Theorem incexclem 15814

Description: Lemma for incexc 15815. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
incexclem	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 ∩ ∩ 𝑠))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠

Proof of Theorem incexclem

Dummy variables 𝑏 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∪ 𝑥 = ∪ ∅)
2		uni0 4933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ ∅ = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∪ 𝑥 = ∅)
4	3	ineq2d 4206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑏 ∩ ∪ 𝑥) = (𝑏 ∩ ∅))
5		in0 4387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∩ ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑏 ∩ ∪ 𝑥) = ∅)
7	6	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥)) = (♯‘∅))
8		hash0 14358	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥)) = 0)
10	9	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = ((♯‘𝑏) − 0))
11		pweq 4612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝒫 𝑥 = 𝒫 ∅)
12		pw0 4811	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
13	11, 12	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝒫 𝑥 = {∅})
14	13	sumeq1d 15679	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))))
15	10, 14	eqeq12d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑏) − 0) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))))
16	15	ralbidv 3168	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − 0) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))))
17		unieq 4914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦)
18	17	ineq2d 4206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑏 ∩ ∪ 𝑥) = (𝑏 ∩ ∪ 𝑦))
19	18	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥)) = (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦)))
20	19	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))))
21		pweq 4612	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑦)
22	21	sumeq1d 15679	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))))
23	20, 22	eqeq12d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))))
24	23	ralbidv 3168	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))))
25		unieq 4914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝑦 ∪ {𝑧}))
26		uniun 4928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ (𝑦 ∪ {𝑧}) = (∪ 𝑦 ∪ ∪ {𝑧})
27		unisnv 4925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ {𝑧} = 𝑧
28	27	uneq2i 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑦 ∪ ∪ {𝑧}) = (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)
29	26, 28	eqtri 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (𝑦 ∪ {𝑧}) = (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)
30	25, 29	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∪ 𝑥 = (∪ 𝑦 ∪ 𝑧))
31	30	ineq2d 4206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑏 ∩ ∪ 𝑥) = (𝑏 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))
32	31	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥)) = (♯‘(𝑏 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧))))
33	32	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))))
34		pweq 4612	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
35	34	sumeq1d 15679	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))))
36	33, 35	eqeq12d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))))
37	36	ralbidv 3168	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))))
38		unieq 4914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝐴)
39	38	ineq2d 4206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑏 ∩ ∪ 𝑥) = (𝑏 ∩ ∪ 𝐴))
40	39	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥)) = (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝐴)))
41	40	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝐴))))
42		pweq 4612	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
43	42	sumeq1d 15679	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))))
44	41, 43	eqeq12d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))))
45	44	ralbidv 3168	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))))
46		hashcl 14347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → (♯‘𝑏) ∈ ℕ0)
47	46	nn0cnd 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → (♯‘𝑏) ∈ ℂ)
48	47	mullidd 11262	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → (1 · (♯‘𝑏)) = (♯‘𝑏))
49		0ex 5302	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
50	48, 47	eqeltrd 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → (1 · (♯‘𝑏)) ∈ ℂ)
51		fveq2 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = (♯‘∅))
52	51, 8	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = 0)
53	52	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = (-1↑0))
54		neg1cn 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
55		exp0 14062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑0) = 1
57	53, 56	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = 1)
58		rint0 4988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝑏 ∩ ∩ 𝑠) = 𝑏)
59	58	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)) = (♯‘𝑏))
60	57, 59	oveq12d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = (1 · (♯‘𝑏)))
61	60	sumsn 15724	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (1 · (♯‘𝑏)) ∈ ℂ) → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = (1 · (♯‘𝑏)))
62	49, 50, 61	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = (1 · (♯‘𝑏)))
63	47	subid1d 11590	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → ((♯‘𝑏) − 0) = (♯‘𝑏))
64	48, 62, 63	3eqtr4rd 2776	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → ((♯‘𝑏) − 0) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))))
65	64	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − 0) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))
66		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (♯‘𝑏) = (♯‘𝑥))
67		ineq1 4199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∩ ∪ 𝑦) = (𝑥 ∩ ∪ 𝑦))
68	67	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦)) = (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)))
69	66, 68	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦))))
70		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑏 = 𝑥)
71	70	ineq1d 4205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑏 ∩ ∩ 𝑠) = (𝑥 ∩ ∩ 𝑠))
72	71	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)) = (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)))
73	72	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))))
