Theorem binomcxplemnn0 44794

Description: Lemma for binomcxp 44802. When 𝐶 is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 15786 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set (0...𝐶), and when the index set is widened beyond 𝐶 the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemnn0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Proof of Theorem binomcxplemnn0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12979	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		binomcxp.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		binom 15786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
6	5	3expia 1122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
7	2, 4, 6	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
8	7	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
9	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 11155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
13		cxpexp 26645	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
14	11, 12, 13	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
15		elfznn0 13565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18	16, 17	bccbc 44790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
19	15, 18	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
20	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21		elfzle2 13473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ≤ 𝐶)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝑘 ≤ 𝐶)
23		nn0sub 12478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
24	23	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
25	24	adantll 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
26	15, 25	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
27	22, 26	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0)
28		cxpexp 26645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝐶 − 𝑘)))
29	20, 27, 28	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝐶 − 𝑘)))
30	29	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
31	19, 30	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = ((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
32	31	sumeq2dv 15655	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
33	8, 14, 32	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
34		binomcxp.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36	11, 35	cxpcld 26685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
37	33, 36	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
38	37	addridd 11337	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
39		nn0uz 12817	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
40		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐶 + 1))
41		1nn0 12444	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
43	12, 42	nn0addcld 12493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
44		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)))))
45		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
46	45	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
47	45	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶 − 𝑗) = (𝐶 − 𝑘))
48	47	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) = (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)))
49	45	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑘))
50	48, 49	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
51	46, 50	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
52	34	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
53	52, 17	bcccl 44784	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
54	2	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	17	nn0cnd 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
56	52, 55	subcld 11496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
57	54, 56	cxpcld 26685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
58	4	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
59	58, 17	expcld 14099	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
60	57, 59	mulcld 11156	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
61	53, 60	mulcld 11156	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
62	44, 51, 17, 61	fvmptd 6949	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
63		peano2nn0 12468	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
64	63	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
65		c0ex 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
66	65	fconst 6720	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0}
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0})
68		0red 11138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
69	68	snssd 4753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℝ)
70	67, 69	fssd 6679	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶ℝ)
71	70	ffvelcdmda 7030	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
72	62, 61	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) ∈ ℂ)
73		climrel 15445	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
74	39	xpeq1i 5650	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0})
75		seqeq3 13959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0}) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})))
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0}))
77		0z 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
78		serclim0 15530	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0)
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0
80	76, 79	eqbrtri 5107	. . . . . . 7 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0
81		releldm 5893	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
82	73, 80, 81	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝
83	82	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
84		eluznn0 12858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
85	64, 84	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
86	85, 62	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
87		0zd 12527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
88	85	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
89		1zzd 12549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
90	88, 89	zsubcld 12629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
91	12	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℤ)
93	12	nn0ge0d 12492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 0 ≤ 𝐶)
95		eluzle 12792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
97	92	zred 12624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
98		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
99	85	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
100		leaddsub 11617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
101	97, 98, 99, 100	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
102	96, 101	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ≤ (𝑘 − 1))
103	87, 90, 92, 94, 102	elfzd 13460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
104	34	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
105	104, 85	bcc0 44785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
106	103, 105	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶C𝑐𝑘) = 0)
107	106	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (0 · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
108	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
109		eluzelcn 12791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
111	104, 110	subcld 11496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
112	108, 111	cxpcld 26685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
113	4	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
114	113, 85	expcld 14099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
115	112, 114	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
116	115	mul02d 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
117	107, 116	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
118	86, 117	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = 0)
119	118	abs00bd 15244	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) = 0)
120		0re 11137	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
121	119, 120	eqeltrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ)
122		eqle 11239	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) = 0) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
123	121, 119, 122	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
124	71	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
125	85, 124	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
126	125	mul02d 11335	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)) = 0)
127	123, 126	breqtrrd 5114	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)))
128	39, 64, 71, 72, 83, 68, 127	cvgcmpce 15772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))) ∈ dom ⇝ )
129	39, 40, 43, 62, 61, 128	isumsplit 15796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
130		1cnd 11130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
131	35, 130	pncand 11497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − 1) = 𝐶)
132	131	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0...((𝐶 + 1) − 1)) = (0...𝐶))
133	132	sumeq1d 15653	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
134	133	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
135	117	sumeq2dv 15655	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0)
136		ssid 3945	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))
137	136	orci 866	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin)
138		sumz 15675	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0 = 0)
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0 = 0
140	135, 139	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
141	140	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0))
142	129, 134, 141	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0))
143	38, 142, 33	3eqtr4rd 2783	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  dom cdm 5624  Rel wrel 5629  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  ...cfz 13452  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  Ccbc 14255  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  Σcsu 15639  ↑_𝑐ccxp 26532  C_𝑐cbcc 44781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-prod 15860  df-fallfac 15963  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-cxp 26534  df-bcc 44782

This theorem is referenced by:  binomcxp  44802