Theorem dvdsflf1o 27547

Description: A bijection from the numbers less than 𝑁 / 𝐴 to the multiples of 𝐴 less than 𝑁. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflf1o.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvdsflf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdsflf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↦ (𝑁 · 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
dvdsflf1o	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))⟶1-1onto{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem dvdsflf1o

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↦ (𝑁 · 𝑛))
2		breq2 5110	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁 · 𝑛) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛)))
3		dvdsflf1o.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		elfznn 13717	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℕ)
5		nnmulcl 12389	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ)
7		dvdsflf1o.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7, 3	nndivred 12422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
9		fznnfl 14032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))))
11	10	simplbda 505	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))
12	4	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
13	12	nnred 12380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	3	nnred 12380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	3	nngt0d 12417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 0 < 𝑁)
19		lemuldiv2 12228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁)))
20	13, 14, 16, 18, 19	syl112anc 1402	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁)))
21	11, 20	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴)
22	3	nnzd 12749	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		elfzelz 13686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24		zmulcl 12775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ)
26		flge 13975	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴)))
27	14, 25, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴)))
28	21, 27	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))
29	7	flcld 13968	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
30	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
31		fznn 13756	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))))
32	30, 31	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))))
33	6, 28, 32	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
34		dvdsmul1 16479	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛))
35	22, 23, 34	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛))
36	2, 33, 35	elrabd 3650	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
37		breq2 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑚))
38	37	elrab 3648	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∥ 𝑚))
39	38	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑁 ∥ 𝑚)
40	39	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∥ 𝑚)
41		elrabi 3644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
42	41	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
43		elfznn 13717	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
44	42, 43	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℕ)
45	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∈ ℕ)
46		nndivdvds 16463	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ))
47	44, 45, 46	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑁 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ))
48	40, 47	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ)
49		fznnfl 14032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝐴)))
50	7, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝐴)))
51	50	simplbda 505	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ≤ 𝐴)
52	41, 51	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ≤ 𝐴)
53	44	nnred 12380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℝ)
54	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝐴 ∈ ℝ)
55	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∈ ℝ)
56	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 0 < 𝑁)
57		lediv1 12212	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁)))
58	53, 54, 55, 56, 57	syl112anc 1402	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁)))
59	52, 58	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))
60	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
61		fznnfl 14032	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ → ((𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ ((𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))))
62	60, 61	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → ((𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ ((𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))))
63	48, 59, 62	mpbir2and 726	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))))
64	44	nncnd 12381	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℂ)
65	64	adantrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑚 ∈ ℂ)
66	3	nncnd 12381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
67	66	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑁 ∈ ℂ)
68	12	nncnd 12381	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
69	68	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑛 ∈ ℂ)
70	3	nnne0d 12418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
71	70	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑁 ≠ 0)
72	65, 67, 69, 71	divmuld 12145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → ((𝑚 / 𝑁) = 𝑛 ↔ (𝑁 · 𝑛) = 𝑚))
73		eqcom 2770	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑁) ↔ (𝑚 / 𝑁) = 𝑛)
74		eqcom 2770	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑁 · 𝑛) ↔ (𝑁 · 𝑛) = 𝑚)
75	72, 73, 74	3bitr4g 317	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → (𝑛 = (𝑚 / 𝑁) ↔ 𝑚 = (𝑁 · 𝑛)))
76	1, 36, 63, 75	f1o2d 7702	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))⟶1-1onto{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ⟶1-1ontowf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   · cmul 11235   < clt 11373   ≤ cle 11374   / cdiv 12003  ℕcn 12365  ℤcz 12723  ...cfz 13669  ⌊cfl 13960   ∥ cdvds 16454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fl 13962  df-dvds 16455

This theorem is used by:  dvdsflsumcom  27548  logfac2  27577