74	73	sumeq2dv 15681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))))
75	69, 74	eqeq12d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)))))
76	75	rspcva 3599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))))
77	76	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))))
78		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
79		inss1 4223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑥
80		ssfi 9196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ 𝑧) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ Fin)
81	78, 79, 80	sylancl 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ Fin)
82		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∩ 𝑧) → (♯‘𝑏) = (♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)))
83		ineq1 4199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∩ 𝑧) → (𝑏 ∩ ∪ 𝑦) = ((𝑥 ∩ 𝑧) ∩ ∪ 𝑦))
84		in32 4216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑧) ∩ ∪ 𝑦) = ((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∩ 𝑧)
85		inass 4214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∩ 𝑧) = (𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))
86	84, 85	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑧) ∩ ∪ 𝑦) = (𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))
87	83, 86	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∩ 𝑧) → (𝑏 ∩ ∪ 𝑦) = (𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)))
88	87	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∩ 𝑧) → (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦)) = (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))))
89	82, 88	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∩ 𝑧) → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)))))
90		ineq1 4199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∩ 𝑧) → (𝑏 ∩ ∩ 𝑠) = ((𝑥 ∩ 𝑧) ∩ ∩ 𝑠))
91		in32 4216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑧) ∩ ∩ 𝑠) = ((𝑥 ∩ ∩ 𝑠) ∩ 𝑧)
92		inass 4214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∩ ∩ 𝑠) ∩ 𝑧) = (𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))
93	91, 92	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑧) ∩ ∩ 𝑠) = (𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))
94	90, 93	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∩ 𝑧) → (𝑏 ∩ ∩ 𝑠) = (𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))
95	94	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∩ 𝑧) → (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)) = (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))))
96	95	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∩ 𝑧) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
97	96	sumeq2sdv 15682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∩ 𝑧) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
98	89, 97	eqeq12d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝑥 ∩ 𝑧) → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))))))
99	98	rspcva 3599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑧) ∈ Fin ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))) → ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
100	81, 99	sylan 578	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))) → ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
101	77, 100	oveq12d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))) → (((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦))) − ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) − Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))))))
102		inss1 4223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ⊆ 𝑥
103		ssfi 9196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∈ Fin)
104	78, 102, 103	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∈ Fin)
105		hashcl 14347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∈ Fin → (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)) ∈ ℕ0)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)) ∈ ℕ0)
107	106	nn0cnd 12564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)) ∈ ℂ)
108		hashcl 14347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑧) ∈ Fin → (♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) ∈ ℕ0)
109	81, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) ∈ ℕ0)
110	109	nn0cnd 12564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) ∈ ℂ)
111		inss1 4223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)) ⊆ 𝑥
112		ssfi 9196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin)
113	78, 111, 112	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin)
114		hashcl 14347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)) ∈ Fin → (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))) ∈ ℕ0)
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))) ∈ ℕ0)
116	115	nn0cnd 12564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))) ∈ ℂ)
117		hashun3 14375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ Fin) → (♯‘((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∪ (𝑥 ∩ 𝑧))) = (((♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)) + (♯‘(𝑥 ∩ 𝑧))) − (♯‘((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∩ (𝑥 ∩ 𝑧)))))
118	104, 81, 117	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∪ (𝑥 ∩ 𝑧))) = (((♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)) + (♯‘(𝑥 ∩ 𝑧))) − (♯‘((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∩ (𝑥 ∩ 𝑧)))))
119		indi 4268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)) = ((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∪ (𝑥 ∩ 𝑧))
120	119	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧))) = (♯‘((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∪ (𝑥 ∩ 𝑧)))
121		inindi 4221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)) = ((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∩ (𝑥 ∩ 𝑧))
122	121	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))) = (♯‘((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∩ (𝑥 ∩ 𝑧)))
123	122	oveq2i 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)) + (♯‘(𝑥 ∩ 𝑧))) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)))) = (((♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)) + (♯‘(𝑥 ∩ 𝑧))) − (♯‘((𝑥 ∩ ∪ 𝑦) ∩ (𝑥 ∩ 𝑧))))
124	118, 120, 123	3eqtr4g 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧))) = (((♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)) + (♯‘(𝑥 ∩ 𝑧))) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)))))
