Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvconstbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvconstbi 44330
Description: The derivative of a function on 𝑆 is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional 𝑆 analogue of dvconst 25967 and dveq0 26054. Corresponds to integration formula "∫0 d𝑥 = 𝐶 " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvconstbi.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvconstbi.y (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
dvconstbi.dy (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvconstbi (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑐   𝑌,𝑐
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑐)

Proof of Theorem dvconstbi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvconstbi.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
2 dvconstbi.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3 elpri 4654 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
5 0re 11261 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
6 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℝ))
75, 6mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ → 0 ∈ 𝑆)
8 0cn 11251 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
9 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℂ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℂ))
108, 9mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℂ → 0 ∈ 𝑆)
117, 10jaoi 857 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 0 ∈ 𝑆)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
13 ffvelcdm 7101 . . . . . . 7 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
141, 12, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
161ffnd 6738 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 Fn 𝑆)
1716adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 Fn 𝑆)
18 fvex 6920 . . . . . . 7 (𝑌‘0) ∈ V
19 fnconstg 6797 . . . . . . 7 ((𝑌‘0) ∈ V → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
2018, 19mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
2118fvconst2 7224 . . . . . . . 8 (𝑦𝑆 → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
2221adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
23 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
242, 23sblpnf 44306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2512, 24mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2625eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑦𝑆))
2726biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
2812, 25eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
292adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
30 ssidd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆𝑆)
311adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
3212adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ 𝑆)
33 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → +∞ ∈ ℝ*)
35 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)
3625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
37 dvconstbi.dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
3936, 38eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌))
40 eqimss 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ ℝ)
4325eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑥𝑆))
4443biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥𝑆)
45443adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥𝑆)
46 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = ((𝑆 × {0})‘𝑥))
47 c0ex 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ V
4847fvconst2 7224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝑥) = 0)
4946, 48sylan9eq 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = 0)
5049, 8eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) ∈ ℂ)
5150abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ)
5249abs00bd 15327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0)
53 eqle 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
5451, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
55543adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
5645, 55syld3an3 1408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
57563expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
5829, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 57dvlip2 26049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
5928, 58sylanr1 682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
60593impdi 1349 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
6127, 60syl3an3 1164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
62613expa 1117 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
63623impdi 1349 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
64 recnprss 25954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
652, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6665sseld 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
67 subcl 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
6867abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
698, 68mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7066, 69syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦𝑆 → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ))
7170imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7271recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
7372mul02d 11457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
74733adant2 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
7563, 74breqtrd 5174 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0)
76 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌𝑦) ∈ ℂ)
7713, 76anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (0 ∈ 𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
781, 77sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (0 ∈ 𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
79783impb 1114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
8012, 79syl3an2 1163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
81803anidm12 1418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
82 subcl 11505 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) ∈ ℂ)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) ∈ ℂ)
8483absge0d 15480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))
85843adant2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))
8683abscld 15472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ∈ ℝ)
87 letri3 11344 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
8886, 5, 87sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
89883adant2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
9075, 85, 89mpbir2and 713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0)
9183abs00ad 15326 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0))
92913adant2 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0))
9390, 92mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0)
94 subeq0 11533 . . . . . . . . . . 11 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
9581, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
96953adant2 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
9793, 96mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌𝑦))
98973expa 1117 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌𝑦))
9922, 98eqtr2d 2776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌𝑦) = ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦))
10017, 20, 99eqfnfvd 7054 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
101 sneq 4641 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑌‘0) → {𝑥} = {(𝑌‘0)})
102101xpeq2d 5719 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑌‘0) → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
103102rspceeqv 3645 . . . . 5 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
10415, 100, 103syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
105104ex 412 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
106 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
1071063ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
108 dvsconst 44326 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
1092, 108sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
1101093adant3 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
111107, 110eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}))
112111rexlimdv3a 3157 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})))
113105, 112impbid 212 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
114 sneq 4641 . . . . 5 (𝑐 = 𝑥 → {𝑐} = {𝑥})
115114xpeq2d 5719 . . . 4 (𝑐 = 𝑥 → (𝑆 × {𝑐}) = (𝑆 × {𝑥}))
116115eqeq2d 2746 . . 3 (𝑐 = 𝑥 → (𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
117116cbvrexvw 3236 . 2 (∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
118113, 117bitr4di 289 1 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148   × cxp 5687  dom cdm 5689  cres 5691  ccom 5693   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  *cxr 11292  cle 11294  cmin 11490  abscabs 15270  ballcbl 21369   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  expgrowth  44331
  Copyright terms: Public domain W3C validator