Theorem ltlen 11284

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltlen	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem ltlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltle 11271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
2		ltne 11280	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
3	2	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
4	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
5	1, 4	jcad 520	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))
6		leloe 11269	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
7		df-ne 2958	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
8		pm2.24 124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
9	8	eqcoms 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
10	7, 9	biimtrid 244	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
11	10	jao1i 869	. . . 4 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
12	6, 11	biimtrdi 255	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
13	12	impd 414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵))
14	5, 13	impbid 214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ℝcr 11072   < clt 11216   ≤ cle 11217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222

This theorem is referenced by:  ltleni  11301  ltlend  11328  nn0lt2  12636  rpneg  13027  fzofzim  13715  elfznelfzob  13780  hashsdom  14394  cnpart  15267  oddprmgt2  16734  chfacfisf  22914  chfacfisfcpmat  22915  ang180lem2  26875  mumullem2  27244  lgsneg  27385  lgsdilem  27388  lgsdirprm  27395  2sqreultlem  27511  2sqreunnltlem  27514  axlowdimlem16  29158  unitdivcld  34198  zltp1ne  35460  poimirlem24  38143  itg2addnclem  38170  fzopredsuc  47918  iccpartiltu  48028  icceuelpartlem  48041