125	107, 110, 116, 124	assraddsubd 11658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧))) = ((♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)) + ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))))))
126	125	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = ((♯‘𝑥) − ((♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)) + ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)))))))
127		hashcl 14347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
128	127	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
129	128	nn0cnd 12564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) ∈ ℂ)
130	110, 116	subcld 11601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)))) ∈ ℂ)
131	129, 107, 130	subsub4d 11632	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦))) − ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))))) = ((♯‘𝑥) − ((♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦)) + ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧)))))))
132	126, 131	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = (((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦))) − ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))))))
133	132	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = (((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ∪ 𝑦))) − ((♯‘(𝑥 ∩ 𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∩ 𝑧))))))
134		disjdif 4467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 𝑦 ∩ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) = ∅
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝒫 𝑦 ∩ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) = ∅)
136		ssun1 4166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
137	136	sspwi 4610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})
138		undif 4477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝒫 𝑦 ∪ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) = 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
139	137, 138	mpbi 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝑦 ∪ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) = 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})
140	139	eqcomi 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝒫 𝑦 ∪ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝒫 𝑦 ∪ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)))
142		simpll 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
143		snfi 9067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
144		unfi 9195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
145	142, 143, 144	sylancl 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
146		pwfi 9201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
147	145, 146	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
148	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → -1 ∈ ℂ)
149		elpwi 4605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑠 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))
150		ssfi 9196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑠 ∈ Fin)
151	145, 149, 150	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑠 ∈ Fin)
152		hashcl 14347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
153	151, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
154	148, 153	expcld 14142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (-1↑(♯‘𝑠)) ∈ ℂ)
155		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑥 ∈ Fin)
156		inss1 4223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∩ ∩ 𝑠) ⊆ 𝑥
157		ssfi 9196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ ∩ 𝑠) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ ∩ 𝑠) ∈ Fin)
158	155, 156, 157	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝑥 ∩ ∩ 𝑠) ∈ Fin)
159		hashcl 14347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∩ ∩ 𝑠) ∈ Fin → (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)) ∈ ℕ0)
160	158, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)) ∈ ℕ0)
161	160	nn0cnd 12564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)) ∈ ℂ)
162	154, 161	mulcld 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) ∈ ℂ)
163	135, 141, 147, 162	fsumsplit 15719	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)))))
164		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑠) = (♯‘(𝑡 ∪ {𝑧})))
165	164	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → (-1↑(♯‘𝑠)) = (-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))))
166		inteq 4947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → ∩ 𝑠 = ∩ (𝑡 ∪ {𝑧}))
167		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑧 ∈ V
168	167	intunsn 4987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∩ (𝑡 ∪ {𝑧}) = (∩ 𝑡 ∩ 𝑧)
169	166, 168	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → ∩ 𝑠 = (∩ 𝑡 ∩ 𝑧))
170	169	ineq2d 4206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ∩ ∩ 𝑠) = (𝑥 ∩ (∩ 𝑡 ∩ 𝑧)))
171	170	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)) = (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑡 ∩ 𝑧))))
172	165, 171	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) = ((-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑡 ∩ 𝑧)))))
173		pwfi 9201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
174	142, 173	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
175		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑢 ∪ {𝑧})) = (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑢 ∪ {𝑧}))
176		elpwi 4605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 → 𝑢 ⊆ 𝑦)
177	176	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑢 ⊆ 𝑦)
178		unss1 4173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ⊆ 𝑦 → (𝑢 ∪ {𝑧}) ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))
179	177, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑢 ∪ {𝑧}) ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))
180		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑢 ∈ V
181		vsnex 5425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑧} ∈ V
182	180, 181	unex 7746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ V
183	182	elpw 4602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑢 ∪ {𝑧}) ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))
184	179, 183	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
185		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
186		elpwi 4605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ 𝒫 𝑦 → (𝑢 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
