Theorem f1o2d 7612

Description: Describe an implicit one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1od.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
f1o2d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
f1o2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝐴)
f1o2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 = 𝐷 ↔ 𝑦 = 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
f1o2d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem f1o2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1od.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
2		f1o2d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		f1o2d.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝐴)
4		f1o2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 = 𝐷 ↔ 𝑦 = 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	f1ocnv2d 7611	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623  –1-1-onto→wf1o 6491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499

This theorem is referenced by:  f1opw2  7613  en3d  8926  f1opwfi  9256  mapfien  9311  djulf1o  9824  djurf1o  9825  fin23lem22  10237  negf1o  11567  incexclem  15759  dvdsflip  16244  hashgcdlem  16715  grplmulf1o  18943  grpraddf1o  18944  conjghm  19178  gapm  19235  sylow2a  19548  lsmhash  19634  psrbagconf1o  21885  psdmul  22109  hmeoimaf1o  23714  itg1mulc  25661  resinf1o  26501  eff1olem  26513  sqff1o  27148  dvdsppwf1o  27152  dvdsflf1o  27153  fcobij  32799  mgcf1o  33085  subfacp1lem3  35376  subfacp1lem5  35378  f1o2d2  42485  frlmsnic  42791  isubgr3stgrlem8  48215