HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcoplbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcoplbi 31858
Description: A lower bound for the norm of a continuous linear operator. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcopex.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
nmcopex.2 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
Assertion
Ref Expression
nmcoplbi (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem nmcoplbi
StepHypRef Expression
1 0le0 12351 . . . . 5 0 โ‰ค 0
21a1i 11 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ 0 โ‰ค 0)
3 fveq2 6902 . . . . . . 7 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
4 nmcopex.1 . . . . . . . 8 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
54lnop0i 31800 . . . . . . 7 (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž
63, 5eqtrdi 2784 . . . . . 6 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = 0โ„Ž)
76fveq2d 6906 . . . . 5 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
8 norm0 30958 . . . . 5 (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) = 0
97, 8eqtrdi 2784 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = 0)
10 fveq2 6902 . . . . . . 7 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
1110, 8eqtrdi 2784 . . . . . 6 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = 0)
1211oveq2d 7442 . . . . 5 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 0))
13 nmcopex.2 . . . . . . . 8 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
144, 13nmcopexi 31857 . . . . . . 7 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
1514recni 11266 . . . . . 6 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
1615mul01i 11442 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 0) = 0
1712, 16eqtrdi 2784 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = 0)
182, 9, 173brtr4d 5184 . . 3 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
1918adantl 480 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด = 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
20 normcl 30955 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2120adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
22 normne0 30960 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0โ„Ž))
2322biimpar 476 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โ‰  0)
2421, 23rereccld 12079 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
25 normgt0 30957 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด)))
2625biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด))
2721, 26recgt0d 12186 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
28 0re 11254 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
29 ltle 11340 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))))
3028, 29mpan 688 . . . . . . . 8 ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))))
3124, 27, 30sylc 65 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3224, 31absidd 15409 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) = (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3332oveq1d 7441 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
3424recnd 11280 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
35 simpl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
364lnopmuli 31802 . . . . . . . 8 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
3734, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
3837fveq2d 6906 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))))
394lnopfi 31799 . . . . . . . . 9 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
4039ffvelcdmi 7098 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
4140adantr 479 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
42 norm-iii 30970 . . . . . . 7 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
4334, 41, 42syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
4438, 43eqtrd 2768 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
45 normcl 30955 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4640, 45syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4746adantr 479 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4847recnd 11280 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4921recnd 11280 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5048, 49, 23divrec2d 12032 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
5133, 44, 503eqtr4rd 2779 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))))
52 hvmulcl 30843 . . . . . 6 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
5334, 35, 52syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
54 normcl 30955 . . . . . . 7 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„)
5553, 54syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„)
56 norm1 31079 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = 1)
57 eqle 11354 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1)
5855, 56, 57syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1)
59 nmoplb 31737 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
6039, 59mp3an1 1444 . . . . 5 ((((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
6153, 58, 60syl2anc 582 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
6251, 61eqbrtrd 5174 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
6314a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
64 ledivmul2 12131 . . . 4 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
6547, 63, 21, 26, 64syl112anc 1371 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
6662, 65mpbid 231 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
6719, 66pm2.61dane 3026 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   / cdiv 11909  abscabs 15221   โ„‹chba 30749   ยทโ„Ž csm 30751  normโ„Žcno 30753  0โ„Žc0v 30754  normopcnop 30775  ContOpccop 30776  LinOpclo 30777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hvcom 30831  ax-hvass 30832  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvmulass 30837  ax-hvdistr1 30838  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his2 30913  ax-his3 30914  ax-his4 30915
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-nmcv 30430  df-hnorm 30798  df-hba 30799  df-hvsub 30801  df-nmop 31669  df-cnop 31670  df-lnop 31671
This theorem is referenced by:  nmcoplb  31860  cnlnadjlem2  31898  cnlnadjlem7  31903
  Copyright terms: Public domain W3C validator