187		ssun2 4167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑢 ∪ {𝑧})
188	167	snss 4785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑢 ∪ {𝑧}) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑢 ∪ {𝑧}))
189	187, 188	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑧 ∈ (𝑢 ∪ {𝑧})
190	189	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝑢 ∪ {𝑧}))
191		ssel 3965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑢 ∪ {𝑧}) → 𝑧 ∈ 𝑦))
192	186, 190, 191	syl2imc 41	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → ((𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ 𝒫 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))
193	185, 192	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → ¬ (𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ 𝒫 𝑦)
194	184, 193	eldifd 3950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))
195		eldifi 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦) → 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
196	195	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
197	196	elpwid 4607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → 𝑠 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))
198		uncom 4146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ 𝑦)
199	197, 198	sseqtrdi 4023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → 𝑠 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦))
200		ssundif 4483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦) ↔ (𝑠 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
201	199, 200	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → (𝑠 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
202		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
203	202	elpw2 5342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∖ {𝑧}) ∈ 𝒫 𝑦 ↔ (𝑠 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
204	201, 203	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → (𝑠 ∖ {𝑧}) ∈ 𝒫 𝑦)
205		elpwunsn 4683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑠)
206	205	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝑠)
207	206	snssd 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → {𝑧} ⊆ 𝑠)
208		ssequn2 4177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝑠 ↔ (𝑠 ∪ {𝑧}) = 𝑠)
209	207, 208	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → (𝑠 ∪ {𝑧}) = 𝑠)
210	209	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → 𝑠 = (𝑠 ∪ {𝑧}))
211		uneq1 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) → (𝑢 ∪ {𝑧}) = ((𝑠 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
212		undif1 4471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = (𝑠 ∪ {𝑧})
213	211, 212	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) → (𝑢 ∪ {𝑧}) = (𝑠 ∪ {𝑧}))
214	213	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) → (𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧}) ↔ 𝑠 = (𝑠 ∪ {𝑧})))
215	210, 214	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) → 𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧})))
216	176	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → 𝑢 ⊆ 𝑦)
217		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
218	216, 217	ssneldd 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑢)
219		difsnb 4805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝑢 ↔ (𝑢 ∖ {𝑧}) = 𝑢)
220	218, 219	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → (𝑢 ∖ {𝑧}) = 𝑢)
221	220	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → 𝑢 = (𝑢 ∖ {𝑧}))
222		difeq1 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧}) → (𝑠 ∖ {𝑧}) = ((𝑢 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑧}))
223		difun2 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑧}) = (𝑢 ∖ {𝑧})
224	222, 223	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧}) → (𝑠 ∖ {𝑧}) = (𝑢 ∖ {𝑧}))
225	224	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧}) → (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) ↔ 𝑢 = (𝑢 ∖ {𝑧})))
226	221, 225	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → (𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧}) → 𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧})))
227	215, 226	impbid 211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) ↔ 𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧})))
228	175, 194, 204, 227	f1o2d 7672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑢 ∪ {𝑧})):𝒫 𝑦–1-1-onto→(𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))
229		uneq1 4149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢 ∪ {𝑧}) = (𝑡 ∪ {𝑧}))
230		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑡 ∈ V
231	230, 181	unex 7746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∪ {𝑧}) ∈ V
232	229, 175, 231	fvmpt 7000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝑦 → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑢 ∪ {𝑧}))‘𝑡) = (𝑡 ∪ {𝑧}))
233	232	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑦) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑢 ∪ {𝑧}))‘𝑡) = (𝑡 ∪ {𝑧}))
234	195, 162	sylan2 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) ∈ ℂ)
235	172, 174, 228, 233, 234	fsumf1o 15701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) = Σ𝑡 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑡 ∩ 𝑧)))))
236		uneq1 4149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∪ {𝑧}) = (𝑠 ∪ {𝑧}))
237	236	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (♯‘(𝑡 ∪ {𝑧})) = (♯‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
238	237	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) = (-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))
239		inteq 4947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ∩ 𝑡 = ∩ 𝑠)
240	239	ineq1d 4205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (∩ 𝑡 ∩ 𝑧) = (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))
241	240	ineq2d 4206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑥 ∩ (∩ 𝑡 ∩ 𝑧)) = (𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))
242	241	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑡 ∩ 𝑧))) = (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))))
243	238, 242	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑡 ∩ 𝑧)))) = ((-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
244	243	cbvsumv 15674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑡 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑡 ∩ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))))
