MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltlen 11261
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltlen ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ltlen
StepHypRef Expression
1 ltle 11248 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
2 ltne 11257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
32ex 414 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
43adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
51, 4jcad 514 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
6 leloe 11246 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
7 df-ne 2941 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
8 pm2.24 124 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
98eqcoms 2741 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
107, 9biimtrid 241 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
1110jao1i 857 . . . 4 ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
126, 11syl6bi 253 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
1312impd 412 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 < 𝐵))
145, 13impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940   class class class wbr 5106  cr 11055   < clt 11194  cle 11195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200
This theorem is referenced by:  ltleni  11278  ltlend  11305  nn0lt2  12571  rpneg  12952  fzofzim  13625  elfznelfzob  13684  hashsdom  14287  cnpart  15131  oddprmgt2  16580  chfacfisf  22219  chfacfisfcpmat  22220  ang180lem2  26176  mumullem2  26545  lgsneg  26685  lgsdilem  26688  lgsdirprm  26695  2sqreultlem  26811  2sqreunnltlem  26814  axlowdimlem16  27948  unitdivcld  32539  zltp1ne  33757  poimirlem24  36148  itg2addnclem  36175  fzopredsuc  45641  iccpartiltu  45700  icceuelpartlem  45713  difmodm1lt  46694
  Copyright terms: Public domain W3C validator