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Theorem nmcoplbi 31750
Description: A lower bound for the norm of a continuous linear operator. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcopex.1 𝑇 ∈ LinOp
nmcopex.2 𝑇 ∈ ContOp
Assertion
Ref Expression
nmcoplbi (𝐴 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))

Proof of Theorem nmcoplbi
StepHypRef Expression
1 0le0 12310 . . . . 5 0 ≤ 0
21a1i 11 . . . 4 (𝐴 = 0 → 0 ≤ 0)
3 fveq2 6881 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝑇𝐴) = (𝑇‘0))
4 nmcopex.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
54lnop0i 31692 . . . . . . 7 (𝑇‘0) = 0
63, 5eqtrdi 2780 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝑇𝐴) = 0)
76fveq2d 6885 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘0))
8 norm0 30850 . . . . 5 (norm‘0) = 0
97, 8eqtrdi 2780 . . . 4 (𝐴 = 0 → (norm‘(𝑇𝐴)) = 0)
10 fveq2 6881 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (norm𝐴) = (norm‘0))
1110, 8eqtrdi 2780 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (norm𝐴) = 0)
1211oveq2d 7417 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ((normop𝑇) · (norm𝐴)) = ((normop𝑇) · 0))
13 nmcopex.2 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ ContOp
144, 13nmcopexi 31749 . . . . . . 7 (normop𝑇) ∈ ℝ
1514recni 11225 . . . . . 6 (normop𝑇) ∈ ℂ
1615mul01i 11401 . . . . 5 ((normop𝑇) · 0) = 0
1712, 16eqtrdi 2780 . . . 4 (𝐴 = 0 → ((normop𝑇) · (norm𝐴)) = 0)
182, 9, 173brtr4d 5170 . . 3 (𝐴 = 0 → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))
1918adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))
20 normcl 30847 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ∈ ℝ)
22 normne0 30852 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
2322biimpar 477 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ≠ 0)
2421, 23rereccld 12038 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (norm𝐴)) ∈ ℝ)
25 normgt0 30849 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝐴)))
2625biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (norm𝐴))
2721, 26recgt0d 12145 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (1 / (norm𝐴)))
28 0re 11213 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
29 ltle 11299 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (norm𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (norm𝐴)) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴))))
3028, 29mpan 687 . . . . . . . 8 ((1 / (norm𝐴)) ∈ ℝ → (0 < (1 / (norm𝐴)) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴))))
3124, 27, 30sylc 65 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴)))
3224, 31absidd 15366 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(1 / (norm𝐴))) = (1 / (norm𝐴)))
3332oveq1d 7416 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm‘(𝑇𝐴))) = ((1 / (norm𝐴)) · (norm‘(𝑇𝐴))))
3424recnd 11239 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ)
35 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℋ)
364lnopmuli 31694 . . . . . . . 8 (((1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (norm𝐴)) · (𝑇𝐴)))
3734, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (norm𝐴)) · (𝑇𝐴)))
3837fveq2d 6885 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))) = (norm‘((1 / (norm𝐴)) · (𝑇𝐴))))
394lnopfi 31691 . . . . . . . . 9 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4039ffvelcdmi 7075 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
42 norm-iii 30862 . . . . . . 7 (((1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · (𝑇𝐴))) = ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm‘(𝑇𝐴))))
4334, 41, 42syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · (𝑇𝐴))) = ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm‘(𝑇𝐴))))
4438, 43eqtrd 2764 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))) = ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm‘(𝑇𝐴))))
45 normcl 30847 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐴) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
4640, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
4746adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
4847recnd 11239 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ ℂ)
4921recnd 11239 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ∈ ℂ)
5048, 49, 23divrec2d 11991 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝐴)) / (norm𝐴)) = ((1 / (norm𝐴)) · (norm‘(𝑇𝐴))))
5133, 44, 503eqtr4rd 2775 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝐴)) / (norm𝐴)) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))))
52 hvmulcl 30735 . . . . . 6 (((1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 / (norm𝐴)) · 𝐴) ∈ ℋ)
5334, 35, 52syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / (norm𝐴)) · 𝐴) ∈ ℋ)
54 normcl 30847 . . . . . . 7 (((1 / (norm𝐴)) · 𝐴) ∈ ℋ → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ∈ ℝ)
56 norm1 30971 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = 1)
57 eqle 11313 . . . . . 6 (((norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = 1) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ≤ 1)
5855, 56, 57syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ≤ 1)
59 nmoplb 31629 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / (norm𝐴)) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ≤ 1) → (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))) ≤ (normop𝑇))
6039, 59mp3an1 1444 . . . . 5 ((((1 / (norm𝐴)) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) ≤ 1) → (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))) ≤ (normop𝑇))
6153, 58, 60syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴))) ≤ (normop𝑇))
6251, 61eqbrtrd 5160 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝐴)) / (norm𝐴)) ≤ (normop𝑇))
6314a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
64 ledivmul2 12090 . . . 4 (((norm‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ ∧ ((norm𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝐴))) → (((norm‘(𝑇𝐴)) / (norm𝐴)) ≤ (normop𝑇) ↔ (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴))))
6547, 63, 21, 26, 64syl112anc 1371 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((norm‘(𝑇𝐴)) / (norm𝐴)) ≤ (normop𝑇) ↔ (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴))))
6662, 65mpbid 231 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))
6719, 66pm2.61dane 3021 1 (𝐴 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5138  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11245  cle 11246   / cdiv 11868  abscabs 15178  chba 30641   · csm 30643  normcno 30645  0c0v 30646  normopcnop 30667  ContOpccop 30668  LinOpclo 30669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-hilex 30721  ax-hfvadd 30722  ax-hvcom 30723  ax-hvass 30724  ax-hv0cl 30725  ax-hvaddid 30726  ax-hfvmul 30727  ax-hvmulid 30728  ax-hvmulass 30729  ax-hvdistr1 30730  ax-hvdistr2 30731  ax-hvmul0 30732  ax-hfi 30801  ax-his1 30804  ax-his2 30805  ax-his3 30806  ax-his4 30807
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-grpo 30215  df-gid 30216  df-ablo 30267  df-vc 30281  df-nv 30314  df-va 30317  df-ba 30318  df-sm 30319  df-0v 30320  df-nmcv 30322  df-hnorm 30690  df-hba 30691  df-hvsub 30693  df-nmop 31561  df-cnop 31562  df-lnop 31563
This theorem is referenced by:  nmcoplb  31752  cnlnadjlem2  31790  cnlnadjlem7  31795
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