Theorem binomcxplemnn0 44345

Description: Lemma for binomcxp 44353. When 𝐶 is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 15863 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set (0...𝐶), and when the index set is widened beyond 𝐶 the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemnn0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Proof of Theorem binomcxplemnn0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		binomcxp.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		binom 15863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
6	5	3expia 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
7	2, 4, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
8	7	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
9	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 11278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
13		cxpexp 26725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
15		elfznn0 13657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18	16, 17	bccbc 44341	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
19	15, 18	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
20	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21		elfzle2 13565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ≤ 𝐶)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝑘 ≤ 𝐶)
23		nn0sub 12574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
24	23	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
25	24	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
26	15, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
27	22, 26	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0)
28		cxpexp 26725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝐶 − 𝑘)))
29	20, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝐶 − 𝑘)))
30	29	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
31	19, 30	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = ((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
32	31	sumeq2dv 15735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
33	8, 14, 32	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
34		binomcxp.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36	11, 35	cxpcld 26765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
37	33, 36	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
38	37	addridd 11459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
39		nn0uz 12918	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
40		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐶 + 1))
41		1nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
43	12, 42	nn0addcld 12589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
44		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)))))
45		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
46	45	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
47	45	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶 − 𝑗) = (𝐶 − 𝑘))
48	47	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) = (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)))
49	45	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑘))
50	48, 49	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
51	46, 50	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
52	34	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
53	52, 17	bcccl 44335	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
54	2	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	17	nn0cnd 12587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
56	52, 55	subcld 11618	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
57	54, 56	cxpcld 26765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
58	4	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
59	58, 17	expcld 14183	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
60	57, 59	mulcld 11279	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
61	53, 60	mulcld 11279	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
62	44, 51, 17, 61	fvmptd 7023	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
63		peano2nn0 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
64	63	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
65		c0ex 11253	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
66	65	fconst 6795	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0}
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0})
68		0red 11262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
69	68	snssd 4814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℝ)
70	67, 69	fssd 6754	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶ℝ)
71	70	ffvelcdmda 7104	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
72	62, 61	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) ∈ ℂ)
73		climrel 15525	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
74	39	xpeq1i 5715	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0})
75		seqeq3 14044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0}) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})))
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0}))
77		0z 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
78		serclim0 15610	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0)
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0
80	76, 79	eqbrtri 5169	. . . . . . 7 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0
81		releldm 5958	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
82	73, 80, 81	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝
83	82	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
84		eluznn0 12957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
85	64, 84	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
86	85, 62	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
87		0zd 12623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
88	85	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
89		1zzd 12646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
90	88, 89	zsubcld 12725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
91	12	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℤ)
93	12	nn0ge0d 12588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 0 ≤ 𝐶)
95		eluzle 12889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
97	92	zred 12720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
98		1red 11260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
99	85	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
100		leaddsub 11737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
101	97, 98, 99, 100	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
102	96, 101	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ≤ (𝑘 − 1))
103	87, 90, 92, 94, 102	elfzd 13552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
104	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
105	104, 85	bcc0 44336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
106	103, 105	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶C𝑐𝑘) = 0)
107	106	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (0 · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
108	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
109		eluzelcn 12888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
111	104, 110	subcld 11618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
112	108, 111	cxpcld 26765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
113	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
114	113, 85	expcld 14183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
115	112, 114	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
116	115	mul02d 11457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
117	107, 116	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
118	86, 117	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = 0)
119	118	abs00bd 15327	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) = 0)
120		0re 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
121	119, 120	eqeltrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ)
122		eqle 11361	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) = 0) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
123	121, 119, 122	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
124	71	recnd 11287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
125	85, 124	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
126	125	mul02d 11457	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)) = 0)
127	123, 126	breqtrrd 5176	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)))
128	39, 64, 71, 72, 83, 68, 127	cvgcmpce 15851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))) ∈ dom ⇝ )
129	39, 40, 43, 62, 61, 128	isumsplit 15873	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
130		1cnd 11254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
131	35, 130	pncand 11619	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − 1) = 𝐶)
132	131	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0...((𝐶 + 1) − 1)) = (0...𝐶))
133	132	sumeq1d 15733	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
134	133	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
135	117	sumeq2dv 15735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0)
136		ssid 4018	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))
137	136	orci 865	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin)
138		sumz 15755	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0 = 0)
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0 = 0
140	135, 139	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
141	140	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0))
142	129, 134, 141	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0))
143	38, 142, 33	3eqtr4rd 2786	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689  Rel wrel 5694  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032  ...cfz 13544  seqcseq 14039  ↑cexp 14099  Ccbc 14338  abscabs 15270   ⇝ cli 15517  Σcsu 15719  ↑_𝑐ccxp 26612  C_𝑐cbcc 44332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-fallfac 16040  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-bcc 44333

This theorem is referenced by:  binomcxp  44353