Theorem sqrtneglem 15343

Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtneglem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtneglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11177	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		resqrtcl 15330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
3		recn 11208	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
5		sqmul 14175	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
6	1, 4, 5	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
7		i2 14258	. . . . 5 ⊢ (i↑2) = -1
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i↑2) = -1)
9		resqrtth 15332	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
10	8, 9	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
11		recn 11208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	mulm1d 11684	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
14	6, 10, 13	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
15		renegcl 11539	. . . 4 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → -(√‘𝐴) ∈ ℝ)
16		0re 11228	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		reim0 15195	. . . . . 6 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = 0)
18		recn 11208	. . . . . . 7 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → -(√‘𝐴) ∈ ℂ)
19		imre 15185	. . . . . . 7 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
21	17, 20	eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
22		eqle 11330	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴)))) → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
23	16, 21, 22	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
24	2, 15, 23	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
25		mul2neg 11671	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · -(√‘𝐴)) = (i · (√‘𝐴)))
26	1, 4, 25	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-i · -(√‘𝐴)) = (i · (√‘𝐴)))
27	26	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))) = (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
28	24, 27	breqtrd 5142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
29		ixi 11861	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
30	29	oveq1i 7433	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) · (√‘𝐴)) = (-1 · (√‘𝐴))
31		mulass 11206	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (√‘𝐴)) = (i · (i · (√‘𝐴))))
32	1, 1, 31	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘𝐴)) = (i · (i · (√‘𝐴))))
33		mulm1 11673	. . . . . 6 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (√‘𝐴)) = -(√‘𝐴))
34	30, 32, 33	3eqtr3a 2825	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → (i · (i · (√‘𝐴))) = -(√‘𝐴))
35	4, 34	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (i · (√‘𝐴))) = -(√‘𝐴))
36		sqrtge0 15334	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
37		le0neg2 11741	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ -(√‘𝐴) ≤ 0))
38		lenlt 11306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-(√‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
39	15, 16, 38	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (-(√‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
40	37, 39	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
41	2, 40	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
42	36, 41	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 0 < -(√‘𝐴))
43		elrp 13036	. . . . . 6 ⊢ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(√‘𝐴)))
44	2, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -(√‘𝐴) ∈ ℝ)
45	44	biantrurd 542	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < -(√‘𝐴) ↔ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(√‘𝐴))))
46	43, 45	bitr4id 293	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-(√‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < -(√‘𝐴)))
47	42, 46	mtbird 328	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ -(√‘𝐴) ∈ ℝ+)
48	35, 47	eqneltrd 2886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ (i · (i · (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
49		df-nel 3068	. . 3 ⊢ ((i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · (i · (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
50	48, 49	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)
51	14, 28, 50	3jca 1146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3067   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119  ici 11120   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262  -cneg 11460  2c2 12313  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14117  ℜcre 15174  ℑcim 15175  √csqrt 15310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312

This theorem is used by:  sqrtneg  15344  sqreu  15438