Theorem dvdsflf1o 27164

Description: A bijection from the numbers less than 𝑁 / 𝐴 to the multiples of 𝐴 less than 𝑁. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflf1o.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvdsflf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdsflf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↦ (𝑁 · 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
dvdsflf1o	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))–1-1-onto→{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dvdsflf1o

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↦ (𝑁 · 𝑛))
2		breq2 5090	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁 · 𝑛) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛)))
3		dvdsflf1o.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		elfznn 13498	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℕ)
5		nnmulcl 12189	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ)
7		dvdsflf1o.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7, 3	nndivred 12222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
9		fznnfl 13812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))))
11	10	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))
12	4	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
13	12	nnred 12180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	3	nnred 12180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	3	nngt0d 12217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 0 < 𝑁)
19		lemuldiv2 12028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁)))
20	13, 14, 16, 18, 19	syl112anc 1377	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁)))
21	11, 20	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴)
22	3	nnzd 12541	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		elfzelz 13469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24		zmulcl 12567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ)
26		flge 13755	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴)))
27	14, 25, 26	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴)))
28	21, 27	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))
29	7	flcld 13748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
31		fznn 13537	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))))
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))))
33	6, 28, 32	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
34		dvdsmul1 16237	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛))
35	22, 23, 34	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛))
36	2, 33, 35	elrabd 3637	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
37		breq2 5090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑚))
38	37	elrab 3635	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∥ 𝑚))
39	38	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑁 ∥ 𝑚)
40	39	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∥ 𝑚)
41		elrabi 3631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
42	41	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
43		elfznn 13498	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℕ)
45	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∈ ℕ)
46		nndivdvds 16221	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ))
47	44, 45, 46	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑁 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ))
48	40, 47	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ)
49		fznnfl 13812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝐴)))
50	7, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝐴)))
51	50	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ≤ 𝐴)
52	41, 51	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ≤ 𝐴)
53	44	nnred 12180	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℝ)
54	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝐴 ∈ ℝ)
55	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∈ ℝ)
56	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 0 < 𝑁)
57		lediv1 12012	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁)))
58	53, 54, 55, 56, 57	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁)))
59	52, 58	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))
60	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
61		fznnfl 13812	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ → ((𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ ((𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))))
62	60, 61	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → ((𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ ((𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))))
63	48, 59, 62	mpbir2and 714	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))))
64	44	nncnd 12181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℂ)
65	64	adantrl 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑚 ∈ ℂ)
66	3	nncnd 12181	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
67	66	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑁 ∈ ℂ)
68	12	nncnd 12181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
69	68	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑛 ∈ ℂ)
70	3	nnne0d 12218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
71	70	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑁 ≠ 0)
72	65, 67, 69, 71	divmuld 11944	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → ((𝑚 / 𝑁) = 𝑛 ↔ (𝑁 · 𝑛) = 𝑚))
73		eqcom 2744	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑁) ↔ (𝑚 / 𝑁) = 𝑛)
74		eqcom 2744	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑁 · 𝑛) ↔ (𝑁 · 𝑛) = 𝑚)
75	72, 73, 74	3bitr4g 314	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → (𝑛 = (𝑚 / 𝑁) ↔ 𝑚 = (𝑁 · 𝑛)))
76	1, 36, 63, 75	f1o2d 7614	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))–1-1-onto→{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ...cfz 13452  ⌊cfl 13740   ∥ cdvds 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fl 13742  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  27165  logfac2  27194