Theorem negf1o 11571

Description: Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
negf1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑥)

Assertion

Ref	Expression
negf1o	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})

Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem negf1o

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negf1o.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑥)
2		negeq 11376	. . . 4 ⊢ (𝑛 = -𝑥 → -𝑛 = --𝑥)
3	2	eleq1d 2824	. . 3 ⊢ (𝑛 = -𝑥 → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
4		ssel 3909	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℝ))
5		renegcl 11448	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
6	4, 5	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ ℝ))
7	6	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑥 ∈ ℝ)
8	4	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		recn 11119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10		negneg 11435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → --𝑥 = 𝑥)
11	10	eqcomd 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = --𝑥)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
13	12	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ --𝑥 ∈ 𝐴))
14	13	biimpcd 250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 ∈ 𝐴))
15	14	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 ∈ 𝐴))
16	8, 15	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → --𝑥 ∈ 𝐴)
17	3, 7, 16	elrabd 3631	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})
18		negeq 11376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → -𝑛 = -𝑦)
19	18	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (-𝑛 ∈ 𝐴 ↔ -𝑦 ∈ 𝐴))
20	19	elrab 3629	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴))
21		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ 𝐴)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ 𝐴))
23	20, 22	biimtrid 243	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} → -𝑦 ∈ 𝐴))
24	23	imp 407	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴}) → -𝑦 ∈ 𝐴)
25	4, 9	syl6com 37	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
26	25	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
27	26	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
28		recn 11119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
29	28	ad3antrrr 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		negcon2 11438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
31	27, 29, 30	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
32	31	exp31 420	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))))
33	20, 32	sylbi 218	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴} → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))))
34	33	impcom 408	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴}) → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥)))
35	34	impcom 408	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
36	1, 17, 24, 35	f1o2d 7610	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛 ∈ 𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153  –1-1-onto→wf1o 6484  ℂcc 11027  ℝcr 11028  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  negfi  12096