Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvconstbi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvconstbi 43175
Description: The derivative of a function on 𝑆 is zero iff it is a constant function. Roughly a biconditional 𝑆 analogue of dvconst 25441 and dveq0 25524. Corresponds to integration formula "∫0 dπ‘₯ = 𝐢 " in section 4.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 278. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvconstbi.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvconstbi.y (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚)
dvconstbi.dy (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D π‘Œ) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvconstbi (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {𝑐})))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑐   π‘Œ,𝑐
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑐)
Proof of Theorem dvconstbi
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvconstbi.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚)
2 dvconstbi.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
3 elpri 4650 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
5 0re 11218 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
6 eleq2 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ β†’ (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ ℝ))
75, 6mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ β†’ 0 ∈ 𝑆)
8 0cn 11208 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
9 eleq2 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = β„‚ β†’ (0 ∈ 𝑆 ↔ 0 ∈ β„‚))
108, 9mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑆 = β„‚ β†’ 0 ∈ 𝑆)
117, 10jaoi 855 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ 0 ∈ 𝑆)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑆)
13 ffvelcdm 7083 . . . . . . 7 ((π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ 0 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚)
141, 12, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚)
1514adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ (π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚)
161ffnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ Fn 𝑆)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ π‘Œ Fn 𝑆)
18 fvex 6904 . . . . . . 7 (π‘Œβ€˜0) ∈ V
19 fnconstg 6779 . . . . . . 7 ((π‘Œβ€˜0) ∈ V β†’ (𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)}) Fn 𝑆)
2018, 19mp1i 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ (𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)}) Fn 𝑆)
2118fvconst2 7207 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)})β€˜π‘¦) = (π‘Œβ€˜0))
2221adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)})β€˜π‘¦) = (π‘Œβ€˜0))
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
242, 23sblpnf 43151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝑆) β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2512, 24mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = 𝑆)
2625eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
2726biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞))
2812, 25eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞))
292adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
30 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑆)
311adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚)
3212adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ 0 ∈ 𝑆)
33 pnfxr 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)
3625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = 𝑆)
37 dvconstbi.dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D π‘Œ) = 𝑆)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ dom (𝑆 D π‘Œ) = 𝑆)
3936, 38eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D π‘Œ))
40 eqimss 4040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) = dom (𝑆 D π‘Œ) β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) βŠ† dom (𝑆 D π‘Œ))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) βŠ† dom (𝑆 D π‘Œ))
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ 0 ∈ ℝ)
4325eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) ↔ π‘₯ ∈ 𝑆))
4443biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
45443adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
46 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) β†’ ((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯) = ((𝑆 Γ— {0})β€˜π‘₯))
47 c0ex 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ V
4847fvconst2 7207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑆 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
4946, 48sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯) = 0)
5049, 8eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5150abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5249abs00bd 15240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) = 0)
53 eqle 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) = 0) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
5451, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
55543adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
5645, 55syld3an3 1409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
57563expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)) β†’ (absβ€˜((𝑆 D π‘Œ)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
5829, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 57dvlip2 25519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ (0 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞))) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
5928, 58sylanr1 680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞))) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
60593impdi 1350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ (0(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))+∞)) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
6127, 60syl3an3 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
62613expa 1118 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
63623impdi 1350 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))))
64 recnprss 25428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
652, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6665sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
67 subcl 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0 βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
6867abscld 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
698, 68mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
7066, 69syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ))
7170imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
7271recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) ∈ β„‚)
7372mul02d 11414 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))) = 0)
74733adant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (0 Β· (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))) = 0)
7563, 74breqtrd 5174 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ 0)
76 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
7713, 76anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚))
781, 77sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚))
79783impb 1115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚))
8012, 79syl3an2 1164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚))
81803anidm12 1419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚))
82 subcl 11461 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ ((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
8483absge0d 15393 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))))
85843adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))))
8683abscld 15385 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
87 letri3 11301 . . . . . . . . . . . . 13 (((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0 ↔ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))))))
8886, 5, 87sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0 ↔ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))))))
89883adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0 ↔ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))))))
9075, 85, 89mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0)
9183abs00ad 15239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0 ↔ ((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0))
92913adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦))) = 0 ↔ ((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0))
9390, 92mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0)
94 subeq0 11488 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ (((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (π‘Œβ€˜0) = (π‘Œβ€˜π‘¦)))
9581, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (π‘Œβ€˜0) = (π‘Œβ€˜π‘¦)))
96953adant2 1131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((π‘Œβ€˜0) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘¦)) = 0 ↔ (π‘Œβ€˜0) = (π‘Œβ€˜π‘¦)))
9793, 96mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜0) = (π‘Œβ€˜π‘¦))
98973expa 1118 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜0) = (π‘Œβ€˜π‘¦))
9922, 98eqtr2d 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘¦) = ((𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)})β€˜π‘¦))
10017, 20, 99eqfnfvd 7035 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ π‘Œ = (𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)}))
101 sneq 4638 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘Œβ€˜0) β†’ {π‘₯} = {(π‘Œβ€˜0)})
102101xpeq2d 5706 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘Œβ€˜0) β†’ (𝑆 Γ— {π‘₯}) = (𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)}))
103102rspceeqv 3633 . . . . 5 (((π‘Œβ€˜0) ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑆 Γ— {(π‘Œβ€˜0)})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯}))
10415, 100, 103syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯}))
105104ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})))
106 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 D (𝑆 Γ— {π‘₯})))
1071063ad2ant3 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 D (𝑆 Γ— {π‘₯})))
108 dvsconst 43171 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {π‘₯})) = (𝑆 Γ— {0}))
1092, 108sylan 580 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {π‘₯})) = (𝑆 Γ— {0}))
1101093adant3 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})) β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {π‘₯})) = (𝑆 Γ— {0}))
111107, 110eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}))
112111rexlimdv3a 3159 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0})))
113105, 112impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})))
114 sneq 4638 . . . . 5 (𝑐 = π‘₯ β†’ {𝑐} = {π‘₯})
115114xpeq2d 5706 . . . 4 (𝑐 = π‘₯ β†’ (𝑆 Γ— {𝑐}) = (𝑆 Γ— {π‘₯}))
116115eqeq2d 2743 . . 3 (𝑐 = π‘₯ β†’ (π‘Œ = (𝑆 Γ— {𝑐}) ↔ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯})))
117116cbvrexvw 3235 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {𝑐}) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {π‘₯}))
118113, 117bitr4di 288 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 Γ— {0}) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑆 Γ— {𝑐})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  abscabs 15183  ballcbl 20937   D cdv 25387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  expgrowth  43176
  Copyright terms: Public domain W3C validator