Theorem dvconstbi 44684

Description: The derivative of a function on 𝑆 is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional 𝑆 analogue of dvconst 25886 and dveq0 25973. Corresponds to integration formula "∫0 d𝑥 = 𝐶 " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvconstbi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvconstbi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
dvconstbi.dy	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvconstbi	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑐   𝑌,𝑐

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑐)

Proof of Theorem dvconstbi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvconstbi.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
2		dvconstbi.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		elpri 4606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
5		0re 11146	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		eleq2 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℝ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℝ))
7	5, 6	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → 0 ∈ 𝑆)
8		0cn 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
9		eleq2 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℂ → (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℂ))
10	8, 9	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℂ → 0 ∈ 𝑆)
11	7, 10	jaoi 858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 0 ∈ 𝑆)
12	4, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
13		ffvelcdm 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
14	1, 12, 13	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑌‘0) ∈ ℂ)
16	1	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑆)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 Fn 𝑆)
18		fvex 6855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌‘0) ∈ V
19		fnconstg 6730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌‘0) ∈ V → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
20	18, 19	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (𝑆 × {(𝑌‘0)}) Fn 𝑆)
21	18	fvconst2 7160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦) = (𝑌‘0))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
24	2, 23	sblpnf 44660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
25	12, 24	mpdan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
26	25	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
27	26	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
28	12, 25	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))
29	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
30		ssidd 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑆 ⊆ 𝑆)
31	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
32	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ 𝑆)
33		pnfxr 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → +∞ ∈ ℝ*)
35		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)
36	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = 𝑆)
37		dvconstbi.dy	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
39	36, 38	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌))
40		eqimss 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D 𝑌) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ⊆ dom (𝑆 D 𝑌))
42	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 0 ∈ ℝ)
43	25	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ↔ 𝑥 ∈ 𝑆))
44	43	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
45	44	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
46		fveq1 6841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = ((𝑆 × {0})‘𝑥))
47		c0ex 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ∈ V
48	47	fvconst2 7160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝑥) = 0)
49	46, 48	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) = 0)
50	49, 8	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 D 𝑌)‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	abscld 15374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ)
52	49	abs00bd 15226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0)
53		eqle 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) = 0) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
54	51, 52, 53	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
55	54	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
56	45, 55	syld3an3 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
57	56	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑆 D 𝑌)‘𝑥)) ≤ 0)
58	29, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 57	dvlip2 25968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (0 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
59	28, 58	sylanr1 683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞))) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
60	59	3impdi 1352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ (0(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)))+∞)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
61	27, 60	syl3an3 1166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
62	61	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
63	62	3impdi 1352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ (0 · (abs‘(0 − 𝑦))))
64		recnprss 25873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
65	2, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
66	65	sseld 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
67		subcl 11391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
68	67	abscld 15374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
69	8, 68	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
70	66, 69	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ))
71	70	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 11172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
73	72	mul02d 11343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
74	73	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0 · (abs‘(0 − 𝑦))) = 0)
75	63, 74	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0)
76		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ)
77	13, 76	anim12dan 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
78	1, 77	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
79	78	3impb 1115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
80	12, 79	syl3an2 1165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
81	80	3anidm12 1422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ))
82		subcl 11391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) ∈ ℂ)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) ∈ ℂ)
84	83	absge0d 15382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))
85	84	3adant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))
86	83	abscld 15374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ∈ ℝ)
87		letri3 11230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
88	86, 5, 87	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
89	88	3adant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))))))
90	75, 85, 89	mpbir2and 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0)
91	83	abs00ad 15225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0))
92	91	3adant2 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦))) = 0 ↔ ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0))
93	90, 92	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0)
94		subeq0 11419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ ℂ) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
95	81, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
96	95	3adant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘0) − (𝑌‘𝑦)) = 0 ↔ (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦)))
97	93, 96	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦))
98	97	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘0) = (𝑌‘𝑦))
99	22, 98	eqtr2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑦) = ((𝑆 × {(𝑌‘0)})‘𝑦))
100	17, 20, 99	eqfnfvd 6988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
101		sneq 4592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑌‘0) → {𝑥} = {(𝑌‘0)})
102	101	xpeq2d 5662	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑌‘0) → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑆 × {(𝑌‘0)}))
103	102	rspceeqv 3601	. . . . 5 ⊢ (((𝑌‘0) ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {(𝑌‘0)})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
104	15, 100, 103	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
105	104	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
106		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
107	106	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})))
108		dvsconst 44680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
109	2, 108	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
110	109	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D (𝑆 × {𝑥})) = (𝑆 × {0}))
111	107, 110	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}))
112	111	rexlimdv3a 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0})))
113	105, 112	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
114		sneq 4592	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → {𝑐} = {𝑥})
115	114	xpeq2d 5662	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑆 × {𝑐}) = (𝑆 × {𝑥}))
116	115	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥})))
117	116	cbvrexvw 3217	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑥}))
118	113, 117	bitr4di 289	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑆 × {𝑐})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {csn 4582  {cpr 4584   class class class wbr 5100   × cxp 5630  dom cdm 5632   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179   − cmin 11376  abscabs 15169  ballcbl 21308   D cdv 25832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836

This theorem is referenced by:  expgrowth  44685