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Theorem binomcxplemnn0 41040
Description: Lemma for binomcxp 41048. When 𝐶 is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 15180 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set (0...𝐶), and when the index set is widened beyond 𝐶 the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
binomcxplemnn0 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Proof of Theorem binomcxplemnn0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 12425 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 binomcxp.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 10662 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5 binom 15180 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
653expia 1118 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
72, 4, 6syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
87imp 410 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
92adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
104adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
119, 10addcld 10653 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
12 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
13 cxpexp 25262 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
1411, 12, 13syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝐶))
15 elfznn0 12999 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
17 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1816, 17bccbc 41036 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
1915, 18sylan2 595 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑘))
202ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 elfzle2 12910 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝐶) → 𝑘𝐶)
2221adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → 𝑘𝐶)
23 nn0sub 11939 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2423ancoms 462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2524adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2615, 25sylan2 595 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝑘𝐶 ↔ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0))
2722, 26mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐶𝑘) ∈ ℕ0)
28 cxpexp 25262 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) = (𝐴↑(𝐶𝑘)))
2920, 27, 28syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) = (𝐴↑(𝐶𝑘)))
3029oveq1d 7154 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))
3119, 30oveq12d 7157 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐶)) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
3231sumeq2dv 15055 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑘) · ((𝐴↑(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
338, 14, 323eqtr4d 2846 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
34 binomcxp.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3534adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
3611, 35cxpcld 25302 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
3733, 36eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
3837addid1d 10833 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
39 nn0uz 12272 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
40 eqid 2801 . . . 4 (ℤ‘(𝐶 + 1)) = (ℤ‘(𝐶 + 1))
41 1nn0 11905 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
4241a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
4312, 42nn0addcld 11951 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
44 eqidd 2802 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)))))
45 simpr 488 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
4645oveq2d 7155 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
4745oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶𝑗) = (𝐶𝑘))
4847oveq2d 7155 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐴𝑐(𝐶𝑗)) = (𝐴𝑐(𝐶𝑘)))
4945oveq2d 7155 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
5048, 49oveq12d 7157 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))
5146, 50oveq12d 7157 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
5234ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
5352, 17bcccl 41030 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
542ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5517nn0cnd 11949 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5652, 55subcld 10990 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
5754, 56cxpcld 25302 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
584ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5958, 17expcld 13510 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
6057, 59mulcld 10654 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
6153, 60mulcld 10654 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
6244, 51, 17, 61fvmptd 6756 . . . 4 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
63 peano2nn0 11929 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
6463adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 + 1) ∈ ℕ0)
65 c0ex 10628 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
6665fconst 6543 . . . . . . . 8 (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0}
6766a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶{0})
68 0red 10637 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
6968snssd 4705 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℝ)
7067, 69fssd 6506 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (ℕ0 × {0}):ℕ0⟶ℝ)
7170ffvelrnda 6832 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
7262, 61eqeltrd 2893 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) ∈ ℂ)
73 climrel 14844 . . . . . . 7 Rel ⇝
7439xpeq1i 5549 . . . . . . . . 9 (ℕ0 × {0}) = ((ℤ‘0) × {0})
75 seqeq3 13373 . . . . . . . . 9 ((ℕ0 × {0}) = ((ℤ‘0) × {0}) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , (ℕ0 × {0})) = seq0( + , ((ℤ‘0) × {0}))
77 0z 11984 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
78 serclim0 14929 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})) ⇝ 0)
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( + , ((ℤ‘0) × {0})) ⇝ 0
8076, 79eqbrtri 5054 . . . . . . 7 seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0
81 releldm 5782 . . . . . . 7 ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , (ℕ0 × {0})) ⇝ 0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
8273, 80, 81mp2an 691 . . . . . 6 seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝
8382a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (ℕ0 × {0})) ∈ dom ⇝ )
84 eluznn0 12309 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8564, 84sylan 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8685, 62syldan 594 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
87 0zd 11985 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
8885nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
89 1zzd 12005 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
9088, 89zsubcld 12084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
9112nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
9291adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℤ)
9312nn0ge0d 11950 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐶)
9493adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 0 ≤ 𝐶)
95 eluzle 12248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1)) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
9695adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶 + 1) ≤ 𝑘)
9792zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
98 1red 10635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
9985nn0red 11948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
100 leaddsub 11109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
10197, 98, 99, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶 + 1) ≤ 𝑘𝐶 ≤ (𝑘 − 1)))
10296, 101mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ≤ (𝑘 − 1))
103 elfz4 12899 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0 ∈ ℤ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝑘 − 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
10487, 90, 92, 94, 102, 103syl32anc 1375 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
10534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
106105, 85bcc0 41031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
107104, 106mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶C𝑐𝑘) = 0)
108107oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
1092ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
110 eluzelcn 12247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
111110adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
112105, 111subcld 10990 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
113109, 112cxpcld 25302 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
1144ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
115114, 85expcld 13510 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
116113, 115mulcld 10654 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
117116mul02d 10831 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
118108, 117eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
11986, 118eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘) = 0)
120119abs00bd 14646 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) = 0)
121 0re 10636 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
122120, 121eqeltrdi 2901 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ)
123 eqle 10735 . . . . . . 7 (((abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) = 0) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
124122, 120, 123syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ 0)
12571recnd 10662 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
12685, 125syldan 594 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → ((ℕ0 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
127126mul02d 10831 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)) = 0)
128124, 127breqtrrd 5061 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))) → (abs‘((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))‘𝑘)) ≤ (0 · ((ℕ0 × {0})‘𝑘)))
12939, 64, 71, 72, 83, 68, 128cvgcmpce 15168 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑗) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑗)) · (𝐵𝑗))))) ∈ dom ⇝ )
13039, 40, 43, 62, 61, 129isumsplit 15190 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
131 1cnd 10629 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
13235, 131pncand 10991 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶 + 1) − 1) = 𝐶)
133132oveq2d 7155 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (0...((𝐶 + 1) − 1)) = (0...𝐶))
134133sumeq1d 15053 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
135134oveq1d 7154 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝐶 + 1) − 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
136118sumeq2dv 15055 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0)
137 ssid 3940 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1))
138137orci 862 . . . . . 6 ((ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin)
139 sumz 15074 . . . . . 6 (((ℤ‘(𝐶 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐶 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0 = 0)
140138, 139ax-mp 5 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))0 = 0
141136, 140eqtrdi 2852 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
142141oveq2d 7155 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐶 + 1))((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0))
143130, 135, 1423eqtrd 2840 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝐶)((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))) + 0))
14438, 143, 333eqtr4rd 2847 1 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  wss 3884  {csn 4528   class class class wbr 5033  cmpt 5113   × cxp 5521  dom cdm 5523  Rel wrel 5528  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  ...cfz 12889  seqcseq 13368  cexp 13429  Ccbc 13662  abscabs 14588  cli 14836  Σcsu 15037  𝑐ccxp 25150  C𝑐cbcc 41027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-prod 15255  df-fallfac 15356  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-cxp 25152  df-bcc 41028
This theorem is referenced by:  binomcxp  41048
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