Theorem pfxsuffeqwrdeq 14605

Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxsuffeqwrdeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))

Proof of Theorem pfxsuffeqwrdeq

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqwrd 14464	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
3		elfzofz 13575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4		fzosplit 13592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
6	5	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
8	7	raleqdv 3292	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
9		ralunb 4144	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
10	8, 9	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
11		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 = 𝐼)
12		3simpa 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉))
14		elfzonn0 13607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
15	14, 14	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
18		elfzo0le 13603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
19	18	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
21		breq2 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
23	20, 22	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))
24		pfxeq 14603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
25	13, 17, 20, 23, 24	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
26	11, 25	mpbirand 707	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
27		lencl 14440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28	27, 14	anim12ci 614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
29	28	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
31	27	nn0red 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
32	31	leidd 11683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
33	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
34		eqle 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
35	31, 34	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
36	33, 35	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
37	36	3ad2antl1 1186	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
38		swrdspsleq 14573	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
39	13, 30, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
40	26, 39	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
41	10, 40	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩))))
42	41	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))
43	2, 42	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∪ cun 3895  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   ≤ cle 11147  ℕ₀cn0 12381  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420   substr csubstr 14548   prefix cpfx 14578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-substr 14549  df-pfx 14579

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  14606  2swrd2eqwrdeq  14860