MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1o2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1o2d 7688
Description: Describe an implicit one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
f1od.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
f1o2d.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
f1o2d.3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐷𝐴)
f1o2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥 = 𝐷𝑦 = 𝐶))
Assertion
Ref Expression
f1o2d (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem f1o2d
StepHypRef Expression
1 f1od.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
2 f1o2d.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
3 f1o2d.3 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐷𝐴)
4 f1o2d.4 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥 = 𝐷𝑦 = 𝐶))
51, 2, 3, 4f1ocnv2d 7687 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 = (𝑦𝐵𝐷)))
65simpld 494 1 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cmpt 5224  ccnv 5683  1-1-ontowf1o 6559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567
This theorem is referenced by:  f1opw2  7689  en3d  9030  f1opwfi  9397  mapfien  9449  djulf1o  9953  djurf1o  9954  fin23lem22  10368  negf1o  11694  incexclem  15873  dvdsflip  16355  hashgcdlem  16826  grplmulf1o  19032  grpraddf1o  19033  conjghm  19268  gapm  19325  sylow2a  19638  lsmhash  19724  psrbagconf1o  21950  psdmul  22171  hmeoimaf1o  23779  itg1mulc  25740  resinf1o  26579  eff1olem  26591  sqff1o  27226  dvdsppwf1o  27230  dvdsflf1o  27231  fcobij  32734  mgcf1o  32994  subfacp1lem3  35188  subfacp1lem5  35190  metakunt15  42221  metakunt16  42222  f1o2d2  42274  frlmsnic  42555  isubgr3stgrlem8  47945
  Copyright terms: Public domain W3C validator