MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtneglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtneglem 15160
Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtneglem ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+))

Proof of Theorem sqrtneglem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11118 . . . 4 i โˆˆ โ„‚
2 resqrtcl 15147 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3 recn 11149 . . . . 5 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
42, 3syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 sqmul 14033 . . . 4 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2)))
61, 4, 5sylancr 588 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2)))
7 i2 14115 . . . . 5 (iโ†‘2) = -1
87a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (iโ†‘2) = -1)
9 resqrtth 15149 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2) = ๐ด)
108, 9oveq12d 7379 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((iโ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜๐ด)โ†‘2)) = (-1 ยท ๐ด))
11 recn 11149 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1211adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1312mulm1d 11615 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
146, 10, 133eqtrd 2777 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด)
15 renegcl 11472 . . . 4 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ -(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
16 0re 11165 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
17 reim0 15012 . . . . . 6 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (โ„‘โ€˜-(โˆšโ€˜๐ด)) = 0)
18 recn 11149 . . . . . . 7 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ -(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
19 imre 15002 . . . . . . 7 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-(โˆšโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (โ„‘โ€˜-(โˆšโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
2117, 20eqtr3d 2775 . . . . 5 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ 0 = (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
22 eqle 11265 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 0 = (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด)))) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
2316, 21, 22sylancr 588 . . . 4 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
242, 15, 233syl 18 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))))
25 mul2neg 11602 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด)) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)))
261, 4, 25sylancr 588 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด)) = (i ยท (โˆšโ€˜๐ด)))
2726fveq2d 6850 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(-i ยท -(โˆšโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
2824, 27breqtrd 5135 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
29 ixi 11792 . . . . . . 7 (i ยท i) = -1
3029oveq1i 7371 . . . . . 6 ((i ยท i) ยท (โˆšโ€˜๐ด)) = (-1 ยท (โˆšโ€˜๐ด))
31 mulass 11147 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท (โˆšโ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
321, 1, 31mp3an12 1452 . . . . . 6 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท (โˆšโ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))))
33 mulm1 11604 . . . . . 6 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (โˆšโ€˜๐ด)) = -(โˆšโ€˜๐ด))
3430, 32, 333eqtr3a 2797 . . . . 5 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) = -(โˆšโ€˜๐ด))
354, 34syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) = -(โˆšโ€˜๐ด))
36 sqrtge0 15151 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ด))
37 le0neg2 11672 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ด) โ†” -(โˆšโ€˜๐ด) โ‰ค 0))
38 lenlt 11241 . . . . . . . . 9 ((-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (-(โˆšโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
3915, 16, 38sylancl 587 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (-(โˆšโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
4037, 39bitrd 279 . . . . . . 7 ((โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ด) โ†” ยฌ 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
412, 40syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ด) โ†” ยฌ 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
4236, 41mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ยฌ 0 < -(โˆšโ€˜๐ด))
43 elrp 12925 . . . . . 6 (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โ†” (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
442, 15syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ -(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4544biantrurd 534 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (0 < -(โˆšโ€˜๐ด) โ†” (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < -(โˆšโ€˜๐ด))))
4643, 45bitr4id 290 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (-(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โ†” 0 < -(โˆšโ€˜๐ด)))
4742, 46mtbird 325 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ยฌ -(โˆšโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
4835, 47eqneltrd 2854 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ยฌ (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
49 df-nel 3047 . . 3 ((i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+ โ†” ยฌ (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
5048, 49sylibr 233 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+)
5114, 28, 503jca 1129 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((i ยท (โˆšโ€˜๐ด))โ†‘2) = -๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜๐ด))) โˆ‰ โ„+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ‰ wnel 3046   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  ici 11061   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198  -cneg 11394  2c2 12216  โ„+crp 12923  โ†‘cexp 13976  โ„œcre 14991  โ„‘cim 14992  โˆšcsqrt 15127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129
This theorem is referenced by:  sqrtneg  15161  sqreu  15254
  Copyright terms: Public domain W3C validator