3488  cdif 3973  wss 3976  c0 4352  ifcif 4548  {csn 4648   class class class wbr 5166  {copab 5228  cmpt 5249   × cxp 5693  ccnv 5694  dom cdm 5695  ran crn 5696  cres 5697  cima 5698   Fn wfn 6563  wf 6564  cfv 6568  (class class class)co 7443  cc 11176  cr 11177  0cc0 11178  1c1 11179   + caddc 11181   · cmul 11183  +∞cpnf 11315  *cxr 11317   < clt 11318  cle 11319  cmin 11514  -cneg 11515   / cdiv 11941  2c2 12342  +crp 13051  (,)cioo 13401  [,]cicc 13404  cexp 14106  csqrt 15276  abscabs 15277  πcpi 16108  TopOpenctopn 17475  topGenctg 17491  fldccnfld 21381  intcnt 23038  cnccncf 24913  vol*covol 25508  volcvol 25509  𝐿1cibl 25663  citg 25664   D cdv 25910  arcsincasin 26915  areacarea 27008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-inf2 9704  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255  ax-pre-sup 11256  ax-addf 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-symdif 4272  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-se 5651  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-isom 6577  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7708  df-ofr 7709  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-supp 8196  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-1o 8516  df-2o 8517  df-oadd 8520  df-omul 8521  df-er 8757  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8950  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-fin 9001  df-fsupp 9426  df-fi 9474  df-sup 9505  df-inf 9506  df-oi 9573  df-dju 9964  df-card 10002  df-acn 10005  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-div 11942  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-4 12352  df-5 12353  df-6 12354  df-7 12355  df-8 12356  df-9 12357  df-n0 12548  df-z 12634  df-dec 12753  df-uz 12898  df-q 13008  df-rp 13052  df-xneg 13169  df-xadd 13170  df-xmul 13171  df-ioo 13405  df-ioc 13406  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13562  df-fzo 13706  df-fl 13837  df-mod 13915  df-seq 14047  df-exp 14107  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15110  df-cj 15142  df-re 15143  df-im 15144  df-sqrt 15278  df-abs 15279  df-limsup 15511  df-clim 15528  df-rlim 15529  df-sum 15729  df-ef 16109  df-sin 16111  df-cos 16112  df-tan 16113  df-pi 16114  df-struct 17188  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ress 17282  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-submnd 18813  df-mulg 19102  df-cntz 19351  df-cmn 19818  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22913  df-topon 22930  df-topsp 22952  df-bases 22966  df-cld 23040  df-ntr 23041  df-cls 23042  df-nei 23119  df-lp 23157  df-perf 23158  df-cn 23248  df-cnp 23249  df-haus 23336  df-cmp 23408  df-tx 23583  df-hmeo 23776  df-fil 23867  df-fm 23959  df-flim 23960  df-flf 23961  df-xms 24343  df-ms 24344  df-tms 24345  df-cncf 24915  df-ovol 25510  df-vol 25511  df-mbf 25665  df-itg1 25666  df-itg2 25667  df-ibl 25668  df-itg 25669  df-0p 25716  df-limc 25913  df-dv 25914  df-log 26608  df-cxp 26609  df-asin 26918  df-area 27009
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