HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmlnop0iALT Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmlnop0iALT 31243
Description: A linear operator with a zero norm is identically zero. (Contributed by NM, 8-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmlnop0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
nmlnop0iALT ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Proof of Theorem nmlnop0iALT
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 normcl 30373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
21recnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
32adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4 norm-i 30377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘ฅ = 0โ„Ž))
5 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
6 nmlnop0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
76lnop0i 31218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž
85, 7eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
94, 8syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž))
109necon3d 2961 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0))
1110imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
123, 11recne0d 11983 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0)
13 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)
143, 11reccld 11982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
156lnopfi 31217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
1615ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
18 hvmul0or 30273 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = 0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
1914, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = 0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
2019necon3abid 2977 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” ยฌ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
21 neanior 3035 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0 โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†” ยฌ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž))
2220, 21bitr4di 288 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0 โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)))
2312, 13, 22mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž)
24 hvmulcl 30261 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
2514, 17, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
26 normgt0 30375 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2823, 27mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
2928ex 413 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
3029adantl 482 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
31 nmopsetretHIL 31112 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„)
3215, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„
33 ressxr 11257 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ โŠ† โ„*
3432, 33sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„*
35 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
36 hvmulcl 30261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
3714, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
388necon3i 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž)
39 norm1 30497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1)
4038, 39sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1)
41 1re 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„
4240, 41eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
43 eqle 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1)
4442, 40, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1)
456lnopmuli 31220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4614, 35, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4746eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
4847fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
49 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
5049breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1))
51 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) = (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
5251fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
5352eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))))
5450, 53anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))))
5554rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5637, 44, 48, 55syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
57 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V
58 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5958anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))))
6059rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))))
6157, 60elab 3668 . . . . . . . . . . . . 13 ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
6256, 61sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))})
63 supxrub 13302 . . . . . . . . . . . 12 (({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„* โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6434, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6564adantll 712 . . . . . . . . . 10 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
66 nmopval 31104 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6715, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < )
6867eqeq1i 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
6968biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
7069ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
7165, 70breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0)
72 normcl 30373 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
7325, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
74 0re 11215 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
75 lenlt 11291 . . . . . . . . . . 11 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7673, 74, 75sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7776adantll 712 . . . . . . . . 9 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7871, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
7978ex 413 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
8030, 79pm2.65d 195 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ยฌ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)
81 nne 2944 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8280, 81sylib 217 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
83 ho0val 30998 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8483adantl 482 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8582, 84eqtr4d 2775 . . . 4 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
8685ralrimiva 3146 . . 3 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
87 ffn 6717 . . . . 5 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ๐‘‡ Fn โ„‹)
8815, 87ax-mp 5 . . . 4 ๐‘‡ Fn โ„‹
89 ho0f 30999 . . . . 5 0hop : โ„‹โŸถ โ„‹
90 ffn 6717 . . . . 5 ( 0hop : โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0hop Fn โ„‹)
9189, 90ax-mp 5 . . . 4 0hop Fn โ„‹
92 eqfnfv 7032 . . . 4 ((๐‘‡ Fn โ„‹ โˆง 0hop Fn โ„‹) โ†’ (๐‘‡ = 0hop โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ)))
9388, 91, 92mp2an 690 . . 3 (๐‘‡ = 0hop โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
9486, 93sylibr 233 . 2 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ ๐‘‡ = 0hop )
95 fveq2 6891 . . 3 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = (normopโ€˜ 0hop ))
96 nmop0 31234 . . 3 (normopโ€˜ 0hop ) = 0
9795, 96eqtrdi 2788 . 2 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = 0)
9894, 97impbii 208 1 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  โ„*cxr 11246   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   / cdiv 11870   โ„‹chba 30167   ยทโ„Ž csm 30169  normโ„Žcno 30171  0โ„Žc0v 30172   0hop ch0o 30191  normopcnop 30193  LinOpclo 30195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333  ax-hcompl 30450
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-lm 22732  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cfil 24771  df-cau 24772  df-cmet 24773  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-dip 29949  df-ssp 29970  df-ph 30061  df-cbn 30111  df-hnorm 30216  df-hba 30217  df-hvsub 30219  df-hlim 30220  df-hcau 30221  df-sh 30455  df-ch 30469  df-oc 30500  df-ch0 30501  df-shs 30556  df-pjh 30643  df-h0op 30996  df-nmop 31087  df-lnop 31089
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator