MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtneglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtneglem 15305
Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtneglem ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtneglem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11214 . . . 4 i ∈ ℂ
2 resqrtcl 15292 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
3 recn 11245 . . . . 5 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
5 sqmul 14159 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
61, 4, 5sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
7 i2 14241 . . . . 5 (i↑2) = -1
87a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i↑2) = -1)
9 resqrtth 15294 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
108, 9oveq12d 7449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
11 recn 11245 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
1312mulm1d 11715 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
146, 10, 133eqtrd 2781 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
15 renegcl 11572 . . . 4 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → -(√‘𝐴) ∈ ℝ)
16 0re 11263 . . . . 5 0 ∈ ℝ
17 reim0 15157 . . . . . 6 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = 0)
18 recn 11245 . . . . . . 7 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → -(√‘𝐴) ∈ ℂ)
19 imre 15147 . . . . . . 7 (-(√‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
2117, 20eqtr3d 2779 . . . . 5 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
22 eqle 11363 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴)))) → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
2316, 21, 22sylancr 587 . . . 4 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
242, 15, 233syl 18 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
25 mul2neg 11702 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · -(√‘𝐴)) = (i · (√‘𝐴)))
261, 4, 25sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-i · -(√‘𝐴)) = (i · (√‘𝐴)))
2726fveq2d 6910 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))) = (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
2824, 27breqtrd 5169 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
29 ixi 11892 . . . . . . 7 (i · i) = -1
3029oveq1i 7441 . . . . . 6 ((i · i) · (√‘𝐴)) = (-1 · (√‘𝐴))
31 mulass 11243 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (√‘𝐴)) = (i · (i · (√‘𝐴))))
321, 1, 31mp3an12 1453 . . . . . 6 ((√‘𝐴) ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘𝐴)) = (i · (i · (√‘𝐴))))
33 mulm1 11704 . . . . . 6 ((√‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (√‘𝐴)) = -(√‘𝐴))
3430, 32, 333eqtr3a 2801 . . . . 5 ((√‘𝐴) ∈ ℂ → (i · (i · (√‘𝐴))) = -(√‘𝐴))
354, 34syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (i · (√‘𝐴))) = -(√‘𝐴))
36 sqrtge0 15296 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
37 le0neg2 11772 . . . . . . . 8 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ -(√‘𝐴) ≤ 0))
38 lenlt 11339 . . . . . . . . 9 ((-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-(√‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
3915, 16, 38sylancl 586 . . . . . . . 8 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (-(√‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
4037, 39bitrd 279 . . . . . . 7 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
412, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
4236, 41mpbid 232 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 0 < -(√‘𝐴))
43 elrp 13036 . . . . . 6 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(√‘𝐴)))
442, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -(√‘𝐴) ∈ ℝ)
4544biantrurd 532 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < -(√‘𝐴) ↔ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(√‘𝐴))))
4643, 45bitr4id 290 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-(√‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < -(√‘𝐴)))
4742, 46mtbird 325 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ -(√‘𝐴) ∈ ℝ+)
4835, 47eqneltrd 2861 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ (i · (i · (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
49 df-nel 3047 . . 3 ((i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · (i · (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
5048, 49sylibr 234 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)
5114, 28, 503jca 1129 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493  2c2 12321  +crp 13034  cexp 14102  cre 15136  cim 15137  csqrt 15272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274
This theorem is referenced by:  sqrtneg  15306  sqreu  15399
  Copyright terms: Public domain W3C validator