MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltlen 10933
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltlen ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ltlen
StepHypRef Expression
1 ltle 10921 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
2 ltne 10929 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
32ex 416 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
43adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
51, 4jcad 516 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
6 leloe 10919 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
7 df-ne 2941 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
8 pm2.24 124 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
98eqcoms 2745 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
107, 9syl5bi 245 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
1110jao1i 858 . . . 4 ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
126, 11syl6bi 256 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
1312impd 414 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 < 𝐵))
145, 13impbid 215 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  cr 10728   < clt 10867  cle 10868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873
This theorem is referenced by:  ltleni  10950  ltlend  10977  nn0lt2  12240  rpneg  12618  fzofzim  13289  elfznelfzob  13348  hashsdom  13948  cnpart  14803  oddprmgt2  16256  chfacfisf  21751  chfacfisfcpmat  21752  ang180lem2  25693  mumullem2  26062  lgsneg  26202  lgsdilem  26205  lgsdirprm  26212  2sqreultlem  26328  2sqreunnltlem  26331  axlowdimlem16  27048  unitdivcld  31565  zltp1ne  32781  poimirlem24  35538  itg2addnclem  35565  fzopredsuc  44488  iccpartiltu  44547  icceuelpartlem  44560  difmodm1lt  45541
  Copyright terms: Public domain W3C validator