MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsflf1o 26552
Description: A bijection from the numbers less than ๐‘ / ๐ด to the multiples of ๐ด less than ๐‘. Useful for some sum manipulations. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflf1o.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dvdsflf1o.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
dvdsflf1o.f ๐น = (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘›))
Assertion
Ref Expression
dvdsflf1o (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ด   ๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem dvdsflf1o
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflf1o.f . 2 ๐น = (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†ฆ (๐‘ ยท ๐‘›))
2 breq2 5114 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ ยท ๐‘›) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘›)))
3 dvdsflf1o.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4 elfznn 13477 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5 nnmulcl 12184 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
63, 4, 5syl2an 597 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
7 dvdsflf1o.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87, 3nndivred 12214 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„)
9 fznnfl 13774 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
1110simplbda 501 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘))
124adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1312nnred 12175 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
147adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
153nnred 12175 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
173nngt0d 12209 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ 0 < ๐‘)
19 lemuldiv2 12043 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
2013, 14, 16, 18, 19syl112anc 1375 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
2111, 20mpbird 257 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด)
223nnzd 12533 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
23 elfzelz 13448 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
24 zmulcl 12559 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
2522, 23, 24syl2an 597 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
26 flge 13717 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
2714, 25, 26syl2anc 585 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
2821, 27mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
297flcld 13710 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
3029adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
31 fznn 13516 . . . . 5 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
3230, 31syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐‘›) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
336, 28, 32mpbir2and 712 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
34 dvdsmul1 16167 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘›))
3522, 23, 34syl2an 597 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘›))
362, 33, 35elrabd 3652 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})
37 breq2 5114 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘š))
3837elrab 3650 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†” (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘š))
3938simprbi 498 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘š)
4039adantl 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘š)
41 elrabi 3644 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
4241adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
43 elfznn 13477 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
4442, 43syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
453adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
46 nndivdvds 16152 . . . . 5 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘š โ†” (๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„•))
4744, 45, 46syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘š โ†” (๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„•))
4840, 47mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„•)
49 fznnfl 13774 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค ๐ด)))
507, 49syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โ‰ค ๐ด)))
5150simplbda 501 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘š โ‰ค ๐ด)
5241, 51sylan2 594 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โ‰ค ๐ด)
5344nnred 12175 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
547adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5515adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5617adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ 0 < ๐‘)
57 lediv1 12027 . . . . 5 ((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
5853, 54, 55, 56, 57syl112anc 1375 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘)))
5952, 58mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘))
608adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„)
61 fznnfl 13774 . . . 4 ((๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
6260, 61syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โ†” ((๐‘š / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š / ๐‘) โ‰ค (๐ด / ๐‘))))
6348, 59, 62mpbir2and 712 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘š / ๐‘) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))))
6444nncnd 12176 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
6564adantrl 715 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
663nncnd 12176 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6766adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6812nncnd 12176 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
6968adantrr 716 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
703nnne0d 12210 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
7170adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
7265, 67, 69, 71divmuld 11960 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ((๐‘š / ๐‘) = ๐‘› โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) = ๐‘š))
73 eqcom 2744 . . 3 (๐‘› = (๐‘š / ๐‘) โ†” (๐‘š / ๐‘) = ๐‘›)
74 eqcom 2744 . . 3 (๐‘š = (๐‘ ยท ๐‘›) โ†” (๐‘ ยท ๐‘›) = ๐‘š)
7572, 73, 743bitr4g 314 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ (๐‘› = (๐‘š / ๐‘) โ†” ๐‘š = (๐‘ ยท ๐‘›)))
761, 36, 63, 75f1o2d 7612 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘)))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  {crab 3410   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6500  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ„คcz 12506  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fl 13704  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  dvdsflsumcom  26553  logfac2  26581
  Copyright terms: Public domain W3C validator