Theorem metakunt16 39814

Description: Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt16.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt16.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt16.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt16.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt16	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀 − 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem metakunt16

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt16.4	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
2		metakunt16.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
5		metakunt16.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		1zzd 12191	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
9	7, 8	zsubcld 12270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 4	zsubcld 12270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
11		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
12		elfz3 13105	. . . 4 ⊢ ((1 − 𝐼) ∈ ℤ → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ((1 − 𝐼)...(1 − 𝐼)))
14	4	zcnd 12266	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℂ)
15		1cnd 10811	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	pncan3d 11175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
17	16	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 = (𝐼 + (1 − 𝐼)))
18	5	nncnd 11829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
19	18	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℂ)
20	19, 15, 14	npncand 11196	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀 − 𝐼))
21	20	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) = ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
22	4, 9, 10, 10, 11, 13, 17, 21	fzadd2d 39677	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))
23	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℤ)
24	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑀 ∈ ℤ)
25		1zzd 12191	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ∈ ℤ)
26	24, 25	zsubcld 12270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
27		elfznn 13124	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)) → 𝑦 ∈ ℕ)
28	27	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ∈ ℕ)
29		nnz 12182	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ∈ ℤ)
31	25, 23	zsubcld 12270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
32	30, 31	zsubcld 12270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
33	23	zred 12265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℝ)
34	33	recnd 10844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
35		1cnd 10811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	pncan3d 11175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) = 1)
37	27	nnge1d 11861	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)) → 1 ≤ 𝑦)
38	37	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ≤ 𝑦)
39	36, 38	eqbrtrd 5065	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦)
40		1red 10817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 1 ∈ ℝ)
41	40, 33	resubcld 11243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
42	28	nnred 11828	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ∈ ℝ)
43	33, 41, 42	3jca 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
44		leaddsub 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (1 − 𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦 ↔ 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → ((𝐼 + (1 − 𝐼)) ≤ 𝑦 ↔ 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼))))
46	39, 45	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ≤ (𝑦 − (1 − 𝐼)))
47		elfzle2 13099	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 𝐼))
48	47	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 𝐼))
49	18	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑀 ∈ ℂ)
50	23	zcnd 12266	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝐼 ∈ ℂ)
51	49, 35, 50	npncand 11196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑀 − 𝐼))
52	48, 51	breqtrrd 5071	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼)))
53	31	zred 12265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (1 − 𝐼) ∈ ℝ)
54	26	zred 12265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
55	42, 53, 54	lesubaddd 11412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → ((𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑀 − 1) + (1 − 𝐼))))
56	52, 55	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ≤ (𝑀 − 1))
57	23, 26, 32, 46, 56	elfzd 13086	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼))) → (𝑦 − (1 − 𝐼)) ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)))
58		1cnd 10811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 1 ∈ ℂ)
59	34	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
60	58, 59	subcld 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (1 − 𝐼) ∈ ℂ)
61		elfzelz 13095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
62	61	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
63		zcn 12164	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
64	62, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
65	28	adantrl 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℕ)
66		nncn 11821	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
67	65, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
68	60, 64, 67	addrsub 11232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼))))
69	68	bicomd 226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ ((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
70	60, 64	addcomd 11017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → ((1 − 𝐼) + 𝑥) = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
71	70	eqeq1d 2736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦))
72		eqcom 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼)))
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → ((𝑥 + (1 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
74	71, 73	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (((1 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
75	69, 74	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑀 − 𝐼)))) → (𝑥 = (𝑦 − (1 − 𝐼)) ↔ 𝑦 = (𝑥 + (1 − 𝐼))))
76	1, 22, 57, 75	f1o2d 7448	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐼...(𝑀 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑀 − 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5043   ↦ cmpt 5124  –1-1-onto→wf1o 6368  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  ℝcr 10711  1c1 10713   + caddc 10715   ≤ cle 10851   − cmin 11045  ℕcn 11813  ℤcz 12159  ...cfz 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-fz 13079

This theorem is referenced by:  metakunt25  39823