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Theorem binomcxplemnn0 44368
Description: Lemma for binomcxp 44376. When 𝐶 is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 15866 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set (0...𝐶), and when the index set is widened beyond 𝐶 the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemnn0 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Proof of Theorem binomcxplemnn0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 13079 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 binomcxp.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5 binom 15866 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
653expia 1122 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
72, 4, 6syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
87imp 406 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
92adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
104adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
119, 10addcld 11280 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
13 cxpexp 26710 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
15 elfznn0 13660 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
17 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1816, 17bccbc 44364 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
1915, 18sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
202ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘𝐶)
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝑘𝐶)
23 nn0sub 12576 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2423ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2524adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2615, 25sylan2 593 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2722, 26mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶𝑘) ∈ ℕ0)
28 cxpexp 26710 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) = (𝐴↑(𝐶𝑘)))
2920, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) = (𝐴↑(𝐶𝑘)))
3029oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))
3119, 30oveq12d 7449 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
3231sumeq2dv 15738 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
338, 14, 323eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
34 binomcxp.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3534adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
3611, 35cxpcld 26750 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
3733, 36eqeltrrd 2842 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
3837addridd 11461 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
39 nn0uz 12920 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
40 eqid 2737 . . . 4 (ℤ‘(𝐶 + 1)) = (ℤ‘(𝐶 + 1))
41 1nn0 12542 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
4241a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
4312, 42nn0addcld 12591 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
44 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)))))
45 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
4645oveq2d 7447 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
4745oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶𝑗) = (𝐶𝑘))
4847oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐴𝑐(𝐶𝑗)) = (𝐴𝑐(𝐶𝑘)))
4945oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
5048, 49oveq12d 7449 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))
5146, 50oveq12d 7449 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
5234ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
5352, 17bcccl 44358 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
542ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5517nn0cnd 12589 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5652, 55subcld 11620 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
5754, 56cxpcld 26750 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
584ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5958, 17expcld 14186 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
6057, 59mulcld 11281 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
6153, 60mulcld 11281 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
6244, 51, 17, 61fvmptd 7023 . . . 4 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
63 peano2nn0 12566 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
6463adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
65 c0ex 11255 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
6665fconst 6794 . . . . . . . 8 (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0}
6766a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0})
68 0red 11264 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
6968snssd 4809 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℝ)
7067, 69fssd 6753 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶ℝ)
7170ffvelcdmda 7104 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
7262, 61eqeltrd 2841 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) ∈ ℂ)
73 climrel 15528 . . . . . . 7 Rel ⇝
7439xpeq1i 5711 . . . . . . . . 9 (ℕ0 × {0}) = ((ℤ‘0) × {0})
75 seqeq3 14047 . . . . . . . . 9 ((ℕ0 × {0}) = ((ℤ‘0) × {0}) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ‘0) × {0}))
77 0z 12624 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
78 serclim0 15613 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})) ⇝ 0)
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})) ⇝ 0
8076, 79eqbrtri 5164 . . . . . . 7 seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0
81 releldm 5955 . . . . . . 7 ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
8273, 80, 81mp2an 692 . . . . . 6 seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝
8382a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
84 eluznn0 12959 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8564, 84sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8685, 62syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
87 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
8885nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
89 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
9088, 89zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
9112nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℤ)
9312nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 0 ≤ 𝐶)
95 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1)) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
9792zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
98 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
9985nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
100 leaddsub 11739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
10197, 98, 99, 100syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
10296, 101mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ≤ (𝑘 − 1))
10387, 90, 92, 94, 102elfzd 13555 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
10434ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
105104, 85bcc0 44359 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
106103, 105mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶C𝑐𝑘) = 0)
107106oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
1082ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
109 eluzelcn 12890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
111104, 110subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
112108, 111cxpcld 26750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
1134ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
114113, 85expcld 14186 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
115112, 114mulcld 11281 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
116115mul02d 11459 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
117107, 116eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
11886, 117eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = 0)
119118abs00bd 15330 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) = 0)
120 0re 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
121119, 120eqeltrdi 2849 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ)
122 eqle 11363 . . . . . . 7 (((abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) = 0) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
123121, 119, 122syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
12471recnd 11289 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
12585, 124syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
126125mul02d 11459 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)) = 0)
127123, 126breqtrrd 5171 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)))
12839, 64, 71, 72, 83, 68, 127cvgcmpce 15854 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))) ∈ dom ⇝ )
12939, 40, 43, 62, 61, 128isumsplit 15876 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
130 1cnd 11256 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
13135, 130pncand 11621 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − 1) = 𝐶)
132131oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (0...((𝐶 + 1) − 1)) = (0...𝐶))
133132sumeq1d 15736 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
134133oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
135117sumeq2dv 15738 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0)
136 ssid 4006 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1))
137136orci 866 . . . . . 6 ((ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin)
138 sumz 15758 . . . . . 6 (((ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0 = 0)
139137, 138ax-mp 5 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0 = 0
140135, 139eqtrdi 2793 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
141140oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0))
142129, 134, 1413eqtrd 2781 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0))
14338, 142, 333eqtr4rd 2788 1 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  Rel wrel 5690  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cexp 14102  Ccbc 14341  abscabs 15273  cli 15520  Σcsu 15722  𝑐ccxp 26597  C𝑐cbcc 44355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-fallfac 16043  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-bcc 44356
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