Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt16 40390
Description: Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt16.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt16.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt16.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt16.4 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
metakunt16 (𝜑𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀𝐼)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem metakunt16
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metakunt16.4 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
2 metakunt16.2 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
32nnzd 12518 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
43adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
5 metakunt16.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
65nnzd 12518 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 1zzd 12444 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
97, 8zsubcld 12524 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
108, 4zsubcld 12524 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
11 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
12 elfz3 13359 . . . 4 ((1 − 𝐼) ∈ ℤ → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
144zcnd 12520 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℂ)
15 1cnd 11063 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
1614, 15pncan3d 11428 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
1716eqcomd 2742 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 = (𝐼 + (1 − 𝐼)))
185nncnd 12082 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1918adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℂ)
2019, 15, 14npncand 11449 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀𝐼))
2120eqcomd 2742 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀𝐼) = ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
224, 9, 10, 10, 11, 13, 17, 21fzadd2d 40233 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ (1...(𝑀𝐼)))
233adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℤ)
246adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑀 ∈ ℤ)
25 1zzd 12444 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ∈ ℤ)
2624, 25zsubcld 12524 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
27 elfznn 13378 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)) → 𝑦 ∈ ℕ)
2827adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ∈ ℕ)
29 nnz 12435 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
3028, 29syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ∈ ℤ)
3125, 23zsubcld 12524 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
3230, 31zsubcld 12524 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
3323zred 12519 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℝ)
3433recnd 11096 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
35 1cnd 11063 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ∈ ℂ)
3634, 35pncan3d 11428 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
3727nnge1d 12114 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)) → 1 ≤ 𝑦)
3837adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ≤ 𝑦)
3936, 38eqbrtrd 5111 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦)
40 1red 11069 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ∈ ℝ)
4140, 33resubcld 11496 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
4228nnred 12081 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4333, 41, 423jca 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
44 leaddsub 11544 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
4543, 44syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
4639, 45mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼)))
47 elfzle2 13353 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)) → 𝑦 ≤ (𝑀𝐼))
4847adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ≤ (𝑀𝐼))
4918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑀 ∈ ℂ)
5023zcnd 12520 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
5149, 35, 50npncand 11449 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀𝐼))
5248, 51breqtrrd 5117 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
5331zred 12519 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
5426zred 12519 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5542, 53, 54lesubaddd 11665 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → ((𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼))))
5652, 55mpbird 256 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1))
5723, 26, 32, 46, 56elfzd 13340 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
58 1cnd 11063 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 1 ∈ ℂ)
5934adantrl 713 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
6058, 59subcld 11425 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (1 − 𝐼) ∈ ℂ)
61 elfzelz 13349 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
6261ad2antrl 725 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
63 zcn 12417 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6528adantrl 713 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℕ)
66 nncn 12074 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6765, 66syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
6860, 64, 67addrsub 11485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼))))
6968bicomd 222 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ ((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
7060, 64addcomd 11270 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → ((1 − 𝐼) + 𝑥) = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
7170eqeq1d 2738 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦))
72 eqcom 2743 . . . . 5 ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
7372a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
7471, 73bitrd 278 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
7569, 74bitrd 278 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
761, 22, 57, 75f1o2d 7577 1 (𝜑𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5089  cmpt 5172  1-1-ontowf1o 6472  (class class class)co 7329  cc 10962  cr 10963  1c1 10965   + caddc 10967  cle 11103  cmin 11298  cn 12066  cz 12412  ...cfz 13332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333
This theorem is referenced by:  metakunt25  40399
  Copyright terms: Public domain W3C validator