Theorem binomcxplemnn0 45173

Description: Lemma for binomcxp 45181. When 𝐶 is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 15919 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set (0...𝐶), and when the index set is widened beyond 𝐶 the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemnn0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Proof of Theorem binomcxplemnn0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		binomcxp.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		binom 15919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
6	5	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
7	2, 4, 6	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
8	7	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
9	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	9, 10	addcld 11252	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
13		cxpexp 26905	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
15		elfznn0 13675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
17		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18	16, 17	bccbc 45169	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
19	15, 18	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
20	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21		elfzle2 13582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ≤ 𝐶)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝑘 ≤ 𝐶)
23		nn0sub 12578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
24	23	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
25	24	adantll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
26	15, 25	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝑘 ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0))
27	22, 26	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0)
28		cxpexp 26905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝐶 − 𝑘)))
29	20, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝐶 − 𝑘)))
30	29	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
31	19, 30	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = ((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
32	31	sumeq2dv 15789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
33	8, 14, 32	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
34		binomcxp.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
35	34	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
36	11, 35	cxpcld 26945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
37	33, 36	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
38	37	addridd 11434	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
39		nn0uz 12925	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
40		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐶 + 1))
41		1nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
43	12, 42	nn0addcld 12593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
44		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)))))
45		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
46	45	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
47	45	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶 − 𝑗) = (𝐶 − 𝑘))
48	47	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) = (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)))
49	45	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑘))
50	48, 49	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
51	46, 50	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
52	34	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
53	52, 17	bcccl 45163	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
54	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	17	nn0cnd 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
56	52, 55	subcld 11593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
57	54, 56	cxpcld 26945	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
58	4	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
59	58, 17	expcld 14210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
60	57, 59	mulcld 11253	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
61	53, 60	mulcld 11253	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
62	44, 51, 17, 61	fvmptd 6994	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
63		peano2nn0 12568	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
64	63	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
65		c0ex 11224	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
66	65	fconst 6761	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0}
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0})
68		0red 11235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
69	68	snssd 4747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℝ)
70	67, 69	fssd 6720	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶ℝ)
71	70	ffvelcdmda 7077	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
72	62, 61	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) ∈ ℂ)
73		climrel 15579	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
74	39	xpeq1i 5681	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0})
75		seqeq3 14070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0}) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})))
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0}))
77		0z 12626	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
78		serclim0 15664	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0)
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0
80	76, 79	eqbrtri 5126	. . . . . . 7 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0
81		releldm 5928	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
82	73, 80, 81	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝
83	82	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
84		eluznn0 12966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
85	64, 84	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
86	85, 62	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
87		0zd 12627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
88	85	nn0zd 12640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
89		1zzd 12649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
90	88, 89	zsubcld 12730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
91	12	nn0zd 12640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
92	91	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℤ)
93	12	nn0ge0d 12592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
94	93	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 0 ≤ 𝐶)
95		eluzle 12900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
96	95	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
97	92	zred 12725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
98		1red 11233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
99	85	nn0red 12590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
100		leaddsub 11714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
101	97, 98, 99, 100	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
102	96, 101	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ≤ (𝑘 − 1))
103	87, 90, 92, 94, 102	elfzd 13569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
104	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
105	104, 85	bcc0 45164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
106	103, 105	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶C𝑐𝑘) = 0)
107	106	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (0 · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
108	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
109		eluzelcn 12899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
110	109	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
111	104, 110	subcld 11593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
112	108, 111	cxpcld 26945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
113	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
114	113, 85	expcld 14210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
115	112, 114	mulcld 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
116	115	mul02d 11432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
117	107, 116	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
118	86, 117	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘) = 0)
119	118	abs00bd 15378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) = 0)
120		0re 11234	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
121	119, 120	eqeltrdi 2868	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ)
122		eqle 11336	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) = 0) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
123	121, 119, 122	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
124	71	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
125	85, 124	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
126	125	mul02d 11432	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)) = 0)
127	123, 126	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))‘𝑘)) ≤ (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)))
128	39, 64, 71, 72, 83, 68, 127	cvgcmpce 15905	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))) ∈ dom ⇝ )
129	39, 40, 43, 62, 61, 128	isumsplit 15929	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
130		1cnd 11226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
131	35, 130	pncand 11594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − 1) = 𝐶)
132	131	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0...((𝐶 + 1) − 1)) = (0...𝐶))
133	132	sumeq1d 15787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
134	133	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
135	117	sumeq2dv 15789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0)
136		ssid 3953	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))
137	136	orci 879	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin)
138		sumz 15808	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0 = 0)
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))0 = 0
140	135, 139	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
141	140	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0))
142	129, 134, 141	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + 0))
143	38, 142, 33	3eqtr4rd 2806	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653  dom cdm 5655  Rel wrel 5660  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ℝ⁺crp 13042  ...cfz 13561  seqcseq 14065  ↑cexp 14125  Ccbc 14366  abscabs 15321   ⇝ cli 15571  Σcsu 15773  ↑_𝑐ccxp 26792  C_𝑐cbcc 45160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-prod 15993  df-fallfac 16094  df-ef 16153  df-sin 16155  df-cos 16156  df-pi 16158  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094  df-log 26793  df-cxp 26794  df-bcc 45161

This theorem is used by:  binomcxp  45181