MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxsuffeqwrdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxsuffeqwrdeq 13807
Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxsuffeqwrdeq ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))

Proof of Theorem pfxsuffeqwrdeq
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqwrd 13647 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
213adant3 1123 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
3 elfzofz 12804 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4 fzosplit 12820 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
653ad2ant3 1126 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
76adantr 474 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
87raleqdv 3339 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
9 ralunb 4016 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
108, 9syl6bb 279 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
11 eqidd 2778 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 = 𝐼)
1211biantrurd 528 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
13 3simpa 1139 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉))
1413adantr 474 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉))
15 elfzonn0 12832 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
1615, 15jca 507 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0))
17163ad2ant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0))
1817adantr 474 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0))
19 elfzo0le 12831 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
20193ad2ant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
2120adantr 474 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
22 breq2 4890 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑆) = (♯‘𝑊) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑆) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑊)))
2322eqcoms 2785 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑆) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑊)))
2423adantl 475 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑆) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑊)))
2521, 24mpbird 249 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))
26 pfxeq 13805 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
2714, 18, 21, 25, 26syl112anc 1442 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
2812, 27bitr4d 274 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼)))
29 lencl 13621 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3029, 15anim12i 606 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0))
31303adant2 1122 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0))
3231ancomd 455 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
3332adantr 474 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
3429nn0red 11703 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
3534leidd 10941 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
36353ad2ant1 1124 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
3736adantr 474 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
38343ad2ant1 1124 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
39 eqle 10478 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
4038, 39sylan 575 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
41 swrdspsleq 13769 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
4241bicomd 215 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))) → (∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))
4314, 33, 37, 40, 42syl112anc 1442 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))
4428, 43anbi12d 624 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)) ↔ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩))))
4510, 44bitrd 271 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩))))
4645pm5.32da 574 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))
472, 46bitrd 271 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  cun 3789  cop 4403   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  cr 10271  0cc0 10272  cle 10412  0cn0 11642  ...cfz 12643  ..^cfzo 12784  chash 13435  Word cword 13599   substr csubstr 13730   prefix cpfx 13779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-substr 13731  df-pfx 13780
This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  13808  2swrd2eqwrdeq  14104
  Copyright terms: Public domain W3C validator