Theorem sqrtneglem 15315

Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtneglem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtneglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11243	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		resqrtcl 15302	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
3		recn 11274	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
5		sqmul 14169	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
6	1, 4, 5	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
7		i2 14251	. . . . 5 ⊢ (i↑2) = -1
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i↑2) = -1)
9		resqrtth 15304	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
10	8, 9	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
11		recn 11274	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	mulm1d 11742	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
14	6, 10, 13	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
15		renegcl 11599	. . . 4 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → -(√‘𝐴) ∈ ℝ)
16		0re 11292	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		reim0 15167	. . . . . 6 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = 0)
18		recn 11274	. . . . . . 7 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → -(√‘𝐴) ∈ ℂ)
19		imre 15157	. . . . . . 7 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
21	17, 20	eqtr3d 2782	. . . . 5 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
22		eqle 11392	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴)))) → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
23	16, 21, 22	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
24	2, 15, 23	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
25		mul2neg 11729	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · -(√‘𝐴)) = (i · (√‘𝐴)))
26	1, 4, 25	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-i · -(√‘𝐴)) = (i · (√‘𝐴)))
27	26	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))) = (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
28	24, 27	breqtrd 5192	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
29		ixi 11919	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
30	29	oveq1i 7458	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) · (√‘𝐴)) = (-1 · (√‘𝐴))
31		mulass 11272	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (√‘𝐴)) = (i · (i · (√‘𝐴))))
32	1, 1, 31	mp3an12 1451	. . . . . 6 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘𝐴)) = (i · (i · (√‘𝐴))))
33		mulm1 11731	. . . . . 6 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (√‘𝐴)) = -(√‘𝐴))
34	30, 32, 33	3eqtr3a 2804	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → (i · (i · (√‘𝐴))) = -(√‘𝐴))
35	4, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (i · (√‘𝐴))) = -(√‘𝐴))
36		sqrtge0 15306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
37		le0neg2 11799	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ -(√‘𝐴) ≤ 0))
38		lenlt 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-(√‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
39	15, 16, 38	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (-(√‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
40	37, 39	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
41	2, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
42	36, 41	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 0 < -(√‘𝐴))
43		elrp 13059	. . . . . 6 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(√‘𝐴)))
44	2, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -(√‘𝐴) ∈ ℝ)
45	44	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < -(√‘𝐴) ↔ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(√‘𝐴))))
46	43, 45	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-(√‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < -(√‘𝐴)))
47	42, 46	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ -(√‘𝐴) ∈ ℝ+)
48	35, 47	eqneltrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ (i · (i · (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
49		df-nel 3053	. . 3 ⊢ ((i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · (i · (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
50	48, 49	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)
51	14, 28, 50	3jca 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3052   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325  -cneg 11521  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057  ↑cexp 14112  ℜcre 15146  ℑcim 15147  √csqrt 15282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284

This theorem is referenced by:  sqrtneg  15316  sqreu  15409