MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsflf1o 26691
Description: A bijection from the numbers less than ๐‘ / ๐ด to the multiples of ๐ด less than ๐‘. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflf1o.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dvdsflf1o.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
dvdsflf1o.f ๐น = (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘›))
Assertion
Ref Expression
dvdsflf1o (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ด   ๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem dvdsflf1o
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflf1o.f . 2 ๐น = (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘›))
2 breq2 5153 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ ยท ๐‘›) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘›)))
3 dvdsflf1o.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4 elfznn 13530 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5 nnmulcl 12236 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
63, 4, 5syl2an 597 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
7 dvdsflf1o.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87, 3nndivred 12266 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„)
9 fznnfl 13827 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
1110simplbda 501 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘))
124adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1312nnred 12227 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
147adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
153nnred 12227 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
173nngt0d 12261 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ 0 < ๐‘)
19 lemuldiv2 12095 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
2013, 14, 16, 18, 19syl112anc 1375 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
2111, 20mpbird 257 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด)
223nnzd 12585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
23 elfzelz 13501 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
24 zmulcl 12611 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
2522, 23, 24syl2an 597 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
26 flge 13770 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
2714, 25, 26syl2anc 585 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
2821, 27mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
297flcld 13763 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
3029adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
31 fznn 13569 . . . . 5 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
3230, 31syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
336, 28, 32mpbir2and 712 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
34 dvdsmul1 16221 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘›))
3522, 23, 34syl2an 597 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘›))
362, 33, 35elrabd 3686 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})
37 breq2 5153 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘š))
3837elrab 3684 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†” (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘š))
3938simprbi 498 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘š)
4039adantl 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘š)
41 elrabi 3678 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
4241adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
43 elfznn 13530 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
4442, 43syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
453adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
46 nndivdvds 16206 . . . . 5 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘š โ†” (๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„•))
4744, 45, 46syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘š โ†” (๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„•))
4840, 47mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„•)
49 fznnfl 13827 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค ๐ด)))
507, 49syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค ๐ด)))
5150simplbda 501 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘š โ‰ค ๐ด)
5241, 51sylan2 594 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โ‰ค ๐ด)
5344nnred 12227 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
547adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5515adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5617adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ 0 < ๐‘)
57 lediv1 12079 . . . . 5 ((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
5853, 54, 55, 56, 57syl112anc 1375 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
5952, 58mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘))
608adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„)
61 fznnfl 13827 . . . 4 ((๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
6260, 61syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
6348, 59, 62mpbir2and 712 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š / ๐‘) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))))
6444nncnd 12228 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
6564adantrl 715 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
663nncnd 12228 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6766adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6812nncnd 12228 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
6968adantrr 716 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
703nnne0d 12262 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
7170adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
7265, 67, 69, 71divmuld 12012 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ((๐‘š / ๐‘) = ๐‘› โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) = ๐‘š))
73 eqcom 2740 . . 3 (๐‘› = (๐‘š / ๐‘) โ†” (๐‘š / ๐‘) = ๐‘›)
74 eqcom 2740 . . 3 (๐‘š = (๐‘ ยท ๐‘›) โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) = ๐‘š)
7572, 73, 743bitr4g 314 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ (๐‘› = (๐‘š / ๐‘) โ†” ๐‘š = (๐‘ ยท ๐‘›)))
761, 36, 63, 75f1o2d 7660 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  {crab 3433   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755   โˆฅ cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fl 13757  df-dvds 16198
This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  26692  logfac2  26720
  Copyright terms: Public domain W3C validator