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Theorem binomcxplemnn0 42721
Description: Lemma for binomcxp 42729. When 𝐢 is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 15723 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set (0...𝐢), and when the index set is widened beyond 𝐢 the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
binomcxp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemnn0 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝑐𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝐢,π‘˜

Proof of Theorem binomcxplemnn0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 12967 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 binomcxp.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43recnd 11191 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5 binom 15723 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘˜) Β· ((𝐴↑(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
653expia 1122 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘˜) Β· ((𝐴↑(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜)))))
72, 4, 6syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘˜) Β· ((𝐴↑(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜)))))
87imp 408 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘˜) Β· ((𝐴↑(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
92adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
104adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
119, 10addcld 11182 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚)
12 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„•0)
13 cxpexp 26046 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝑐𝐢) = ((𝐴 + 𝐡)↑𝐢))
1411, 12, 13syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝑐𝐢) = ((𝐴 + 𝐡)↑𝐢))
15 elfznn0 13543 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝐢) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
16 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„•0)
17 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
1816, 17bccbc 42717 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) = (𝐢Cπ‘˜))
1915, 18sylan2 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐢)) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) = (𝐢Cπ‘˜))
202ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
21 elfzle2 13454 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0...𝐢) β†’ π‘˜ ≀ 𝐢)
2221adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐢)) β†’ π‘˜ ≀ 𝐢)
23 nn0sub 12471 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ 𝐢 ↔ (𝐢 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0))
2423ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ 𝐢 ↔ (𝐢 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0))
2524adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ 𝐢 ↔ (𝐢 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0))
2615, 25sylan2 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐢)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝐢 ↔ (𝐢 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0))
2722, 26mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐢)) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
28 cxpexp 26046 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) = (𝐴↑(𝐢 βˆ’ π‘˜)))
2920, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐢)) β†’ (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) = (𝐴↑(𝐢 βˆ’ π‘˜)))
3029oveq1d 7376 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐢)) β†’ ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜)) = ((𝐴↑(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜)))
3119, 30oveq12d 7379 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐢)) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) = ((𝐢Cπ‘˜) Β· ((𝐴↑(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
3231sumeq2dv 15596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘˜) Β· ((𝐴↑(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
338, 14, 323eqtr4d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝑐𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
34 binomcxp.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3534adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3611, 35cxpcld 26086 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝑐𝐢) ∈ β„‚)
3733, 36eqeltrrd 2835 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) ∈ β„‚)
3837addridd 11363 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) + 0) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
39 nn0uz 12813 . . . 4 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
40 eqid 2733 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))
41 1nn0 12437 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
4241a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„•0)
4312, 42nn0addcld 12485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝐢 + 1) ∈ β„•0)
44 eqidd 2734 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗)))) = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗)))))
45 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ 𝑗 = π‘˜)
4645oveq2d 7377 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ (𝐢C𝑐𝑗) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
4745oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑗) = (𝐢 βˆ’ π‘˜))
4847oveq2d 7377 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) = (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)))
4945oveq2d 7377 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ (𝐡↑𝑗) = (π΅β†‘π‘˜))
5048, 49oveq12d 7379 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜)))
5146, 50oveq12d 7379 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
5234ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5352, 17bcccl 42711 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) ∈ β„‚)
542ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5517nn0cnd 12483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5652, 55subcld 11520 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘˜) ∈ β„‚)
5754, 56cxpcld 26086 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) ∈ β„‚)
584ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5958, 17expcld 14060 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
6057, 59mulcld 11183 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
6153, 60mulcld 11183 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) ∈ β„‚)
6244, 51, 17, 61fvmptd 6959 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))β€˜π‘˜) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
63 peano2nn0 12461 . . . . . 6 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ (𝐢 + 1) ∈ β„•0)
6463adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝐢 + 1) ∈ β„•0)
65 c0ex 11157 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
6665fconst 6732 . . . . . . . 8 (β„•0 Γ— {0}):β„•0⟢{0}
6766a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„•0 Γ— {0}):β„•0⟢{0})
68 0red 11166 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ ℝ)
6968snssd 4773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ {0} βŠ† ℝ)
7067, 69fssd 6690 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„•0 Γ— {0}):β„•0βŸΆβ„)
7170ffvelcdmda 7039 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7262, 61eqeltrd 2834 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
73 climrel 15383 . . . . . . 7 Rel ⇝
7439xpeq1i 5663 . . . . . . . . 9 (β„•0 Γ— {0}) = ((β„€β‰₯β€˜0) Γ— {0})
75 seqeq3 13920 . . . . . . . . 9 ((β„•0 Γ— {0}) = ((β„€β‰₯β€˜0) Γ— {0}) β†’ seq0( + , (β„•0 Γ— {0})) = seq0( + , ((β„€β‰₯β€˜0) Γ— {0})))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , (β„•0 Γ— {0})) = seq0( + , ((β„€β‰₯β€˜0) Γ— {0}))
