MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsflf1o 26927
Description: A bijection from the numbers less than ๐‘ / ๐ด to the multiples of ๐ด less than ๐‘. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflf1o.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dvdsflf1o.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
dvdsflf1o.f ๐น = (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘›))
Assertion
Ref Expression
dvdsflf1o (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ด   ๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem dvdsflf1o
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflf1o.f . 2 ๐น = (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘›))
2 breq2 5151 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ ยท ๐‘›) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘›)))
3 dvdsflf1o.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4 elfznn 13534 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5 nnmulcl 12240 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
63, 4, 5syl2an 594 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
7 dvdsflf1o.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87, 3nndivred 12270 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„)
9 fznnfl 13831 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
1110simplbda 498 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘))
124adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1312nnred 12231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
147adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
153nnred 12231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1615adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
173nngt0d 12265 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
1817adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ 0 < ๐‘)
19 lemuldiv2 12099 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
2013, 14, 16, 18, 19syl112anc 1372 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
2111, 20mpbird 256 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด)
223nnzd 12589 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
23 elfzelz 13505 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
24 zmulcl 12615 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
2522, 23, 24syl2an 594 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
26 flge 13774 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
2714, 25, 26syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
2821, 27mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
297flcld 13767 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
3029adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
31 fznn 13573 . . . . 5 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
3230, 31syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
336, 28, 32mpbir2and 709 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
34 dvdsmul1 16225 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘›))
3522, 23, 34syl2an 594 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘›))
362, 33, 35elrabd 3684 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})
37 breq2 5151 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘š))
3837elrab 3682 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†” (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘š))
3938simprbi 495 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘š)
4039adantl 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘š)
41 elrabi 3676 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
4241adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
43 elfznn 13534 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
4442, 43syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
453adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
46 nndivdvds 16210 . . . . 5 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘š โ†” (๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„•))
4744, 45, 46syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘š โ†” (๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„•))
4840, 47mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„•)
49 fznnfl 13831 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค ๐ด)))
507, 49syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค ๐ด)))
5150simplbda 498 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘š โ‰ค ๐ด)
5241, 51sylan2 591 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โ‰ค ๐ด)
5344nnred 12231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
547adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5515adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5617adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ 0 < ๐‘)
57 lediv1 12083 . . . . 5 ((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
5853, 54, 55, 56, 57syl112anc 1372 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
5952, 58mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘))
608adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„)
61 fznnfl 13831 . . . 4 ((๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
6260, 61syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
6348, 59, 62mpbir2and 709 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š / ๐‘) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))))
6444nncnd 12232 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
6564adantrl 712 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
663nncnd 12232 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6766adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6812nncnd 12232 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
6968adantrr 713 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
703nnne0d 12266 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
7170adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
7265, 67, 69, 71divmuld 12016 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ((๐‘š / ๐‘) = ๐‘› โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) = ๐‘š))
73 eqcom 2737 . . 3 (๐‘› = (๐‘š / ๐‘) โ†” (๐‘š / ๐‘) = ๐‘›)
74 eqcom 2737 . . 3 (๐‘š = (๐‘ ยท ๐‘›) โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) = ๐‘š)
7572, 73, 743bitr4g 313 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ (๐‘› = (๐‘š / ๐‘) โ†” ๐‘š = (๐‘ ยท ๐‘›)))
761, 36, 63, 75f1o2d 7662 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  {crab 3430   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  ...cfz 13488  โŒŠcfl 13759   โˆฅ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fl 13761  df-dvds 16202
This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  26928  logfac2  26956
  Copyright terms: Public domain W3C validator