MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtneglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtneglem 15212
Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtneglem ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+))

Proof of Theorem sqrtneglem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11168 . . . 4 i โˆˆ โ„‚
2 resqrtcl 15199 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3 recn 11199 . . . . 5 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
42, 3syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 sqmul 14083 . . . 4 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2)))
61, 4, 5sylancr 587 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2)))
7 i2 14165 . . . . 5 (iโ†‘2) = -1
87a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (iโ†‘2) = -1)
9 resqrtth 15201 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด)
108, 9oveq12d 7426 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((iโ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2)) = (-1 ยท ๐ด))
11 recn 11199 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1211adantr 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1312mulm1d 11665 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
146, 10, 133eqtrd 2776 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด)
15 renegcl 11522 . . . 4 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ -(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
16 0re 11215 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
17 reim0 15064 . . . . . 6 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (โ„‘โ€˜-(โˆšโ€˜๐ด)) = 0)
18 recn 11199 . . . . . . 7 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ -(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
19 imre 15054 . . . . . . 7 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-(โˆšโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (โ„‘โ€˜-(โˆšโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
2117, 20eqtr3d 2774 . . . . 5 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ 0 = (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
22 eqle 11315 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 0 = (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด)))) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
2316, 21, 22sylancr 587 . . . 4 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
242, 15, 233syl 18 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
25 mul2neg 11652 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด)) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)))
261, 4, 25sylancr 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด)) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)))
2726fveq2d 6895 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
2824, 27breqtrd 5174 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
29 ixi 11842 . . . . . . 7 (i ยท i) = -1
3029oveq1i 7418 . . . . . 6 ((i ยท i) ยท (โˆšโ€˜๐ด)) = (-1 ยท (โˆšโ€˜๐ด))
31 mulass 11197 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท (โˆšโ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
321, 1, 31mp3an12 1451 . . . . . 6 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท (โˆšโ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
33 mulm1 11654 . . . . . 6 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (โˆšโ€˜๐ด)) = -(โˆšโ€˜๐ด))
3430, 32, 333eqtr3a 2796 . . . . 5 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) = -(โˆšโ€˜๐ด))
354, 34syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) = -(โˆšโ€˜๐ด))
36 sqrtge0 15203 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ด))
37 le0neg2 11722 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ด) โ†” -(โˆšโ€˜๐ด) โ‰ค 0))
38 lenlt 11291 . . . . . . . . 9 ((-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (-(โˆšโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
3915, 16, 38sylancl 586 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (-(โˆšโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
4037, 39bitrd 278 . . . . . . 7 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ด) โ†” ยฌ 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
412, 40syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ด) โ†” ยฌ 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
4236, 41mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ยฌ 0 < -(โˆšโ€˜๐ด))
43 elrp 12975 . . . . . 6 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โ†” (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
442, 15syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ -(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4544biantrurd 533 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (0 < -(โˆšโ€˜๐ด) โ†” (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < -(โˆšโ€˜๐ด))))
4643, 45bitr4id 289 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โ†” 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
4742, 46mtbird 324 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ยฌ -(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
4835, 47eqneltrd 2853 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ยฌ (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
49 df-nel 3047 . . 3 ((i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+ โ†” ยฌ (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
5048, 49sylibr 233 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+)
5114, 28, 503jca 1128 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โˆ‰ wnel 3046   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248  -cneg 11444  2c2 12266  โ„+crp 12973  โ†‘cexp 14026  โ„œcre 15043  โ„‘cim 15044  โˆšcsqrt 15179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181
This theorem is referenced by:  sqrtneg  15213  sqreu  15306
  Copyright terms: Public domain W3C validator