HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcoplbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcoplbi 31785
Description: A lower bound for the norm of a continuous linear operator. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcopex.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
nmcopex.2 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
Assertion
Ref Expression
nmcoplbi (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem nmcoplbi
StepHypRef Expression
1 0le0 12314 . . . . 5 0 โ‰ค 0
21a1i 11 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ 0 โ‰ค 0)
3 fveq2 6884 . . . . . . 7 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
4 nmcopex.1 . . . . . . . 8 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
54lnop0i 31727 . . . . . . 7 (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž
63, 5eqtrdi 2782 . . . . . 6 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) = 0โ„Ž)
76fveq2d 6888 . . . . 5 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
8 norm0 30885 . . . . 5 (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) = 0
97, 8eqtrdi 2782 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) = 0)
10 fveq2 6884 . . . . . . 7 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
1110, 8eqtrdi 2782 . . . . . 6 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) = 0)
1211oveq2d 7420 . . . . 5 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 0))
13 nmcopex.2 . . . . . . . 8 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
144, 13nmcopexi 31784 . . . . . . 7 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
1514recni 11229 . . . . . 6 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
1615mul01i 11405 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) ยท 0) = 0
1712, 16eqtrdi 2782 . . . 4 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = 0)
182, 9, 173brtr4d 5173 . . 3 (๐ด = 0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
1918adantl 481 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด = 0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
20 normcl 30882 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2120adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
22 normne0 30887 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0โ„Ž))
2322biimpar 477 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โ‰  0)
2421, 23rereccld 12042 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
25 normgt0 30884 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด)))
2625biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด))
2721, 26recgt0d 12149 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
28 0re 11217 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
29 ltle 11303 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))))
3028, 29mpan 687 . . . . . . . 8 ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))))
3124, 27, 30sylc 65 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3224, 31absidd 15372 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) = (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3332oveq1d 7419 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
3424recnd 11243 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
35 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
364lnopmuli 31729 . . . . . . . 8 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
3734, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
3837fveq2d 6888 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))))
394lnopfi 31726 . . . . . . . . 9 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
4039ffvelcdmi 7078 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
42 norm-iii 30897 . . . . . . 7 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
4334, 41, 42syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
4438, 43eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) = ((absโ€˜(1 / (normโ„Žโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
45 normcl 30882 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4640, 45syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4746adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4847recnd 11243 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4921recnd 11243 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5048, 49, 23divrec2d 11995 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด))))
5133, 44, 503eqtr4rd 2777 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))))
52 hvmulcl 30770 . . . . . 6 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
5334, 35, 52syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹)
54 normcl 30882 . . . . . . 7 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„)
5553, 54syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„)
56 norm1 31006 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = 1)
57 eqle 11317 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1)
5855, 56, 57syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1)
59 nmoplb 31664 . . . . . 6 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
6039, 59mp3an1 1444 . . . . 5 ((((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด)) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
6153, 58, 60syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยทโ„Ž ๐ด))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
6251, 61eqbrtrd 5163 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
6314a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
64 ledivmul2 12094 . . . 4 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
6547, 63, 21, 26, 64syl112anc 1371 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) / (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
6662, 65mpbid 231 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
6719, 66pm2.61dane 3023 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   / cdiv 11872  abscabs 15184   โ„‹chba 30676   ยทโ„Ž csm 30678  normโ„Žcno 30680  0โ„Žc0v 30681  normopcnop 30702  ContOpccop 30703  LinOpclo 30704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hvcom 30758  ax-hvass 30759  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvmulass 30764  ax-hvdistr1 30765  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767  ax-hfi 30836  ax-his1 30839  ax-his2 30840  ax-his3 30841  ax-his4 30842
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-grpo 30250  df-gid 30251  df-ablo 30302  df-vc 30316  df-nv 30349  df-va 30352  df-ba 30353  df-sm 30354  df-0v 30355  df-nmcv 30357  df-hnorm 30725  df-hba 30726  df-hvsub 30728  df-nmop 31596  df-cnop 31597  df-lnop 31598
This theorem is referenced by:  nmcoplb  31787  cnlnadjlem2  31825  cnlnadjlem7  31830
  Copyright terms: Public domain W3C validator