Theorem pfxsuffeqwrdeq 14339

Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxsuffeqwrdeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))

Proof of Theorem pfxsuffeqwrdeq

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqwrd 14188	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
2	1	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
3		elfzofz 13331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4		fzosplit 13348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
6	5	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
8	7	raleqdv 3339	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
9		ralunb 4121	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
10	8, 9	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
11		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 = 𝐼)
12		3simpa 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉))
14		elfzonn0 13360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
15	14, 14	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
16	15	3ad2ant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
18		elfzo0le 13359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
19	18	3ad2ant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
21		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
23	20, 22	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))
24		pfxeq 14337	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
25	13, 17, 20, 23, 24	syl112anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
26	11, 25	mpbirand 703	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
27		lencl 14164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28	27, 14	anim12ci 613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
29	28	3adant2 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
31	27	nn0red 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
32	31	leidd 11471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
33	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
34		eqle 11007	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
35	31, 34	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
36	33, 35	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
37	36	3ad2antl1 1183	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
38		swrdspsleq 14306	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
39	13, 30, 37, 38	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
40	26, 39	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
41	10, 40	bitr4d 281	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩))))
42	41	pm5.32da 578	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))
43	2, 42	bitrd 278	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∪ cun 3881  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145   substr csubstr 14281   prefix cpfx 14311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-substr 14282  df-pfx 14312

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  14340  2swrd2eqwrdeq  14594