MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negf1o 10805
Description: Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
negf1o.1 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negf1o (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem negf1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negf1o.1 . 2 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
2 negeq 10614 . . . 4 (𝑛 = -𝑥 → -𝑛 = --𝑥)
32eleq1d 2843 . . 3 (𝑛 = -𝑥 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
4 ssel 3814 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
5 renegcl 10686 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
64, 5syl6 35 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ ℝ))
76imp 397 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ ℝ)
84imp 397 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 recn 10362 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 negneg 10673 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → --𝑥 = 𝑥)
1110eqcomd 2783 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = --𝑥)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
1312eleq1d 2843 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1413biimpcd 241 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
1514adantl 475 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
168, 15mpd 15 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → --𝑥𝐴)
173, 7, 16elrabd 3574 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
18 negeq 10614 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦 → -𝑛 = -𝑦)
1918eleq1d 2843 . . . . 5 (𝑛 = 𝑦 → (-𝑛𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
2019elrab 3571 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴))
21 simpr 479 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴)
2221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴))
2320, 22syl5bi 234 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → -𝑦𝐴))
2423imp 397 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → -𝑦𝐴)
254, 9syl6com 37 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2625adantl 475 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2726imp 397 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
28 recn 10362 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
2928ad3antrrr 720 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 negcon2 10676 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3127, 29, 30syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3231exp31 412 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3320, 32sylbi 209 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3433impcom 398 . . 3 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥)))
3534impcom 398 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
361, 17, 24, 35f1o2d 7164 1 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  {crab 3093  wss 3791  cmpt 4965  1-1-ontowf1o 6134  cc 10270  cr 10271  -cneg 10607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-neg 10609
This theorem is referenced by:  negfi  11325
  Copyright terms: Public domain W3C validator