Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvconstbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvconstbi 42706
Description: The derivative of a function on 𝑆 is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional 𝑆 analogue of dvconst 25304 and dveq0 25387. Corresponds to integration formula "∫0 dπ‘₯ = 𝐢 " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvconstbi.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvconstbi.y (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚)
dvconstbi.dy (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D π‘Œ) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvconstbi (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {𝑐})))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑐   π‘Œ,𝑐
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑐)

Proof of Theorem dvconstbi
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvconstbi.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚)
2 dvconstbi.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
3 elpri 4612 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
5 0re 11165 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
6 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ β†’ (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℝ))
75, 6mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ β†’ 0 ∈ 𝑆)
8 0cn 11155 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
9 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = β„‚ β†’ (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ β„‚))
108, 9mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑆 = β„‚ β†’ 0 ∈ 𝑆)
117, 10jaoi 856 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ 0 ∈ 𝑆)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑆)
13 ffvelcdm 7036 . . . . . . 7 ((π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ 0 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚)
141, 12, 13syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚)
1514adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ (π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚)
161ffnd 6673 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ Fn 𝑆)
1716adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ π‘Œ Fn 𝑆)
18 fvex 6859 . . . . . . 7 (π‘Œβ€˜0) ∈ V
19 fnconstg 6734 . . . . . . 7 ((π‘Œβ€˜0) ∈ V β†’ (𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)}) Fn 𝑆)
2018, 19mp1i 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ (𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)}) Fn 𝑆)
2118fvconst2 7157 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)})β€˜π‘¦) = (π‘Œβ€˜0))
2221adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)})β€˜π‘¦) = (π‘Œβ€˜0))
23 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
242, 23sblpnf 42682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝑆) β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2512, 24mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2625eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
2726biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞))
2812, 25eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞))
292adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
30 ssidd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑆)
311adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚)
3212adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ 0 ∈ 𝑆)
33 pnfxr 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)
3625adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = 𝑆)
37 dvconstbi.dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D π‘Œ) = 𝑆)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ dom (𝑆 D π‘Œ) = 𝑆)
3936, 38eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D π‘Œ))
40 eqimss 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D π‘Œ) β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) βŠ† dom (𝑆 D π‘Œ))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) βŠ† dom (𝑆 D π‘Œ))
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ 0 ∈ ℝ)
4325eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) ↔ π‘₯ ∈ 𝑆))
4443biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
45443adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
46 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) β†’ ((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯) = ((𝑆 Γ— {0})β€˜π‘₯))
47 c0ex 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ V
4847fvconst2 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑆 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
4946, 48sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯) = 0)
5049, 8eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5150abscld 15330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5249abs00bd 15185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) = 0)
53 eqle 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) = 0) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
5451, 52, 53syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
55543adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
5645, 55syld3an3 1410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
57563expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
5829, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 57dvlip2 25382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ (0 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞))) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
5928, 58sylanr1 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞))) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
60593impdi 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
6127, 60syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
62613expa 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
63623impdi 1351 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
64 recnprss 25291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
652, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6665sseld 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
67 subcl 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0 βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
6867abscld 15330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
698, 68mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
7066, 69syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ))
7170imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
7271recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) ∈ β„‚)
7372mul02d 11361 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))) = 0)
74733adant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))) = 0)
7563, 74breqtrd 5135 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ 0)
76 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
7713, 76anim12dan 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚))
781, 77sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚))
79783impb 1116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚))
8012, 79syl3an2 1165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚))
81803anidm12 1420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚))
82 subcl 11408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ ((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
8483absge0d 15338 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))))
85843adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))))
8683abscld 15330 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
87 letri3 11248 . . . . . . . . . . . . 13 (((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0 ↔ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))))))
8886, 5, 87sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0 ↔ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))))))
89883adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0 ↔ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))))))
9075, 85, 89mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0)
9183abs00ad 15184 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0 ↔ ((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0))
92913adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0 ↔ ((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0))
9390, 92mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0)
94 subeq0 11435 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ (((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (π‘Œβ€˜0) = (π‘Œβ€˜π‘¦)))
9581, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (π‘Œβ€˜0) = (π‘Œβ€˜π‘¦)))
96953adant2 1132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (π‘Œβ€˜0) = (π‘Œβ€˜π‘¦)))
9793, 96mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜0) = (π‘Œβ€˜π‘¦))
98973expa 1119 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜0) = (π‘Œβ€˜π‘¦))
9922, 98eqtr2d 2774 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘¦) = ((𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)})β€˜π‘¦))
10017, 20, 99eqfnfvd 6989 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ π‘Œ = (𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)}))
101 sneq 4600 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘Œβ€˜0) β†’ {π‘₯} = {(π‘Œβ€˜0)})
102101xpeq2d 5667 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘Œβ€˜0) β†’ (𝑆 Γ— {π‘₯}) = (𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)}))
103102rspceeqv 3599 . . . . 5 (((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯}))
10415, 100, 103syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯}))
105104ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})))
106 oveq2 7369 . . . . . 6 (π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 D (𝑆 Γ— {π‘₯})))
1071063ad2ant3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 D (𝑆 Γ— {π‘₯})))
108 dvsconst 42702 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {π‘₯})) = (𝑆 Γ— {0}))
1092, 108sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {π‘₯})) = (𝑆 Γ— {0}))
1101093adant3 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})) β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {π‘₯})) = (𝑆 Γ— {0}))
111107, 110eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}))
112111rexlimdv3a 3153 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})))
113105, 112impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})))
114 sneq 4600 . . . . 5 (𝑐 = π‘₯ β†’ {𝑐} = {π‘₯})
115114xpeq2d 5667 . . . 4 (𝑐 = π‘₯ β†’ (𝑆 Γ— {𝑐}) = (𝑆 Γ— {π‘₯}))
116115eqeq2d 2744 . . 3 (𝑐 = π‘₯ β†’ (π‘Œ = (𝑆 Γ— {𝑐}) ↔ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})))
117116cbvrexvw 3225 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {𝑐}) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯}))
118113, 117bitr4di 289 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {𝑐})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  abscabs 15128  ballcbl 20806   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  expgrowth  42707
  Copyright terms: Public domain W3C validator