Theorem dvconstbi 44874

Description: The derivative of a function on 𝑆 is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional 𝑆 analogue of dvconst 25959 and dveq0 26042. Corresponds to integration formula "∫0 d𝑥 = 𝐶 " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvconstbi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvconstbi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
dvconstbi.dy	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvconstbi	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑐   𝑌,𝑐

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑐)

Proof of Theorem dvconstbi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvconstbi.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
2		dvconstbi.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		elpri 4605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
5		0re 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		eleq2 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℝ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℝ))
7	5, 6	mpbiri 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → 0 ∈ 𝑆)
8		0cn 11168	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
9		eleq2 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℂ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℂ))
10	8, 9	mpbiri 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℂ → 0 ∈ 𝑆)
11	7, 10	jaoi 868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 0 ∈ 𝑆)
12	4, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
13		ffvelcdm 7058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
14	1, 12, 13	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
15	14	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
16	1	ffnd 6688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑆)
17	16	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 Fn 𝑆)
18		fvex 6876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌‘0) ∈ V
19		fnconstg 6748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌‘0) ∈ V → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
20	18, 19	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
21	18	fvconst2 7184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
22	21	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
23		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
24	2, 23	sblpnf 44850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
25	12, 24	mpdan 697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
26	25	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
27	26	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
28	12, 25	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
29	2	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
30		ssidd 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ⊆ 𝑆)
31	1	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
32	12	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ 𝑆)
33		pnfxr 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → +∞ ∈ ℝ*)
35		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)
36	25	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
37		dvconstbi.dy	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
38	37	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
39	36, 38	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌))
40		eqimss 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
42	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ ℝ)
43	25	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑥 ∈ 𝑆))
44	43	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
45	44	3adant2 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
46		fveq1 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = ((𝑆 × {0})‘𝑥))
47		c0ex 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ∈ V
48	47	fvconst2 7184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝑥) = 0)
49	46, 48	sylan9eq 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = 0)
50	49, 8	eqeltrdi 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	abscld 15449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ)
52	49	abs00bd 15301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0)
53		eqle 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
54	51, 52, 53	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
55	54	3adant1 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
56	45, 55	syld3an3 1427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
57	56	3expa 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
58	29, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 57	dvlip2 26037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
59	28, 58	sylanr1 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
60	59	3impdi 1363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
61	27, 60	syl3an3 1177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
62	61	3expa 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
63	62	3impdi 1363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
64		recnprss 25946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
65	2, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
66	65	sseld 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
67		subcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
68	67	abscld 15449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
69	8, 68	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
70	66, 69	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ))
71	70	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
73	72	mul02d 11378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
74	73	3adant2 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
75	63, 74	breqtrd 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0)
76		ffvelcdm 7058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ)
77	13, 76	anim12dan 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
78	1, 77	sylan 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
79	78	3impb 1126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
80	12, 79	syl3an2 1176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
81	80	3anidm12 1437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
82		subcl 11426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) ∈ ℂ)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) ∈ ℂ)
84	83	absge0d 15457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))
85	84	3adant2 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))
86	83	abscld 15449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ∈ ℝ)
87		letri3 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
88	86, 5, 87	sylancl 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
89	88	3adant2 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
90	75, 85, 89	mpbir2and 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0)
91	83	abs00ad 15300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0))
92	91	3adant2 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0))
93	90, 92	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0)
94		subeq0 11454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
95	81, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
96	95	3adant2 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
97	93, 96	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦))
98	97	3expa 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦))
99	22, 98	eqtr2d 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑦) = ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦))
100	17, 20, 99	eqfnfvd 7010	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
101		sneq 4591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑌‘0) → {𝑥} = {(𝑌‘0)})
102	101	xpeq2d 5675	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑌‘0) → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
103	102	rspceeqv 3604	. . . . 5 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
104	15, 100, 103	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
105	104	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
106		oveq2 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
107	106	3ad2ant3 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
108		dvsconst 44870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
109	2, 108	sylan 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
110	109	3adant3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
111	107, 110	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}))
112	111	rexlimdv3a 3166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})))
113	105, 112	impbid 214	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
114		sneq 4591	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → {𝑐} = {𝑥})
115	114	xpeq2d 5675	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑆 × {𝑐}) = (𝑆 × {𝑥}))
116	115	eqeq2d 2772	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
117	116	cbvrexvw 3240	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
118	113, 117	bitr4di 291	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  {csn 4581  {cpr 4583   class class class wbr 5099   × cxp 5643  dom cdm 5645   ↾ cres 5647   ∘ ccom 5649   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070   · cmul 11075  +∞cpnf 11210  ℝ^*cxr 11212   ≤ cle 11214   − cmin 11411  abscabs 15244  ballcbl 21391   D cdv 25905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-cmp 23427  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909

This theorem is referenced by:  expgrowth  44875