MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltlen 11252
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltlen ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ltlen
StepHypRef Expression
1 ltle 11239 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
2 ltne 11248 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
32ex 413 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
43adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
51, 4jcad 513 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
6 leloe 11237 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
7 df-ne 2942 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
8 pm2.24 124 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
98eqcoms 2744 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
107, 9biimtrid 241 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
1110jao1i 856 . . . 4 ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
126, 11syl6bi 252 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
1312impd 411 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 < 𝐵))
145, 13impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5103  cr 11046   < clt 11185  cle 11186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191
This theorem is referenced by:  ltleni  11269  ltlend  11296  nn0lt2  12562  rpneg  12939  fzofzim  13611  elfznelfzob  13670  hashsdom  14273  cnpart  15117  oddprmgt2  16567  chfacfisf  22187  chfacfisfcpmat  22188  ang180lem2  26144  mumullem2  26513  lgsneg  26653  lgsdilem  26656  lgsdirprm  26663  2sqreultlem  26779  2sqreunnltlem  26782  axlowdimlem16  27792  unitdivcld  32351  zltp1ne  33569  poimirlem24  36069  itg2addnclem  36096  fzopredsuc  45487  iccpartiltu  45546  icceuelpartlem  45559  difmodm1lt  46540
  Copyright terms: Public domain W3C validator