77 0z 12518 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
78 serclim0 15468 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„€ β†’ seq0( + , ((β„€β‰₯β€˜0) Γ— {0})) ⇝ 0)
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , ((β„€β‰₯β€˜0) Γ— {0})) ⇝ 0
8076, 79eqbrtri 5130 . . . . . . 7 seq0( + , (β„•0 Γ— {0})) ⇝ 0
81 releldm 5903 . . . . . . 7 ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , (β„•0 Γ— {0})) ⇝ 0) β†’ seq0( + , (β„•0 Γ— {0})) ∈ dom ⇝ )
8273, 80, 81mp2an 691 . . . . . 6 seq0( + , (β„•0 Γ— {0})) ∈ dom ⇝
8382a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ seq0( + , (β„•0 Γ— {0})) ∈ dom ⇝ )
84 eluznn0 12850 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 + 1) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8564, 84sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8685, 62syldan 592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ ((𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))β€˜π‘˜) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
87 0zd 12519 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ 0 ∈ β„€)
8885nn0zd 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
89 1zzd 12542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ 1 ∈ β„€)
9088, 89zsubcld 12620 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„€)
9112nn0zd 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„€)
9291adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ 𝐢 ∈ β„€)
9312nn0ge0d 12484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ 𝐢)
9493adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ 0 ≀ 𝐢)
95 eluzle 12784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1)) β†’ (𝐢 + 1) ≀ π‘˜)
9695adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (𝐢 + 1) ≀ π‘˜)
9792zred 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
98 1red 11164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
9985nn0red 12482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
100 leaddsub 11639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ ((𝐢 + 1) ≀ π‘˜ ↔ 𝐢 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)))
10197, 98, 99, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ ((𝐢 + 1) ≀ π‘˜ ↔ 𝐢 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)))
10296, 101mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ 𝐢 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1))
10387, 90, 92, 94, 102elfzd 13441 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ 𝐢 ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1)))
10434ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
105104, 85bcc0 42712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) = 0 ↔ 𝐢 ∈ (0...(π‘˜ βˆ’ 1))))
106103, 105mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) = 0)
107106oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) = (0 Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
1082ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
109 eluzelcn 12783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
110109adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
111104, 110subcld 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘˜) ∈ β„‚)
112108, 111cxpcld 26086 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) ∈ β„‚)
1134ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
114113, 85expcld 14060 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
115112, 114mulcld 11183 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
116115mul02d 11361 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (0 Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) = 0)
117107, 116eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) = 0)
11886, 117eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ ((𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))β€˜π‘˜) = 0)
119118abs00bd 15185 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (absβ€˜((𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))β€˜π‘˜)) = 0)
120 0re 11165 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
121119, 120eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (absβ€˜((𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
122 eqle 11265 . . . . . . 7 (((absβ€˜((𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))β€˜π‘˜)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))β€˜π‘˜)) = 0) β†’ (absβ€˜((𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))β€˜π‘˜)) ≀ 0)
123121, 119, 122syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (absβ€˜((𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))β€˜π‘˜)) ≀ 0)
12471recnd 11191 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
12585, 124syldan 592 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
126125mul02d 11361 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (0 Β· ((β„•0 Γ— {0})β€˜π‘˜)) = 0)
127123, 126breqtrrd 5137 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))) β†’ (absβ€˜((𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))β€˜π‘˜)) ≀ (0 Β· ((β„•0 Γ— {0})β€˜π‘˜)))
12839, 64, 71, 72, 83, 68, 127cvgcmpce 15711 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ seq0( + , (𝑗 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢C𝑐𝑗) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ 𝑗)) Β· (𝐡↑𝑗))))) ∈ dom ⇝ )
12939, 40, 43, 62, 61, 128isumsplit 15733 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝐢 + 1) βˆ’ 1))((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜)))))
130 1cnd 11158 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
13135, 130pncand 11521 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 + 1) βˆ’ 1) = 𝐢)
132131oveq2d 7377 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (0...((𝐢 + 1) βˆ’ 1)) = (0...𝐢))
133132sumeq1d 15594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝐢 + 1) βˆ’ 1))((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
134133oveq1d 7376 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝐢 + 1) βˆ’ 1))((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜)))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜)))))
135117sumeq2dv 15596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))0)
136 ssid 3970 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))
137136orci 864 . . . . . 6 ((β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1)) ∨ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1)) ∈ Fin)
138 sumz 15615 . . . . . 6 (((β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1)) ∨ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1)) ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))0 = 0)
139137, 138ax-mp 5 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))0 = 0
140135, 139eqtrdi 2789 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) = 0)
141140oveq2d 7377 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐢 + 1))((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜)))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) + 0))
142129, 134, 1413eqtrd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐢)((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))) + 0))
14338, 142, 333eqtr4rd 2784 1 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝑐𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  Rel wrel 5642  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  ...cfz 13433  seqcseq 13915  β†‘cexp 13976  Ccbc 14211  abscabs 15128   ⇝ cli 15375  Ξ£csu 15579  β†‘𝑐ccxp 25934  C𝑐cbcc 42708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-prod 15797  df-fallfac 15898  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-cxp 25936  df-bcc 42709
This theorem is referenced by:  binomcxp  42729
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