Theorem sqrtneglem 15191

Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtneglem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtneglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11087	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		resqrtcl 15178	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
3		recn 11118	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
5		sqmul 14044	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
6	1, 4, 5	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
7		i2 14127	. . . . 5 ⊢ (i↑2) = -1
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i↑2) = -1)
9		resqrtth 15180	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
10	8, 9	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
11		recn 11118	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	mulm1d 11590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
14	6, 10, 13	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
15		renegcl 11445	. . . 4 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → -(√‘𝐴) ∈ ℝ)
16		0re 11136	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		reim0 15043	. . . . . 6 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = 0)
18		recn 11118	. . . . . . 7 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → -(√‘𝐴) ∈ ℂ)
19		imre 15033	. . . . . . 7 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
21	17, 20	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
22		eqle 11236	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴)))) → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
23	16, 21, 22	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
24	2, 15, 23	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
25		mul2neg 11577	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · -(√‘𝐴)) = (i · (√‘𝐴)))
26	1, 4, 25	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-i · -(√‘𝐴)) = (i · (√‘𝐴)))
27	26	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))) = (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
28	24, 27	breqtrd 5121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
29		ixi 11767	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
30	29	oveq1i 7363	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) · (√‘𝐴)) = (-1 · (√‘𝐴))
31		mulass 11116	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (√‘𝐴)) = (i · (i · (√‘𝐴))))
32	1, 1, 31	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘𝐴)) = (i · (i · (√‘𝐴))))
33		mulm1 11579	. . . . . 6 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (√‘𝐴)) = -(√‘𝐴))
34	30, 32, 33	3eqtr3a 2788	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → (i · (i · (√‘𝐴))) = -(√‘𝐴))
35	4, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (i · (√‘𝐴))) = -(√‘𝐴))
36		sqrtge0 15182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
37		le0neg2 11647	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ -(√‘𝐴) ≤ 0))
38		lenlt 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-(√‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
39	15, 16, 38	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (-(√‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
40	37, 39	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
41	2, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
42	36, 41	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 0 < -(√‘𝐴))
43		elrp 12913	. . . . . 6 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(√‘𝐴)))
44	2, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -(√‘𝐴) ∈ ℝ)
45	44	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < -(√‘𝐴) ↔ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(√‘𝐴))))
46	43, 45	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-(√‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < -(√‘𝐴)))
47	42, 46	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ -(√‘𝐴) ∈ ℝ+)
48	35, 47	eqneltrd 2848	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ (i · (i · (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
49		df-nel 3030	. . 3 ⊢ ((i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · (i · (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
50	48, 49	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)
51	14, 28, 50	3jca 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029  ici 11030   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169  -cneg 11366  2c2 12201  ℝ⁺crp 12911  ↑cexp 13986  ℜcre 15022  ℑcim 15023  √csqrt 15158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160

This theorem is referenced by:  sqrtneg  15192  sqreu  15286