Theorem pfxsuffeqwrdeq 14639

Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxsuffeqwrdeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))

Proof of Theorem pfxsuffeqwrdeq

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqwrd 14498	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
3		elfzofz 13612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4		fzosplit 13629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
6	5	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
8	7	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
9		ralunb 4156	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
10	8, 9	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
11		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 = 𝐼)
12		3simpa 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉))
14		elfzonn0 13644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
15	14, 14	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
18		elfzo0le 13640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
19	18	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
21		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
23	20, 22	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))
24		pfxeq 14637	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
25	13, 17, 20, 23, 24	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
26	11, 25	mpbirand 707	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
27		lencl 14474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28	27, 14	anim12ci 614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
29	28	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
31	27	nn0red 12480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
32	31	leidd 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
33	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
34		eqle 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
35	31, 34	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
36	33, 35	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
37	36	3ad2antl1 1186	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
38		swrdspsleq 14606	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
39	13, 30, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
40	26, 39	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
41	10, 40	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩))))
42	41	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))
43	2, 42	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∪ cun 3909  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   ≤ cle 11185  ℕ₀cn0 12418  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271  Word cword 14454   substr csubstr 14581   prefix cpfx 14611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-substr 14582  df-pfx 14612

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  14640  2swrd2eqwrdeq  14895