Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvconstbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvconstbi 44353
Description: The derivative of a function on 𝑆 is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional 𝑆 analogue of dvconst 25952 and dveq0 26039. Corresponds to integration formula "∫0 d𝑥 = 𝐶 " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvconstbi.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvconstbi.y (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
dvconstbi.dy (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvconstbi (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑐   𝑌,𝑐
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑐)

Proof of Theorem dvconstbi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvconstbi.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
2 dvconstbi.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3 elpri 4649 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
5 0re 11263 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
6 eleq2 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℝ))
75, 6mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ → 0 ∈ 𝑆)
8 0cn 11253 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
9 eleq2 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℂ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℂ))
108, 9mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℂ → 0 ∈ 𝑆)
117, 10jaoi 858 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 0 ∈ 𝑆)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
13 ffvelcdm 7101 . . . . . . 7 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
141, 12, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
161ffnd 6737 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 Fn 𝑆)
1716adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 Fn 𝑆)
18 fvex 6919 . . . . . . 7 (𝑌‘0) ∈ V
19 fnconstg 6796 . . . . . . 7 ((𝑌‘0) ∈ V → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
2018, 19mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
2118fvconst2 7224 . . . . . . . 8 (𝑦𝑆 → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
2221adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
23 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
242, 23sblpnf 44329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2512, 24mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2625eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑦𝑆))
2726biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
2812, 25eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
292adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
30 ssidd 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆𝑆)
311adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
3212adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ 𝑆)
33 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → +∞ ∈ ℝ*)
35 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)
3625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
37 dvconstbi.dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
3936, 38eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌))
40 eqimss 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ ℝ)
4325eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑥𝑆))
4443biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥𝑆)
45443adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥𝑆)
46 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = ((𝑆 × {0})‘𝑥))
47 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ V
4847fvconst2 7224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝑥) = 0)
4946, 48sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = 0)
5049, 8eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) ∈ ℂ)
5150abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ)
5249abs00bd 15330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0)
53 eqle 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
5451, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
55543adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
5645, 55syld3an3 1411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
57563expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
5829, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 57dvlip2 26034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
5928, 58sylanr1 682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
60593impdi 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
6127, 60syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
62613expa 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
63623impdi 1351 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
64 recnprss 25939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
652, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6665sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
67 subcl 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
6867abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
698, 68mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7066, 69syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦𝑆 → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ))
7170imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7271recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
7372mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
74733adant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
7563, 74breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0)
76 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌𝑦) ∈ ℂ)
7713, 76anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (0 ∈ 𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
781, 77sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (0 ∈ 𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
79783impb 1115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
8012, 79syl3an2 1165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
81803anidm12 1421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
82 subcl 11507 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) ∈ ℂ)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) ∈ ℂ)
8483absge0d 15483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))
85843adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))
8683abscld 15475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ∈ ℝ)
87 letri3 11346 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
8886, 5, 87sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
89883adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
9075, 85, 89mpbir2and 713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0)
9183abs00ad 15329 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0))
92913adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0))
9390, 92mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0)
94 subeq0 11535 . . . . . . . . . . 11 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
9581, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
96953adant2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
9793, 96mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌𝑦))
98973expa 1119 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌𝑦))
9922, 98eqtr2d 2778 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌𝑦) = ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦))
10017, 20, 99eqfnfvd 7054 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
101 sneq 4636 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑌‘0) → {𝑥} = {(𝑌‘0)})
102101xpeq2d 5715 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑌‘0) → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
103102rspceeqv 3645 . . . . 5 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
10415, 100, 103syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
105104ex 412 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
106 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
1071063ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
108 dvsconst 44349 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
1092, 108sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
1101093adant3 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
111107, 110eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}))
112111rexlimdv3a 3159 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})))
113105, 112impbid 212 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
114 sneq 4636 . . . . 5 (𝑐 = 𝑥 → {𝑐} = {𝑥})
115114xpeq2d 5715 . . . 4 (𝑐 = 𝑥 → (𝑆 × {𝑐}) = (𝑆 × {𝑥}))
116115eqeq2d 2748 . . 3 (𝑐 = 𝑥 → (𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
117116cbvrexvw 3238 . 2 (∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
118113, 117bitr4di 289 1 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685  cres 5687  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296  cmin 11492  abscabs 15273  ballcbl 21351   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  expgrowth  44354
  Copyright terms: Public domain W3C validator