MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxsuffeqwrdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxsuffeqwrdeq 14672
Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxsuffeqwrdeq ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))

Proof of Theorem pfxsuffeqwrdeq
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqwrd 14531 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
213adant3 1130 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
3 elfzofz 13672 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4 fzosplit 13689 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
653ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
76adantr 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
87raleqdv 3320 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
9 ralunb 4187 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
108, 9bitrdi 287 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
11 eqidd 2728 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 = 𝐼)
12 3simpa 1146 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉))
1312adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉))
14 elfzonn0 13701 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
1514, 14jca 511 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0))
16153ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0))
1716adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0))
18 elfzo0le 13700 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
19183ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
2019adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
21 breq2 5146 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
2221adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
2320, 22mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))
24 pfxeq 14670 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
2513, 17, 20, 23, 24syl112anc 1372 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
2611, 25mpbirand 706 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
27 lencl 14507 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2827, 14anim12ci 613 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
29283adant2 1129 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
3029adantr 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
3127nn0red 12555 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
3231leidd 11802 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
3332adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
34 eqle 11338 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
3531, 34sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
3633, 35jca 511 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
37363ad2antl1 1183 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
38 swrdspsleq 14639 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
3913, 30, 37, 38syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
4026, 39anbi12d 630 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
4110, 40bitr4d 282 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩))))
4241pm5.32da 578 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))
432, 42bitrd 279 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  cun 3942  cop 4630   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11129  0cc0 11130  cle 11271  0cn0 12494  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  chash 14313  Word cword 14488   substr csubstr 14614   prefix cpfx 14644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-substr 14615  df-pfx 14645
This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  14673  2swrd2eqwrdeq  14928
  Copyright terms: Public domain W3C validator