Theorem dvconstbi 45166

Description: The derivative of a function on 𝑆 is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional 𝑆 analogue of dvconst 26151 and dveq0 26234. Corresponds to integration formula "∫0 d𝑥 = 𝐶 " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvconstbi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvconstbi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
dvconstbi.dy	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvconstbi	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑐   𝑌,𝑐

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑐)

Proof of Theorem dvconstbi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvconstbi.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
2		dvconstbi.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		elpri 4611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
5		0re 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		eleq2 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℝ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℝ))
7	5, 6	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → 0 ∈ 𝑆)
8		0cn 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
9		eleq2 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℂ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℂ))
10	8, 9	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℂ → 0 ∈ 𝑆)
11	7, 10	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 0 ∈ 𝑆)
12	4, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
13		ffvelcdm 7078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
14	1, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
16	1	ffnd 6707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑆)
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 Fn 𝑆)
18		fvex 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌‘0) ∈ V
19		fnconstg 6767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌‘0) ∈ V → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
20	18, 19	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
21	18	fvconst2 7207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
22	21	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
23		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
24	2, 23	sblpnf 45142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
25	12, 24	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
26	25	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
27	26	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
28	12, 25	eleqtrrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
29	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
30		ssidd 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ⊆ 𝑆)
31	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
32	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ 𝑆)
33		pnfxr 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → +∞ ∈ ℝ*)
35		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)
36	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
37		dvconstbi.dy	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
39	36, 38	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌))
40		eqimss 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
42	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ ℝ)
43	25	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑥 ∈ 𝑆))
44	43	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
45	44	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
46		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = ((𝑆 × {0})‘𝑥))
47		c0ex 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ∈ V
48	47	fvconst2 7207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝑥) = 0)
49	46, 48	sylan9eq 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = 0)
50	49, 8	eqeltrdi 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	abscld 15530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ)
52	49	abs00bd 15382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0)
53		eqle 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
54	51, 52, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
55	54	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
56	45, 55	syld3an3 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
57	56	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
58	29, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 57	dvlip2 26229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
59	28, 58	sylanr1 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
60	59	3impdi 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
61	27, 60	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
62	61	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
63	62	3impdi 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
64		recnprss 26138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
65	2, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
66	65	sseld 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
67		subcl 11484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
68	67	abscld 15530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
69	8, 68	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
70	66, 69	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ))
71	70	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 11265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
73	72	mul02d 11436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
74	73	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
75	63, 74	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0)
76		ffvelcdm 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ)
77	13, 76	anim12dan 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
78	1, 77	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
79	78	3impb 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
80	12, 79	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
81	80	3anidm12 1446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
82		subcl 11484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) ∈ ℂ)
83	81, 82	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) ∈ ℂ)
84	83	absge0d 15538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))
85	84	3adant2 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))
86	83	abscld 15530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ∈ ℝ)
87		letri3 11323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
88	86, 5, 87	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
89	88	3adant2 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
90	75, 85, 89	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0)
91	83	abs00ad 15381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0))
92	91	3adant2 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0))
93	90, 92	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0)
94		subeq0 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
95	81, 94	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
96	95	3adant2 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
97	93, 96	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦))
98	97	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦))
99	22, 98	eqtr2d 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑦) = ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦))
100	17, 20, 99	eqfnfvd 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
101		sneq 4597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑌‘0) → {𝑥} = {(𝑌‘0)})
102	101	xpeq2d 5689	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑌‘0) → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
103	102	rspceeqv 3602	. . . . 5 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
104	15, 100, 103	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
105	104	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
106		oveq2 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
107	106	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
108		dvsconst 45162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
109	2, 108	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
110	109	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
111	107, 110	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}))
112	111	rexlimdv3a 3169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})))
113	105, 112	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
114		sneq 4597	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → {𝑐} = {𝑥})
115	114	xpeq2d 5689	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑆 × {𝑐}) = (𝑆 × {𝑥}))
116	115	eqeq2d 2773	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
117	116	cbvrexvw 3243	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
118	113, 117	bitr4di 292	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5657  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   · cmul 11133  +∞cpnf 11268  ℝ^*cxr 11270   ≤ cle 11272   − cmin 11469  abscabs 15325  ballcbl 21578   D cdv 26097

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-lp 23367  df-perf 23368  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-haus 23546  df-cmp 23618  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cncf 25112  df-limc 26100  df-dv 26101

This theorem is used by:  expgrowth  45167