Theorem leabs 15307

Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leabs	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem leabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11179	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		absid 15304	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4		eqcom 2768	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (abs‘𝐴))
5		eqle 11280	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
6	4, 5	sylan2b 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) = 𝐴) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
7	3, 6	syldan 600	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
8		recn 11158	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		absge0 15295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
11		abscl 15286	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13		0re 11178	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		letr 11272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)))
15	13, 14	mp3an2 1469	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)))
16	12, 15	mpdan 697	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)))
17	10, 16	mpan2d 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)))
18	17	imp 410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
19	1, 2, 7, 18	lecasei 11284	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6515  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   ≤ cle 11212  abscabs 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9383  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11840  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-rp 12989  df-seq 14010  df-exp 14070  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244

This theorem is referenced by:  abslt  15323  absle  15324  abssubne0  15325  releabs  15330  leabsi  15388  leabsd  15423  aalioulem3  26373  nmoub3i  30920