Theorem dvconstbi 39372

Description: The derivative of a function on 𝑆 is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional 𝑆 analogue of dvconst 24086 and dveq0 24169. Corresponds to integration formula "∫0 d𝑥 = 𝐶 " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvconstbi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvconstbi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
dvconstbi.dy	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvconstbi	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑐   𝑌,𝑐

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑐)

Proof of Theorem dvconstbi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvconstbi.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
2		dvconstbi.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		elpri 4421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
5		0re 10365	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		eleq2 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℝ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℝ))
7	5, 6	mpbiri 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → 0 ∈ 𝑆)
8		0cn 10355	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
9		eleq2 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℂ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℂ))
10	8, 9	mpbiri 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℂ → 0 ∈ 𝑆)
11	7, 10	jaoi 888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 0 ∈ 𝑆)
12	4, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
13		ffvelrn 6611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
14	1, 12, 13	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
15	14	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
16	1	ffnd 6283	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑆)
17	16	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 Fn 𝑆)
18		fvex 6450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌‘0) ∈ V
19		fnconstg 6334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌‘0) ∈ V → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
20	18, 19	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
21	18	fvconst2 6730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
22	21	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
23		eqid 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
24	2, 23	sblpnf 39348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
25	12, 24	mpdan 678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
26	25	eleq2d 2892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
27	26	biimpar 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
28	12, 25	eleqtrrd 2909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
29	2	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
30		ssidd 3849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ⊆ 𝑆)
31	1	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
32	12	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ 𝑆)
33		pnfxr 10417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → +∞ ∈ ℝ*)
35		eqid 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)
36	25	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
37		dvconstbi.dy	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
38	37	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
39	36, 38	eqtr4d 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌))
40		eqimss 3882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
42	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ ℝ)
43	25	eleq2d 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑥 ∈ 𝑆))
44	43	biimpa 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
45	44	3adant2 1165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
46		fveq1 6436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = ((𝑆 × {0})‘𝑥))
47		c0ex 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ∈ V
48	47	fvconst2 6730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝑥) = 0)
49	46, 48	sylan9eq 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = 0)
50	49, 8	syl6eqel 2914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	abscld 14559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ)
52	49	abs00bd 14415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0)
53		eqle 10465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
54	51, 52, 53	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
55	54	3adant1 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
56	45, 55	syld3an3 1532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
57	56	3expa 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
58	29, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 57	dvlip2 24164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
59	28, 58	sylanr1 672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
60	59	3impdi 1463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
61	27, 60	syl3an3 1209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
62	61	3expa 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
63	62	3impdi 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
64		recnprss 24074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
65	2, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
66	65	sseld 3826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
67		subcl 10607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
68	67	abscld 14559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
69	8, 68	mpan 681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
70	66, 69	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ))
71	70	imp 397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
73	72	mul02d 10560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
74	73	3adant2 1165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
75	63, 74	breqtrd 4901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0)
76		ffvelrn 6611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ)
77	13, 76	anim12dan 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
78	1, 77	sylan 575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
79	78	3impb 1147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
80	12, 79	syl3an2 1207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
81	80	3anidm12 1546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
82		subcl 10607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) ∈ ℂ)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) ∈ ℂ)
84	83	absge0d 14567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))
85	84	3adant2 1165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))
86	83	abscld 14559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ∈ ℝ)
87		letri3 10449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
88	86, 5, 87	sylancl 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
89	88	3adant2 1165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
90	75, 85, 89	mpbir2and 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0)
91	83	abs00ad 14414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0))
92	91	3adant2 1165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0))
93	90, 92	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0)
94		subeq0 10635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
95	81, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
96	95	3adant2 1165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
97	93, 96	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦))
98	97	3expa 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦))
99	22, 98	eqtr2d 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑦) = ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦))
100	17, 20, 99	eqfnfvd 6568	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
101		sneq 4409	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑌‘0) → {𝑥} = {(𝑌‘0)})
102	101	xpeq2d 5376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑌‘0) → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
103	102	rspceeqv 3544	. . . . 5 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
104	15, 100, 103	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
105	104	ex 403	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
106		oveq2 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
107	106	3ad2ant3 1169	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
108		dvsconst 39368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
109	2, 108	sylan 575	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
110	109	3adant3 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
111	107, 110	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}))
112	111	rexlimdv3a 3242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})))
113	105, 112	impbid 204	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
114		sneq 4409	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → {𝑐} = {𝑥})
115	114	xpeq2d 5376	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑆 × {𝑐}) = (𝑆 × {𝑥}))
116	115	eqeq2d 2835	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
117	116	cbvrexv 3384	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
118	113, 117	syl6bbr 281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∃wrex 3118  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  {csn 4399  {cpr 4401   class class class wbr 4875   × cxp 5344  dom cdm 5346   ↾ cres 5348   ∘ ccom 5350   Fn wfn 6122  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259   · cmul 10264  +∞cpnf 10395  ℝ^*cxr 10397   ≤ cle 10399   − cmin 10592  abscabs 14358  ballcbl 20100   D cdv 24033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-cmp 21568  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037

This theorem is referenced by:  expgrowth  39373