HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmlnop0iALT Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmlnop0iALT 31757
Description: A linear operator with a zero norm is identically zero. (Contributed by NM, 8-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmlnop0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
nmlnop0iALT ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Proof of Theorem nmlnop0iALT
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 normcl 30887 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
21recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
32adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4 norm-i 30891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘ฅ = 0โ„Ž))
5 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
6 nmlnop0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
76lnop0i 31732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž
85, 7eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
94, 8syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž))
109necon3d 2955 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0))
1110imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
123, 11recne0d 11988 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)
143, 11reccld 11987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
156lnopfi 31731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
1615ffvelcdmi 7079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
18 hvmul0or 30787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = 0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
1914, 17, 18syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = 0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
2019necon3abid 2971 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” ยฌ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
21 neanior 3029 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0 โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†” ยฌ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž))
2220, 21bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0 โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)))
2312, 13, 22mpbir2and 710 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž)
24 hvmulcl 30775 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
2514, 17, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
26 normgt0 30889 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2823, 27mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
2928ex 412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
3029adantl 481 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
31 nmopsetretHIL 31626 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„)
3215, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„
33 ressxr 11262 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ โŠ† โ„*
3432, 33sstri 3986 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„*
35 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
36 hvmulcl 30775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
3714, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
388necon3i 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž)
39 norm1 31011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1)
4038, 39sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1)
41 1re 11218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„
4240, 41eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
43 eqle 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1)
4442, 40, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1)
456lnopmuli 31734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4614, 35, 45syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4746eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
4847fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
49 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
5049breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1))
51 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) = (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
5251fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
5352eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))))
5450, 53anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))))
5554rspcev 3606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5637, 44, 48, 55syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
57 fvex 6898 . . . . . . . . . . . . . 14 (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V
58 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5958anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))))
6059rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))))
6157, 60elab 3663 . . . . . . . . . . . . 13 ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
6256, 61sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))})
63 supxrub 13309 . . . . . . . . . . . 12 (({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„* โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6434, 62, 63sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6564adantll 711 . . . . . . . . . 10 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
66 nmopval 31618 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6715, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < )
6867eqeq1i 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
6968biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
7069ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
7165, 70breqtrd 5167 . . . . . . . . 9 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0)
72 normcl 30887 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
7325, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
74 0re 11220 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
75 lenlt 11296 . . . . . . . . . . 11 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7673, 74, 75sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7776adantll 711 . . . . . . . . 9 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7871, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
7978ex 412 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
8030, 79pm2.65d 195 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ยฌ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)
81 nne 2938 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8280, 81sylib 217 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
83 ho0val 31512 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8483adantl 481 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8582, 84eqtr4d 2769 . . . 4 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
8685ralrimiva 3140 . . 3 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
87 ffn 6711 . . . . 5 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ๐‘‡ Fn โ„‹)
8815, 87ax-mp 5 . . . 4 ๐‘‡ Fn โ„‹
89 ho0f 31513 . . . . 5 0hop : โ„‹โŸถ โ„‹
90 ffn 6711 . . . . 5 ( 0hop : โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0hop Fn โ„‹)
9189, 90ax-mp 5 . . . 4 0hop Fn โ„‹
92 eqfnfv 7026 . . . 4 ((๐‘‡ Fn โ„‹ โˆง 0hop Fn โ„‹) โ†’ (๐‘‡ = 0hop โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ)))
9388, 91, 92mp2an 689 . . 3 (๐‘‡ = 0hop โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
9486, 93sylibr 233 . 2 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ ๐‘‡ = 0hop )
95 fveq2 6885 . . 3 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = (normopโ€˜ 0hop ))
96 nmop0 31748 . . 3 (normopโ€˜ 0hop ) = 0
9795, 96eqtrdi 2782 . 2 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = 0)
9894, 97impbii 208 1 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2703   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   โŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   Fn wfn 6532  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875   โ„‹chba 30681   ยทโ„Ž csm 30683  normโ„Žcno 30685  0โ„Žc0v 30686   0hop ch0o 30705  normopcnop 30707  LinOpclo 30709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-pjh 31157  df-h0op 31510  df-nmop 31601  df-lnop 31603
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator