MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negf1o 11676
Description: Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
negf1o.1 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negf1o (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem negf1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negf1o.1 . 2 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
2 negeq 11484 . . . 4 (𝑛 = -𝑥 → -𝑛 = --𝑥)
32eleq1d 2810 . . 3 (𝑛 = -𝑥 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
4 ssel 3970 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
5 renegcl 11555 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
64, 5syl6 35 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ ℝ))
76imp 405 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ ℝ)
84imp 405 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 recn 11230 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 negneg 11542 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → --𝑥 = 𝑥)
1110eqcomd 2731 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = --𝑥)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
1312eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1413biimpcd 248 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
1514adantl 480 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
168, 15mpd 15 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → --𝑥𝐴)
173, 7, 16elrabd 3681 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
18 negeq 11484 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦 → -𝑛 = -𝑦)
1918eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑛 = 𝑦 → (-𝑛𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
2019elrab 3679 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴))
21 simpr 483 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴)
2221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴))
2320, 22biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → -𝑦𝐴))
2423imp 405 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → -𝑦𝐴)
254, 9syl6com 37 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2625adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2726imp 405 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
28 recn 11230 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
2928ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 negcon2 11545 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3127, 29, 30syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3231exp31 418 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3320, 32sylbi 216 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3433impcom 406 . . 3 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥)))
3534impcom 406 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
361, 17, 24, 35f1o2d 7675 1 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  wss 3944  cmpt 5232  1-1-ontowf1o 6548  cc 11138  cr 11139  -cneg 11477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285  df-sub 11478  df-neg 11479
This theorem is referenced by:  negfi  12196
  Copyright terms: Public domain W3C validator