Theorem dvdsflf1o 27150

Description: A bijection from the numbers less than 𝑁 / 𝐴 to the multiples of 𝐴 less than 𝑁. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflf1o.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvdsflf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdsflf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↦ (𝑁 · 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
dvdsflf1o	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))–1-1-onto→{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dvdsflf1o

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↦ (𝑁 · 𝑛))
2		breq2 5089	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁 · 𝑛) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛)))
3		dvdsflf1o.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		elfznn 13507	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℕ)
5		nnmulcl 12198	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ)
7		dvdsflf1o.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7, 3	nndivred 12231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
9		fznnfl 13821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))))
11	10	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))
12	4	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
13	12	nnred 12189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	3	nnred 12189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	3	nngt0d 12226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 0 < 𝑁)
19		lemuldiv2 12037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁)))
20	13, 14, 16, 18, 19	syl112anc 1377	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁)))
21	11, 20	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴)
22	3	nnzd 12550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		elfzelz 13478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24		zmulcl 12576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ)
26		flge 13764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴)))
27	14, 25, 26	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴)))
28	21, 27	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))
29	7	flcld 13757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
31		fznn 13546	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))))
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))))
33	6, 28, 32	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
34		dvdsmul1 16246	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛))
35	22, 23, 34	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛))
36	2, 33, 35	elrabd 3636	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
37		breq2 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑚))
38	37	elrab 3634	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∥ 𝑚))
39	38	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑁 ∥ 𝑚)
40	39	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∥ 𝑚)
41		elrabi 3630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
42	41	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
43		elfznn 13507	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℕ)
45	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∈ ℕ)
46		nndivdvds 16230	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ))
47	44, 45, 46	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑁 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ))
48	40, 47	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ)
49		fznnfl 13821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝐴)))
50	7, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝐴)))
51	50	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ≤ 𝐴)
52	41, 51	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ≤ 𝐴)
53	44	nnred 12189	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℝ)
54	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝐴 ∈ ℝ)
55	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∈ ℝ)
56	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 0 < 𝑁)
57		lediv1 12021	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁)))
58	53, 54, 55, 56, 57	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁)))
59	52, 58	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))
60	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
61		fznnfl 13821	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ → ((𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ ((𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))))
62	60, 61	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → ((𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ ((𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))))
63	48, 59, 62	mpbir2and 714	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))))
64	44	nncnd 12190	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℂ)
65	64	adantrl 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑚 ∈ ℂ)
66	3	nncnd 12190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
67	66	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑁 ∈ ℂ)
68	12	nncnd 12190	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
69	68	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑛 ∈ ℂ)
70	3	nnne0d 12227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
71	70	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑁 ≠ 0)
72	65, 67, 69, 71	divmuld 11953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → ((𝑚 / 𝑁) = 𝑛 ↔ (𝑁 · 𝑛) = 𝑚))
73		eqcom 2743	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑁) ↔ (𝑚 / 𝑁) = 𝑛)
74		eqcom 2743	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑁 · 𝑛) ↔ (𝑁 · 𝑛) = 𝑚)
75	72, 73, 74	3bitr4g 314	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → (𝑛 = (𝑚 / 𝑁) ↔ 𝑚 = (𝑁 · 𝑛)))
76	1, 36, 63, 75	f1o2d 7621	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))–1-1-onto→{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ⌊cfl 13749   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fl 13751  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  27151  logfac2  27180