MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negf1o 11691
Description: Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
negf1o.1 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negf1o (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem negf1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negf1o.1 . 2 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
2 negeq 11498 . . . 4 (𝑛 = -𝑥 → -𝑛 = --𝑥)
32eleq1d 2824 . . 3 (𝑛 = -𝑥 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
4 ssel 3989 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
5 renegcl 11570 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
64, 5syl6 35 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ ℝ))
76imp 406 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ ℝ)
84imp 406 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 recn 11243 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 negneg 11557 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → --𝑥 = 𝑥)
1110eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = --𝑥)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
1312eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1413biimpcd 249 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
1514adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
168, 15mpd 15 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → --𝑥𝐴)
173, 7, 16elrabd 3697 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
18 negeq 11498 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦 → -𝑛 = -𝑦)
1918eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑛 = 𝑦 → (-𝑛𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
2019elrab 3695 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴))
21 simpr 484 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴)
2221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴))
2320, 22biimtrid 242 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → -𝑦𝐴))
2423imp 406 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → -𝑦𝐴)
254, 9syl6com 37 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2625adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2726imp 406 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
28 recn 11243 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
2928ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 negcon2 11560 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3127, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3231exp31 419 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3320, 32sylbi 217 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3433impcom 407 . . 3 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥)))
3534impcom 407 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
361, 17, 24, 35f1o2d 7687 1 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  wss 3963  cmpt 5231  1-1-ontowf1o 6562  cc 11151  cr 11152  -cneg 11491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by:  negfi  12215
  Copyright terms: Public domain W3C validator