HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmlnop0iALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlnop0iALT 30986
Description: A linear operator with a zero norm is identically zero. (Contributed by NM, 8-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmlnop0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
nmlnop0iALT ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )

Proof of Theorem nmlnop0iALT
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 normcl 30116 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
21recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
32adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4 norm-i 30120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘ฅ = 0โ„Ž))
5 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
6 nmlnop0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
76lnop0i 30961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž
85, 7eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
94, 8syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž))
109necon3d 2961 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0))
1110imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
123, 11recne0d 11933 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0)
13 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)
143, 11reccld 11932 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
156lnopfi 30960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
1615ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
18 hvmul0or 30016 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = 0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
1914, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = 0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
2019necon3abid 2977 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” ยฌ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
21 neanior 3034 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0 โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†” ยฌ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž))
2220, 21bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0 โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)))
2312, 13, 22mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž)
24 hvmulcl 30004 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
2514, 17, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
26 normgt0 30118 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2823, 27mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
2928ex 414 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
3029adantl 483 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
31 nmopsetretHIL 30855 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„)
3215, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„
33 ressxr 11207 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ โŠ† โ„*
3432, 33sstri 3957 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„*
35 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
36 hvmulcl 30004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
3714, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
388necon3i 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž)
39 norm1 30240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1)
4038, 39sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1)
41 1re 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„
4240, 41eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
43 eqle 11265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1)
4442, 40, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1)
456lnopmuli 30963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4614, 35, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4746eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
4847fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
49 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
5049breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1))
51 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) = (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
5251fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
5352eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))))
5450, 53anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))))
5554rspcev 3583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5637, 44, 48, 55syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
57 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . 14 (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V
58 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5958anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))))
6059rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))))
6157, 60elab 3634 . . . . . . . . . . . . 13 ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
6256, 61sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))})
63 supxrub 13252 . . . . . . . . . . . 12 (({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„* โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6434, 62, 63sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6564adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
66 nmopval 30847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6715, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < )
6867eqeq1i 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
6968biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
7165, 70breqtrd 5135 . . . . . . . . 9 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0)
72 normcl 30116 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
7325, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
74 0re 11165 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
75 lenlt 11241 . . . . . . . . . . 11 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7673, 74, 75sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7776adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7871, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
7978ex 414 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
8030, 79pm2.65d 195 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ยฌ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)
81 nne 2944 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8280, 81sylib 217 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
83 ho0val 30741 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8483adantl 483 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8582, 84eqtr4d 2776 . . . 4 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
8685ralrimiva 3140 . . 3 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
87 ffn 6672 . . . . 5 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ๐‘‡ Fn โ„‹)
8815, 87ax-mp 5 . . . 4 ๐‘‡ Fn โ„‹
89 ho0f 30742 . . . . 5 0hop : โ„‹โŸถ โ„‹
90 ffn 6672 . . . . 5 ( 0hop : โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0hop Fn โ„‹)
9189, 90ax-mp 5 . . . 4 0hop Fn โ„‹
92 eqfnfv 6986 . . . 4 ((๐‘‡ Fn โ„‹ โˆง 0hop Fn โ„‹) โ†’ (๐‘‡ = 0hop โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ)))
9388, 91, 92mp2an 691 . . 3 (๐‘‡ = 0hop โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
9486, 93sylibr 233 . 2 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ ๐‘‡ = 0hop )
95 fveq2 6846 . . 3 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = (normopโ€˜ 0hop ))
96 nmop0 30977 . . 3 (normopโ€˜ 0hop ) = 0
9795, 96eqtrdi 2789 . 2 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = 0)
9894, 97impbii 208 1 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   Fn wfn 6495  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  โ„*cxr 11196   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820   โ„‹chba 29910   ยทโ„Ž csm 29912  normโ„Žcno 29914  0โ„Žc0v 29915   0hop ch0o 29934  normopcnop 29936  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076  ax-hcompl 30193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-lm 22603  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cfil 24642  df-cau 24643  df-cmet 24644  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ginv 29486  df-gdiv 29487  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-vs 29590  df-nmcv 29591  df-ims 29592  df-dip 29692  df-ssp 29713  df-ph 29804  df-cbn 29854  df-hnorm 29959  df-hba 29960  df-hvsub 29962  df-hlim 29963  df-hcau 29964  df-sh 30198  df-ch 30212  df-oc 30243  df-ch0 30244  df-shs 30299  df-pjh 30386  df-h0op 30739  df-nmop 30830  df-lnop 30832
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator