Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt16 42221
Description: Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt16.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt16.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt16.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt16.4 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
metakunt16 (𝜑𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀𝐼)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem metakunt16
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metakunt16.4 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
2 metakunt16.2 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
32nnzd 12640 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
43adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
5 metakunt16.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
65nnzd 12640 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 1zzd 12648 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
97, 8zsubcld 12727 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
108, 4zsubcld 12727 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
11 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
12 elfz3 13574 . . . 4 ((1 − 𝐼) ∈ ℤ → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
144zcnd 12723 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℂ)
15 1cnd 11256 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
1614, 15pncan3d 11623 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
1716eqcomd 2743 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 = (𝐼 + (1 − 𝐼)))
185nncnd 12282 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1918adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℂ)
2019, 15, 14npncand 11644 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀𝐼))
2120eqcomd 2743 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀𝐼) = ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
224, 9, 10, 10, 11, 13, 17, 21fzadd2d 41979 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ (1...(𝑀𝐼)))
233adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℤ)
246adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑀 ∈ ℤ)
25 1zzd 12648 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ∈ ℤ)
2624, 25zsubcld 12727 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
27 elfznn 13593 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)) → 𝑦 ∈ ℕ)
2827adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ∈ ℕ)
29 nnz 12634 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
3028, 29syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ∈ ℤ)
3125, 23zsubcld 12727 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
3230, 31zsubcld 12727 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
3323zred 12722 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℝ)
3433recnd 11289 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
35 1cnd 11256 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ∈ ℂ)
3634, 35pncan3d 11623 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
3727nnge1d 12314 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)) → 1 ≤ 𝑦)
3837adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ≤ 𝑦)
3936, 38eqbrtrd 5165 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦)
40 1red 11262 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ∈ ℝ)
4140, 33resubcld 11691 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
4228nnred 12281 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4333, 41, 423jca 1129 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
44 leaddsub 11739 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
4543, 44syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
4639, 45mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼)))
47 elfzle2 13568 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)) → 𝑦 ≤ (𝑀𝐼))
4847adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ≤ (𝑀𝐼))
4918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑀 ∈ ℂ)
5023zcnd 12723 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
5149, 35, 50npncand 11644 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀𝐼))
5248, 51breqtrrd 5171 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
5331zred 12722 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
5426zred 12722 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5542, 53, 54lesubaddd 11860 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → ((𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼))))
5652, 55mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1))
5723, 26, 32, 46, 56elfzd 13555 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
58 1cnd 11256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 1 ∈ ℂ)
5934adantrl 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
6058, 59subcld 11620 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (1 − 𝐼) ∈ ℂ)
61 elfzelz 13564 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
6261ad2antrl 728 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
63 zcn 12618 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6528adantrl 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℕ)
66 nncn 12274 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6765, 66syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
6860, 64, 67addrsub 11680 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼))))
6968bicomd 223 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ ((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
7060, 64addcomd 11463 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → ((1 − 𝐼) + 𝑥) = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
7170eqeq1d 2739 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦))
72 eqcom 2744 . . . . 5 ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
7372a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
7471, 73bitrd 279 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
7569, 74bitrd 279 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
761, 22, 57, 75f1o2d 7687 1 (𝜑𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cmpt 5225  1-1-ontowf1o 6560  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  cz 12613  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by:  metakunt25  42230
  Copyright terms: Public domain W3C validator