Theorem dvdsflf1o 25772

Description: A bijection from the numbers less than 𝑁 / 𝐴 to the multiples of 𝐴 less than 𝑁. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflf1o.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvdsflf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdsflf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↦ (𝑁 · 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
dvdsflf1o	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))–1-1-onto→{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dvdsflf1o

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↦ (𝑁 · 𝑛))
2		breq2 5034	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑁 · 𝑛) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛)))
3		dvdsflf1o.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		elfznn 12931	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℕ)
5		nnmulcl 11649	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	syl2an 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ)
7		dvdsflf1o.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7, 3	nndivred 11679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
9		fznnfl 13225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))))
11	10	simplbda 503	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁))
12	4	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
13	12	nnred 11640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
14	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	3	nnred 11640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	3	nngt0d 11674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
18	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 0 < 𝑁)
19		lemuldiv2 11510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁)))
20	13, 14, 16, 18, 19	syl112anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ 𝑛 ≤ (𝐴 / 𝑁)))
21	11, 20	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴)
22	3	nnzd 12074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		elfzelz 12902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
24		zmulcl 12019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	syl2an 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ)
26		flge 13170	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 𝑛) ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴)))
27	14, 25, 26	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ≤ 𝐴 ↔ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴)))
28	21, 27	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))
29	7	flcld 13163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
30	29	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
31		fznn 12970	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))))
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → ((𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ ((𝑁 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑛) ≤ (⌊‘𝐴))))
33	6, 28, 32	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
34		dvdsmul1 15623	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛))
35	22, 23, 34	syl2an 598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑛))
36	2, 33, 35	elrabd 3630	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → (𝑁 · 𝑛) ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
37		breq2 5034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑚))
38	37	elrab 3628	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∥ 𝑚))
39	38	simprbi 500	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑁 ∥ 𝑚)
40	39	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∥ 𝑚)
41		elrabi 3623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
42	41	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)))
43		elfznn 12931	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℕ)
45	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∈ ℕ)
46		nndivdvds 15608	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ))
47	44, 45, 46	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑁 ∥ 𝑚 ↔ (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ))
48	40, 47	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ)
49		fznnfl 13225	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝐴)))
50	7, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ≤ 𝐴)))
51	50	simplbda 503	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ≤ 𝐴)
52	41, 51	sylan2 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ≤ 𝐴)
53	44	nnred 11640	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℝ)
54	7	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝐴 ∈ ℝ)
55	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑁 ∈ ℝ)
56	17	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 0 < 𝑁)
57		lediv1 11494	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁)))
58	53, 54, 55, 56, 57	syl112anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁)))
59	52, 58	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))
60	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
61		fznnfl 13225	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ → ((𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ ((𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))))
62	60, 61	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → ((𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ↔ ((𝑚 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑚 / 𝑁) ≤ (𝐴 / 𝑁))))
63	48, 59, 62	mpbir2and 712	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑚 / 𝑁) ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))))
64	44	nncnd 11641	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑚 ∈ ℂ)
65	64	adantrl 715	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑚 ∈ ℂ)
66	3	nncnd 11641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
67	66	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑁 ∈ ℂ)
68	12	nncnd 11641	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
69	68	adantrr 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑛 ∈ ℂ)
70	3	nnne0d 11675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
71	70	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → 𝑁 ≠ 0)
72	65, 67, 69, 71	divmuld 11427	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → ((𝑚 / 𝑁) = 𝑛 ↔ (𝑁 · 𝑛) = 𝑚))
73		eqcom 2805	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 / 𝑁) ↔ (𝑚 / 𝑁) = 𝑛)
74		eqcom 2805	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑁 · 𝑛) ↔ (𝑁 · 𝑛) = 𝑚)
75	72, 73, 74	3bitr4g 317	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})) → (𝑛 = (𝑚 / 𝑁) ↔ 𝑚 = (𝑁 · 𝑛)))
76	1, 36, 63, 75	f1o2d 7379	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑁)))–1-1-onto→{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ⌊cfl 13155   ∥ cdvds 15599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fl 13157  df-dvds 15600

This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  25773  logfac2  25801