Theorem metakunt16 40068

Description: Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt16.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt16.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt16.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt16.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt16	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀 − 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem metakunt16

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt16.4	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
2		metakunt16.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12354	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
5		metakunt16.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		1zzd 12281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
9	7, 8	zsubcld 12360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 4	zsubcld 12360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
11		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
12		elfz3 13195	. . . 4 ⊢ ((1 − 𝐼) ∈ ℤ → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
14	4	zcnd 12356	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℂ)
15		1cnd 10901	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	pncan3d 11265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
17	16	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 = (𝐼 + (1 − 𝐼)))
18	5	nncnd 11919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℂ)
20	19, 15, 14	npncand 11286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀 − 𝐼))
21	20	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) = ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
22	4, 9, 10, 10, 11, 13, 17, 21	fzadd2d 39914	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))
23	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℤ)
24	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑀 ∈ ℤ)
25		1zzd 12281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ∈ ℤ)
26	24, 25	zsubcld 12360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
27		elfznn 13214	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)) → 𝑦 ∈ ℕ)
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ∈ ℕ)
29		nnz 12272	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ∈ ℤ)
31	25, 23	zsubcld 12360	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
32	30, 31	zsubcld 12360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
33	23	zred 12355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℝ)
34	33	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
35		1cnd 10901	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	pncan3d 11265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
37	27	nnge1d 11951	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)) → 1 ≤ 𝑦)
38	37	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ≤ 𝑦)
39	36, 38	eqbrtrd 5092	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦)
40		1red 10907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ∈ ℝ)
41	40, 33	resubcld 11333	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
42	28	nnred 11918	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ∈ ℝ)
43	33, 41, 42	3jca 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
44		leaddsub 11381	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦 ↔ 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦 ↔ 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
46	39, 45	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼)))
47		elfzle2 13189	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 𝐼))
48	47	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 𝐼))
49	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑀 ∈ ℂ)
50	23	zcnd 12356	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
51	49, 35, 50	npncand 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀 − 𝐼))
52	48, 51	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
53	31	zred 12355	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
54	26	zred 12355	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
55	42, 53, 54	lesubaddd 11502	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → ((𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼))))
56	52, 55	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1))
57	23, 26, 32, 46, 56	elfzd 13176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
58		1cnd 10901	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 1 ∈ ℂ)
59	34	adantrl 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
60	58, 59	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (1 − 𝐼) ∈ ℂ)
61		elfzelz 13185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
62	61	ad2antrl 724	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
63		zcn 12254	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
64	62, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
65	28	adantrl 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℕ)
66		nncn 11911	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
67	65, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
68	60, 64, 67	addrsub 11322	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼))))
69	68	bicomd 222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ ((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
70	60, 64	addcomd 11107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → ((1 − 𝐼) + 𝑥) = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
71	70	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦))
72		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
74	71, 73	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
75	69, 74	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
76	1, 22, 57, 75	f1o2d 7501	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀 − 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  –1-1-onto→wf1o 6417  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  metakunt25  40077