Theorem metakunt16 40988

Description: Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt16.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt16.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt16.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt16.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt16	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀 − 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem metakunt16

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt16.4	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
2		metakunt16.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
5		metakunt16.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		1zzd 12589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
9	7, 8	zsubcld 12667	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 4	zsubcld 12667	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
11		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
12		elfz3 13507	. . . 4 ⊢ ((1 − 𝐼) ∈ ℤ → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
14	4	zcnd 12663	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℂ)
15		1cnd 11205	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	pncan3d 11570	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
17	16	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 = (𝐼 + (1 − 𝐼)))
18	5	nncnd 12224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
19	18	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℂ)
20	19, 15, 14	npncand 11591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀 − 𝐼))
21	20	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) = ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
22	4, 9, 10, 10, 11, 13, 17, 21	fzadd2d 40831	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))
23	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℤ)
24	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑀 ∈ ℤ)
25		1zzd 12589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ∈ ℤ)
26	24, 25	zsubcld 12667	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
27		elfznn 13526	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)) → 𝑦 ∈ ℕ)
28	27	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ∈ ℕ)
29		nnz 12575	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ∈ ℤ)
31	25, 23	zsubcld 12667	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
32	30, 31	zsubcld 12667	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
33	23	zred 12662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℝ)
34	33	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
35		1cnd 11205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	pncan3d 11570	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
37	27	nnge1d 12256	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)) → 1 ≤ 𝑦)
38	37	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ≤ 𝑦)
39	36, 38	eqbrtrd 5169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦)
40		1red 11211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ∈ ℝ)
41	40, 33	resubcld 11638	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
42	28	nnred 12223	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ∈ ℝ)
43	33, 41, 42	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
44		leaddsub 11686	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦 ↔ 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦 ↔ 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
46	39, 45	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼)))
47		elfzle2 13501	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 𝐼))
48	47	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 𝐼))
49	18	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑀 ∈ ℂ)
50	23	zcnd 12663	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
51	49, 35, 50	npncand 11591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀 − 𝐼))
52	48, 51	breqtrrd 5175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
53	31	zred 12662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
54	26	zred 12662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
55	42, 53, 54	lesubaddd 11807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → ((𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼))))
56	52, 55	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1))
57	23, 26, 32, 46, 56	elfzd 13488	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
58		1cnd 11205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 1 ∈ ℂ)
59	34	adantrl 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
60	58, 59	subcld 11567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (1 − 𝐼) ∈ ℂ)
61		elfzelz 13497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
62	61	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
63		zcn 12559	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
64	62, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
65	28	adantrl 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℕ)
66		nncn 12216	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
67	65, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
68	60, 64, 67	addrsub 11627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼))))
69	68	bicomd 222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ ((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
70	60, 64	addcomd 11412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → ((1 − 𝐼) + 𝑥) = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
71	70	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦))
72		eqcom 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
74	71, 73	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
75	69, 74	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
76	1, 22, 57, 75	f1o2d 7656	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀 − 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  –1-1-onto→wf1o 6539  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481

This theorem is referenced by:  metakunt25  40997