Theorem ltlen 11362

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltlen	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem ltlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltle 11349	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
2		ltne 11358	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
3	2	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
5	1, 4	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))
6		leloe 11347	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
7		df-ne 2941	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
8		pm2.24 124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
9	8	eqcoms 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
10	7, 9	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
11	10	jao1i 859	. . . 4 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
12	6, 11	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 < 𝐵)))
13	12	impd 410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵))
14	5, 13	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  ltleni  11379  ltlend  11406  nn0lt2  12681  rpneg  13067  fzofzim  13749  elfznelfzob  13812  hashsdom  14420  cnpart  15279  oddprmgt2  16736  chfacfisf  22860  chfacfisfcpmat  22861  ang180lem2  26853  mumullem2  27223  lgsneg  27365  lgsdilem  27368  lgsdirprm  27375  2sqreultlem  27491  2sqreunnltlem  27494  axlowdimlem16  28972  unitdivcld  33900  zltp1ne  35115  poimirlem24  37651  itg2addnclem  37678  fzopredsuc  47335  iccpartiltu  47409  icceuelpartlem  47422  difmodm1lt  48443