Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt16 39356
 Description: Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt16.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt16.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt16.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt16.4 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
metakunt16 (𝜑𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀𝐼)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem metakunt16
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metakunt16.4 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
2 metakunt16.2 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
32nnzd 12078 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
43adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
5 metakunt16.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
65nnzd 12078 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 1zzd 12005 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
97, 8zsubcld 12084 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
108, 4zsubcld 12084 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
11 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
12 elfz3 12916 . . . 4 ((1 − 𝐼) ∈ ℤ → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
144zcnd 12080 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℂ)
15 1cnd 10629 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
1614, 15pncan3d 10993 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
1716eqcomd 2807 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 = (𝐼 + (1 − 𝐼)))
185nncnd 11645 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1918adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℂ)
2019, 15, 14npncand 11014 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀𝐼))
2120eqcomd 2807 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀𝐼) = ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
224, 9, 10, 10, 11, 13, 17, 21fzadd2d 39258 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ (1...(𝑀𝐼)))
233adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℤ)
246adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑀 ∈ ℤ)
25 1zzd 12005 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ∈ ℤ)
2624, 25zsubcld 12084 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
27 elfznn 12935 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)) → 𝑦 ∈ ℕ)
2827adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ∈ ℕ)
29 nnz 11996 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
3028, 29syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ∈ ℤ)
3125, 23zsubcld 12084 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
3230, 31zsubcld 12084 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
3323zred 12079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℝ)
3433recnd 10662 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
35 1cnd 10629 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ∈ ℂ)
3634, 35pncan3d 10993 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
3727nnge1d 11677 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)) → 1 ≤ 𝑦)
3837adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ≤ 𝑦)
3936, 38eqbrtrd 5055 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦)
40 1red 10635 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 1 ∈ ℝ)
4140, 33resubcld 11061 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
4228nnred 11644 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4333, 41, 423jca 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
44 leaddsub 11109 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
4543, 44syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
4639, 45mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼)))
47 elfzle2 12910 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)) → 𝑦 ≤ (𝑀𝐼))
4847adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ≤ (𝑀𝐼))
4918adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑀 ∈ ℂ)
5023zcnd 12080 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
5149, 35, 50npncand 11014 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀𝐼))
5248, 51breqtrrd 5061 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
5331zred 12079 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
5426zred 12079 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5542, 53, 54lesubaddd 11230 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → ((𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼))))
5652, 55mpbird 260 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1))
5723, 26, 32, 46, 56elfzd 12897 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
58 1cnd 10629 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 1 ∈ ℂ)
5934adantrl 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
6058, 59subcld 10990 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (1 − 𝐼) ∈ ℂ)
61 elfzelz 12906 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
6261ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
63 zcn 11978 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6528adantrl 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℕ)
66 nncn 11637 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6765, 66syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
6860, 64, 67addrsub 11050 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼))))
6968bicomd 226 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ ((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
7060, 64addcomd 10835 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → ((1 − 𝐼) + 𝑥) = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
7170eqeq1d 2803 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦))
72 eqcom 2808 . . . . 5 ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
7372a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
7471, 73bitrd 282 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
7569, 74bitrd 282 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
761, 22, 57, 75f1o2d 7383 1 (𝜑𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀𝐼)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  –1-1-onto→wf1o 6327  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  1c1 10531   + caddc 10533   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  ℤcz 11973  ...cfz 12889 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890 This theorem is referenced by:  metakunt25  39365
 Copyright terms: Public domain W3C validator