HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmlnop0iALT Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmlnop0iALT 31847
Description: A linear operator with a zero norm is identically zero. (Contributed by NM, 8-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmlnop0.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
nmlnop0iALT ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Proof of Theorem nmlnop0iALT
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 normcl 30977 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
21recnd 11270 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
32adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4 norm-i 30981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘ฅ = 0โ„Ž))
5 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜0โ„Ž))
6 nmlnop0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
76lnop0i 31822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡โ€˜0โ„Ž) = 0โ„Ž
85, 7eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = 0โ„Ž โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
94, 8biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž))
109necon3d 2951 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0))
1110imp 405 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
123, 11recne0d 12012 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0)
13 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)
143, 11reccld 12011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
156lnopfi 31821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
1615ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
18 hvmul0or 30877 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = 0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
1914, 17, 18syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = 0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
2019necon3abid 2967 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” ยฌ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)))
21 neanior 3025 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0 โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†” ยฌ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = 0 โˆจ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž))
2220, 21bitr4di 288 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0 โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)))
2312, 13, 22mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž)
24 hvmulcl 30865 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
2514, 17, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
26 normgt0 30979 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰  0โ„Ž โ†” 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
2823, 27mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
2928ex 411 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
3029adantl 480 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
31 nmopsetretHIL 31716 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„)
3215, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„
33 ressxr 11286 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ โŠ† โ„*
3432, 33sstri 3982 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„*
35 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
36 hvmulcl 30865 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
3714, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
388necon3i 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž)
39 norm1 31101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1)
4038, 39sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1)
41 1re 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„
4240, 41eqeltrdi 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
43 eqle 11344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1)
4442, 40, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1)
456lnopmuli 31824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4614, 35, 45syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4746eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
4847fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
49 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
5049breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1))
51 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) = (๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))
5251fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))
5352eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)))))
5450, 53anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))))
5554rspcev 3602 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ)) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž ๐‘ฅ))))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5637, 44, 48, 55syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
57 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V
58 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)) โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
5958anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))))
6059rexbidv 3169 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))))
6157, 60elab 3660 . . . . . . . . . . . . 13 ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
6256, 61sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))})
63 supxrub 13333 . . . . . . . . . . . 12 (({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))} โŠ† โ„* โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ {๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6434, 62, 63sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6564adantll 712 . . . . . . . . . 10 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
66 nmopval 31708 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ))
6715, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (normopโ€˜๐‘‡) = sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < )
6867eqeq1i 2730 . . . . . . . . . . . 12 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
6968biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
7069ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ sup({๐‘ฆ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰ค 1 โˆง ๐‘ฆ = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))}, โ„*, < ) = 0)
7165, 70breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0)
72 normcl 30977 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
7325, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
74 0re 11244 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
75 lenlt 11320 . . . . . . . . . . 11 (((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7673, 74, 75sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7776adantll 712 . . . . . . . . 9 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7871, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž) โ†’ ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
7978ex 411 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†’ ยฌ 0 < (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
8030, 79pm2.65d 195 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ยฌ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž)
81 nne 2934 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0โ„Ž โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8280, 81sylib 217 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
83 ho0val 31602 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8483adantl 480 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
8582, 84eqtr4d 2768 . . . 4 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
8685ralrimiva 3136 . . 3 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
87 ffn 6716 . . . . 5 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ๐‘‡ Fn โ„‹)
8815, 87ax-mp 5 . . . 4 ๐‘‡ Fn โ„‹
89 ho0f 31603 . . . . 5 0hop : โ„‹โŸถ โ„‹
90 ffn 6716 . . . . 5 ( 0hop : โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0hop Fn โ„‹)
9189, 90ax-mp 5 . . . 4 0hop Fn โ„‹
92 eqfnfv 7034 . . . 4 ((๐‘‡ Fn โ„‹ โˆง 0hop Fn โ„‹) โ†’ (๐‘‡ = 0hop โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ)))
9388, 91, 92mp2an 690 . . 3 (๐‘‡ = 0hop โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
9486, 93sylibr 233 . 2 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ ๐‘‡ = 0hop )
95 fveq2 6891 . . 3 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = (normopโ€˜ 0hop ))
96 nmop0 31838 . . 3 (normopโ€˜ 0hop ) = 0
9795, 96eqtrdi 2781 . 2 (๐‘‡ = 0hop โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) = 0)
9894, 97impbii 208 1 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†” ๐‘‡ = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2702   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060   โŠ† wss 3940   class class class wbr 5143   Fn wfn 6537  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  supcsup 9461  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137  โ„*cxr 11275   < clt 11276   โ‰ค cle 11277   / cdiv 11899   โ„‹chba 30771   ยทโ„Ž csm 30773  normโ„Žcno 30775  0โ„Žc0v 30776   0hop ch0o 30795  normopcnop 30797  LinOpclo 30799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216  ax-hilex 30851  ax-hfvadd 30852  ax-hvcom 30853  ax-hvass 30854  ax-hv0cl 30855  ax-hvaddid 30856  ax-hfvmul 30857  ax-hvmulid 30858  ax-hvmulass 30859  ax-hvdistr1 30860  ax-hvdistr2 30861  ax-hvmul0 30862  ax-hfi 30931  ax-his1 30934  ax-his2 30935  ax-his3 30936  ax-his4 30937  ax-hcompl 31054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-lm 23149  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cfil 25199  df-cau 25200  df-cmet 25201  df-grpo 30345  df-gid 30346  df-ginv 30347  df-gdiv 30348  df-ablo 30397  df-vc 30411  df-nv 30444  df-va 30447  df-ba 30448  df-sm 30449  df-0v 30450  df-vs 30451  df-nmcv 30452  df-ims 30453  df-dip 30553  df-ssp 30574  df-ph 30665  df-cbn 30715  df-hnorm 30820  df-hba 30821  df-hvsub 30823  df-hlim 30824  df-hcau 30825  df-sh 31059  df-ch 31073  df-oc 31104  df-ch0 31105  df-shs 31160  df-pjh 31247  df-h0op 31600  df-nmop 31691  df-lnop 31693
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator