Theorem negf1o 11643

Description: Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
negf1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑥)

Assertion

Ref	Expression
negf1o	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})

Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem negf1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negf1o.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑥)
2		negeq 11448	. . . 4 ⊢ (𝑛 = -𝑥 → -𝑛 = --𝑥)
3	2	eleq1d 2854	. . 3 ⊢ (𝑛 = -𝑥 → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
4		ssel 3939	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ))
5		renegcl 11520	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
6	4, 5	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ ℝ))
7	6	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑥 ∈ ℝ)
8	4	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		recn 11189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10		negneg 11507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → --𝑥 = 𝑥)
11	10	eqcomd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = --𝑥)
12	9, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
13	12	eleq1d 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
14	13	biimpcd 252	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 ∈ 𝐴))
15	14	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 ∈ 𝐴))
16	8, 15	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → --𝑥 ∈ 𝐴)
17	3, 7, 16	elrabd 3661	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})
18		negeq 11448	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → -𝑛 = -𝑦)
19	18	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ -𝑦 ∈ 𝐴))
20	19	elrab 3659	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴))
21		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ 𝐴)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ 𝐴))
23	20, 22	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} → -𝑦 ∈ 𝐴))
24	23	imp 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴}) → -𝑦 ∈ 𝐴)
25	4, 9	syl6com 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
26	25	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
27	26	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
28		recn 11189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
29	28	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		negcon2 11510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
31	27, 29, 30	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
32	31	exp31 424	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))))
33	20, 32	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))))
34	33	impcom 412	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴}) → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥)))
35	34	impcom 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
36	1, 17, 24, 35	f1o2d 7665	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ⊆ wss 3913   ↦ cmpt 5196  –1-1-onto→wf1o 6536  ℂcc 11097  ℝcr 11098  -cneg 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  negfi  12163