Theorem binomcxplemnn0 44322

Description: Lemma for binomcxp 44330. When 𝐶 is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 15755 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set (0...𝐶), and when the index set is widened beyond 𝐶 the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemnn0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Proof of Theorem binomcxplemnn0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		binomcxp.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		binom 15755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
6	5	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
7	2, 4, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
8	7	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
9	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 11153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
13		cxpexp 26593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
15		elfznn0 13541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18	16, 17	bccbc 44318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
19	15, 18	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
20	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21		elfzle2 13449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ≤ 𝐶)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝑘 ≤ 𝐶)
23		nn0sub 12452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
24	23	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
25	24	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
26	15, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
27	22, 26	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0)
28		cxpexp 26593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝐶 − 𝑘)))
29	20, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝐶 − 𝑘)))
30	29	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
31	19, 30	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = ((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
32	31	sumeq2dv 15627	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
33	8, 14, 32	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
34		binomcxp.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36	11, 35	cxpcld 26633	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
37	33, 36	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
38	37	addridd 11334	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
39		nn0uz 12795	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
40		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐶 + 1))
41		1nn0 12418	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
43	12, 42	nn0addcld 12467	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
44		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)))))
45		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
46	45	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
47	45	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶 − 𝑗) = (𝐶 − 𝑘))
48	47	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) = (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)))
49	45	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑘))
50	48, 49	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
51	46, 50	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
52	34	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
53	52, 17	bcccl 44312	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
54	2	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	17	nn0cnd 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
56	52, 55	subcld 11493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
57	54, 56	cxpcld 26633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
58	4	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
59	58, 17	expcld 14071	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
60	57, 59	mulcld 11154	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
61	53, 60	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
62	44, 51, 17, 61	fvmptd 6941	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
63		peano2nn0 12442	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
64	63	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
65		c0ex 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
66	65	fconst 6714	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0}
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0})
68		0red 11137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
69	68	snssd 4763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℝ)
70	67, 69	fssd 6673	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶ℝ)
71	70	ffvelcdmda 7022	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
72	62, 61	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) ∈ ℂ)
73		climrel 15417	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
74	39	xpeq1i 5649	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0})
75		seqeq3 13931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0}) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})))
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0}))
77		0z 12500	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
78		serclim0 15502	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0)
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0
80	76, 79	eqbrtri 5116	. . . . . . 7 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0
81		releldm 5890	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
82	73, 80, 81	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝
83	82	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
84		eluznn0 12836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
85	64, 84	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
86	85, 62	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
87		0zd 12501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
88	85	nn0zd 12515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
89		1zzd 12524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
90	88, 89	zsubcld 12603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
91	12	nn0zd 12515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℤ)
93	12	nn0ge0d 12466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 0 ≤ 𝐶)
95		eluzle 12766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
97	92	zred 12598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
98		1red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
99	85	nn0red 12464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
100		leaddsub 11614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
101	97, 98, 99, 100	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
102	96, 101	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ≤ (𝑘 − 1))
103	87, 90, 92, 94, 102	elfzd 13436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
104	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
105	104, 85	bcc0 44313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
106	103, 105	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶C𝑐𝑘) = 0)
107	106	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (0 · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
108	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
109		eluzelcn 12765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
111	104, 110	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
112	108, 111	cxpcld 26633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
113	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
114	113, 85	expcld 14071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
115	112, 114	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
116	115	mul02d 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
117	107, 116	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
118	86, 117	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = 0)
119	118	abs00bd 15216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) = 0)
120		0re 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
121	119, 120	eqeltrdi 2836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ)
122		eqle 11236	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) = 0) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
123	121, 119, 122	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
124	71	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
125	85, 124	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
126	125	mul02d 11332	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)) = 0)
127	123, 126	breqtrrd 5123	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)))
128	39, 64, 71, 72, 83, 68, 127	cvgcmpce 15743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))) ∈ dom ⇝ )
129	39, 40, 43, 62, 61, 128	isumsplit 15765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
130		1cnd 11129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
131	35, 130	pncand 11494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − 1) = 𝐶)
132	131	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0...((𝐶 + 1) − 1)) = (0...𝐶))
133	132	sumeq1d 15625	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
134	133	oveq1d 7368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
135	117	sumeq2dv 15627	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0)
136		ssid 3960	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))
137	136	orci 865	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin)
138		sumz 15647	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0 = 0)
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0 = 0
140	135, 139	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
141	140	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0))
142	129, 134, 141	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0))
143	38, 142, 33	3eqtr4rd 2775	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  {csn 4579   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  dom cdm 5623  Rel wrel 5628  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ℝ⁺crp 12911  ...cfz 13428  seqcseq 13926  ↑cexp 13986  Ccbc 14227  abscabs 15159   ⇝ cli 15409  Σcsu 15611  ↑_𝑐ccxp 26480  C_𝑐cbcc 44309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-prod 15829  df-fallfac 15932  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784  df-log 26481  df-cxp 26482  df-bcc 44310

This theorem is referenced by:  binomcxp  44330