Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvconstbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvconstbi 39139
Description: The derivative of a function on 𝑆 is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional 𝑆 analogue of dvconst 23971 and dveq0 24054. Corresponds to integration formula "∫0 d𝑥 = 𝐶 " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvconstbi.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvconstbi.y (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
dvconstbi.dy (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvconstbi (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑐   𝑌,𝑐
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑐)

Proof of Theorem dvconstbi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvconstbi.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
2 dvconstbi.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3 elpri 4356 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
5 0re 10295 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
6 eleq2 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℝ))
75, 6mpbiri 249 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ → 0 ∈ 𝑆)
8 0cn 10285 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
9 eleq2 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℂ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℂ))
108, 9mpbiri 249 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℂ → 0 ∈ 𝑆)
117, 10jaoi 883 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 0 ∈ 𝑆)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
13 ffvelrn 6547 . . . . . . 7 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
141, 12, 13syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
1514adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
161ffnd 6224 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 Fn 𝑆)
1716adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 Fn 𝑆)
18 fvex 6388 . . . . . . 7 (𝑌‘0) ∈ V
19 fnconstg 6275 . . . . . . 7 ((𝑌‘0) ∈ V → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
2018, 19mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
2118fvconst2 6662 . . . . . . . 8 (𝑦𝑆 → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
2221adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
23 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
242, 23sblpnf 39115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2512, 24mpdan 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2625eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑦𝑆))
2726biimpar 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
2812, 25eleqtrrd 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
292adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
30 ssidd 3784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆𝑆)
311adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
3212adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ 𝑆)
33 pnfxr 10346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → +∞ ∈ ℝ*)
35 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)
3625adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
37 dvconstbi.dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
3837adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
3936, 38eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌))
40 eqimss 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ ℝ)
4325eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑥𝑆))
4443biimpa 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥𝑆)
45443adant2 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥𝑆)
46 fveq1 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = ((𝑆 × {0})‘𝑥))
47 c0ex 10287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ V
4847fvconst2 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝑥) = 0)
4946, 48sylan9eq 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = 0)
5049, 8syl6eqel 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) ∈ ℂ)
5150abscld 14462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ)
5249abs00bd 14318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0)
53 eqle 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
5451, 52, 53syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
55543adant1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
5645, 55syld3an3 1528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
57563expa 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
5829, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 57dvlip2 24049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
5928, 58sylanr1 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
60593impdi 1459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
6127, 60syl3an3 1205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
62613expa 1147 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
63623impdi 1459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
64 recnprss 23959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
652, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6665sseld 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
67 subcl 10534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
6867abscld 14462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
698, 68mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7066, 69syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦𝑆 → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ))
7170imp 395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
7271recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
7372mul02d 10488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
74733adant2 1161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
7563, 74breqtrd 4835 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0)
76 ffvelrn 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌𝑦) ∈ ℂ)
7713, 76anim12dan 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (0 ∈ 𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
781, 77sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (0 ∈ 𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
79783impb 1143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
8012, 79syl3an2 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
81803anidm12 1542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ))
82 subcl 10534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) ∈ ℂ)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) ∈ ℂ)
8483absge0d 14470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))
85843adant2 1161 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))
8683abscld 14462 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ∈ ℝ)
87 letri3 10377 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
8886, 5, 87sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
89883adant2 1161 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))))))
9075, 85, 89mpbir2and 704 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0)
9183abs00ad 14317 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0))
92913adant2 1161 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0))
9390, 92mpbid 223 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0)
94 subeq0 10561 . . . . . . . . . . 11 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌𝑦) ∈ ℂ) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
9581, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
96953adant2 1161 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌𝑦)))
9793, 96mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌𝑦))
98973expa 1147 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌𝑦))
9922, 98eqtr2d 2800 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑌𝑦) = ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦))
10017, 20, 99eqfnfvd 6504 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
101 sneq 4344 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑌‘0) → {𝑥} = {(𝑌‘0)})
102101xpeq2d 5307 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑌‘0) → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
103102rspceeqv 3479 . . . . 5 (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
10415, 100, 103syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
105104ex 401 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
106 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
1071063ad2ant3 1165 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
108 dvsconst 39135 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
1092, 108sylan 575 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
1101093adant3 1162 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
111107, 110eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}))
112111rexlimdv3a 3180 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})))
113105, 112impbid 203 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
114 sneq 4344 . . . . 5 (𝑐 = 𝑥 → {𝑐} = {𝑥})
115114xpeq2d 5307 . . . 4 (𝑐 = 𝑥 → (𝑆 × {𝑐}) = (𝑆 × {𝑥}))
116115eqeq2d 2775 . . 3 (𝑐 = 𝑥 → (𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
117116cbvrexv 3320 . 2 (∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
118113, 117syl6bbr 280 1 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3732  {csn 4334  {cpr 4336   class class class wbr 4809   × cxp 5275  dom cdm 5277  cres 5279  ccom 5281   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  *cxr 10327  cle 10329  cmin 10520  abscabs 14261  ballcbl 20006   D cdv 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  expgrowth  39140
  Copyright terms: Public domain W3C validator