Theorem leabs 15376

Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leabs	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem leabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		absid 15373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4		eqcom 2773	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (abs‘𝐴))
5		eqle 11330	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
6	4, 5	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) = 𝐴) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
7	3, 6	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
8		recn 11208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		absge0 15364	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
11		abscl 15355	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12	8, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13		0re 11228	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		letr 11322	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)))
15	13, 14	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)))
16	12, 15	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)))
17	10, 16	mpan2d 707	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)))
18	17	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
19	1, 2, 7, 18	lecasei 11334	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118   ≤ cle 11262  abscabs 15311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313

This theorem is used by:  abslt  15392  absle  15393  abssubne0  15394  releabs  15399  leabsi  15457  leabsd  15492  aalioulem3  26527  nmoub3i  31155