Theorem binomcxplemnn0 44800

Description: Lemma for binomcxp 44808. When 𝐶 is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 15793 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set (0...𝐶), and when the index set is widened beyond 𝐶 the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemnn0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Proof of Theorem binomcxplemnn0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		binomcxp.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		binom 15793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
6	5	3expia 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
7	2, 4, 6	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
8	7	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
9	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
12		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
13		cxpexp 26657	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
14	11, 12, 13	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
15		elfznn0 13572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
17		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18	16, 17	bccbc 44796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
19	15, 18	sylan2 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
20	2	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21		elfzle2 13480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ≤ 𝐶)
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝑘 ≤ 𝐶)
23		nn0sub 12485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
24	23	ancoms 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
25	24	adantll 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
26	15, 25	sylan2 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
27	22, 26	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0)
28		cxpexp 26657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝐶 − 𝑘)))
29	20, 27, 28	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝐶 − 𝑘)))
30	29	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
31	19, 30	oveq12d 7381	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = ((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
32	31	sumeq2dv 15662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
33	8, 14, 32	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
34		binomcxp.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
35	34	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36	11, 35	cxpcld 26697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
37	33, 36	eqeltrrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
38	37	addridd 11344	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
39		nn0uz 12824	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
40		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐶 + 1))
41		1nn0 12451	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
43	12, 42	nn0addcld 12500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
44		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)))))
45		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
46	45	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
47	45	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶 − 𝑗) = (𝐶 − 𝑘))
48	47	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) = (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)))
49	45	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑘))
50	48, 49	oveq12d 7381	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
51	46, 50	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
52	34	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
53	52, 17	bcccl 44790	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
54	2	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	17	nn0cnd 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
56	52, 55	subcld 11503	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
57	54, 56	cxpcld 26697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
58	4	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
59	58, 17	expcld 14106	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
60	57, 59	mulcld 11163	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
61	53, 60	mulcld 11163	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
62	44, 51, 17, 61	fvmptd 6950	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
63		peano2nn0 12475	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
64	63	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
65		c0ex 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
66	65	fconst 6720	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0}
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0})
68		0red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
69	68	snssd 4725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℝ)
70	67, 69	fssd 6679	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶ℝ)
71	70	ffvelcdmda 7032	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
72	62, 61	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) ∈ ℂ)
73		climrel 15452	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
74	39	xpeq1i 5651	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0})
75		seqeq3 13966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0}) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})))
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0}))
77		0z 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
78		serclim0 15537	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0)
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0
80	76, 79	eqbrtri 5100	. . . . . . 7 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0
81		releldm 5893	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
82	73, 80, 81	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝
83	82	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
84		eluznn0 12865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
85	64, 84	sylan 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
86	85, 62	syldan 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
87		0zd 12534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
88	85	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
89		1zzd 12556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
90	88, 89	zsubcld 12636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
91	12	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℤ)
93	12	nn0ge0d 12499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 0 ≤ 𝐶)
95		eluzle 12799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
97	92	zred 12631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
98		1red 11143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
99	85	nn0red 12497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
100		leaddsub 11624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
101	97, 98, 99, 100	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
102	96, 101	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ≤ (𝑘 − 1))
103	87, 90, 92, 94, 102	elfzd 13467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
104	34	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
105	104, 85	bcc0 44791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
106	103, 105	mpbird 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶C𝑐𝑘) = 0)
107	106	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (0 · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
108	2	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
109		eluzelcn 12798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
110	109	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
111	104, 110	subcld 11503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
112	108, 111	cxpcld 26697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
113	4	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
114	113, 85	expcld 14106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
115	112, 114	mulcld 11163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
116	115	mul02d 11342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
117	107, 116	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
118	86, 117	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = 0)
119	118	abs00bd 15251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) = 0)
120		0re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
121	119, 120	eqeltrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ)
122		eqle 11246	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) = 0) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
123	121, 119, 122	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
124	71	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
125	85, 124	syldan 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
126	125	mul02d 11342	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)) = 0)
127	123, 126	breqtrrd 5107	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)))
128	39, 64, 71, 72, 83, 68, 127	cvgcmpce 15779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))) ∈ dom ⇝ )
129	39, 40, 43, 62, 61, 128	isumsplit 15803	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
130		1cnd 11137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
131	35, 130	pncand 11504	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − 1) = 𝐶)
132	131	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0...((𝐶 + 1) − 1)) = (0...𝐶))
133	132	sumeq1d 15660	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
134	133	oveq1d 7378	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
135	117	sumeq2dv 15662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0)
136		ssid 3944	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))
137	136	orci 871	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin)
138		sumz 15682	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0 = 0)
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0 = 0
140	135, 139	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
141	140	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0))
142	129, 134, 141	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0))
143	38, 142, 33	3eqtr4rd 2786	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  {csn 4562   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   × cxp 5623  dom cdm 5625  Rel wrel 5630  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ℝ⁺crp 12940  ...cfz 13459  seqcseq 13961  ↑cexp 14021  Ccbc 14262  abscabs 15194   ⇝ cli 15444  Σcsu 15646  ↑_𝑐ccxp 26544  C_𝑐cbcc 44787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-prod 15867  df-fallfac 15970  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-cxp 26546  df-bcc 44788

This theorem is referenced by:  binomcxp  44808