Theorem negf1o 11579

Description: Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
negf1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑥)

Assertion

Ref	Expression
negf1o	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})

Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem negf1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negf1o.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑥)
2		negeq 11384	. . . 4 ⊢ (𝑛 = -𝑥 → -𝑛 = --𝑥)
3	2	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝑛 = -𝑥 → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
4		ssel 3929	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ))
5		renegcl 11456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
6	4, 5	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ ℝ))
7	6	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑥 ∈ ℝ)
8	4	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		recn 11128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10		negneg 11443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → --𝑥 = 𝑥)
11	10	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = --𝑥)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
13	12	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
14	13	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 ∈ 𝐴))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 ∈ 𝐴))
16	8, 15	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → --𝑥 ∈ 𝐴)
17	3, 7, 16	elrabd 3650	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})
18		negeq 11384	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → -𝑛 = -𝑦)
19	18	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ -𝑦 ∈ 𝐴))
20	19	elrab 3648	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴))
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ 𝐴)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ 𝐴))
23	20, 22	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} → -𝑦 ∈ 𝐴))
24	23	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴}) → -𝑦 ∈ 𝐴)
25	4, 9	syl6com 37	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
27	26	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
28		recn 11128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
29	28	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		negcon2 11446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
31	27, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
32	31	exp31 419	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))))
33	20, 32	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))))
34	33	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴}) → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥)))
35	34	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
36	1, 17, 24, 35	f1o2d 7622	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5181  –1-1-onto→wf1o 6499  ℂcc 11036  ℝcr 11037  -cneg 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  negfi  12103