Theorem ltlen 11275

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltlen	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem ltlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltle 11262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
2		ltne 11271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
3	2	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
5	1, 4	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))
6		leloe 11260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
7		df-ne 2926	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
8		pm2.24 124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
9	8	eqcoms 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
10	7, 9	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
11	10	jao1i 858	. . . 4 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
12	6, 11	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
13	12	impd 410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵))
14	5, 13	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  ltleni  11292  ltlend  11319  nn0lt2  12597  rpneg  12985  fzofzim  13670  elfznelfzob  13734  hashsdom  14346  cnpart  15206  oddprmgt2  16669  chfacfisf  22741  chfacfisfcpmat  22742  ang180lem2  26720  mumullem2  27090  lgsneg  27232  lgsdilem  27235  lgsdirprm  27242  2sqreultlem  27358  2sqreunnltlem  27361  axlowdimlem16  28884  unitdivcld  33891  zltp1ne  35097  poimirlem24  37638  itg2addnclem  37665  fzopredsuc  47324  iccpartiltu  47423  icceuelpartlem  47436