Theorem f1o2d 7600

Description: Describe an implicit one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1od.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
f1o2d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
f1o2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝐴)
f1o2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 = 𝐷 ↔ 𝑦 = 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
f1o2d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem f1o2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1od.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
2		f1o2d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		f1o2d.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝐴)
4		f1o2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 = 𝐷 ↔ 𝑦 = 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	f1ocnv2d 7599	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615  –1-1-onto→wf1o 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488

This theorem is referenced by:  f1opw2  7601  en3d  8911  f1opwfi  9240  mapfien  9292  djulf1o  9802  djurf1o  9803  fin23lem22  10215  negf1o  11544  incexclem  15740  dvdsflip  16225  hashgcdlem  16696  grplmulf1o  18923  grpraddf1o  18924  conjghm  19159  gapm  19216  sylow2a  19529  lsmhash  19615  psrbagconf1o  21864  psdmul  22079  hmeoimaf1o  23683  itg1mulc  25630  resinf1o  26470  eff1olem  26482  sqff1o  27117  dvdsppwf1o  27121  dvdsflf1o  27122  fcobij  32698  mgcf1o  32979  subfacp1lem3  35214  subfacp1lem5  35216  f1o2d2  42265  frlmsnic  42572  isubgr3stgrlem8  48003