245	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → -1 ∈ ℂ)
246		elpwi 4605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑦 → 𝑠 ⊆ 𝑦)
247		ssfi 9196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ 𝑦) → 𝑠 ∈ Fin)
248	142, 246, 247	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑠 ∈ Fin)
249	248, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
250	245, 249	expp1d 14143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1↑((♯‘𝑠) + 1)) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · -1))
251	246	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑠 ⊆ 𝑦)
252		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
253	251, 252	ssneldd 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑠)
254		hashunsng 14383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ V → ((𝑠 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑠) → (♯‘(𝑠 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑠) + 1)))
255	254	elv 3469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑠) → (♯‘(𝑠 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑠) + 1))
256	248, 253, 255	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (♯‘(𝑠 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑠) + 1))
257	256	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) = (-1↑((♯‘𝑠) + 1)))
258	137	sseli 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑦 → 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
259	258, 154	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1↑(♯‘𝑠)) ∈ ℂ)
260	245, 259	mulcomd 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1 · (-1↑(♯‘𝑠))) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · -1))
261	250, 257, 260	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) = (-1 · (-1↑(♯‘𝑠))))
262	259	mulm1d 11696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1 · (-1↑(♯‘𝑠))) = -(-1↑(♯‘𝑠)))
263	261, 262	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) = -(-1↑(♯‘𝑠)))
264	263	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))) = (-(-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
265		inss1 4223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)) ⊆ 𝑥
266		ssfi 9196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)) ∈ Fin)
267	155, 265, 266	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)) ∈ Fin)
268		hashcl 14347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)) ∈ Fin → (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))) ∈ ℕ0)
269	267, 268	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))) ∈ ℕ0)
270	269	nn0cnd 12564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))) ∈ ℂ)
271	258, 270	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))) ∈ ℂ)
272	259, 271	mulneg1d 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-(-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))) = -((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
273	264, 272	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))) = -((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
274	273	sumeq2dv 15681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦-((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
275	244, 274	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑡 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑡 ∩ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦-((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
276	154, 270	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))) ∈ ℂ)
277	258, 276	sylan2 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))) ∈ ℂ)
278	174, 277	fsumneg 15765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦-((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))) = -Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
279	235, 275, 278	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) = -Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))))
280	279	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) + -Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))))))
281	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
282	281	sselda 3972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
283	282, 162	syldan 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) ∈ ℂ)
284	174, 283	fsumcl 15711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) ∈ ℂ)
285	282, 276	syldan 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))) ∈ ℂ)
286	174, 285	fsumcl 15711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧)))) ∈ ℂ)
287	284, 286	negsubd 11607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) + -Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) − Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))))))
288	163, 280, 287	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) − Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))))))
289	288	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))) − Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ (∩ 𝑠 ∩ 𝑧))))))
290	101, 133, 289	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))))
291	290	ex 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)))))
292	291	ralrimdva 3144	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) → ∀𝑥 ∈ Fin ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)))))
293		ineq1 4199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)) = (𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))
294	293	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (♯‘(𝑏 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧))) = (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧))))
295	66, 294	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))))
296		ineq1 4199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∩ ∩ 𝑠) = (𝑥 ∩ ∩ 𝑠))
297	296	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)) = (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)))
298	297	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))))
299	298	sumeq2sdv 15682	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))))
300	295, 299	eqeq12d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠)))))
301	300	cbvralvw 3225	. . . 4 ⊢ (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ Fin ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ∩ 𝑠))))
302	292, 301	imbitrrdi 251	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) → ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ (∪ 𝑦 ∪ 𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)))))
303	16, 24, 37, 45, 65, 302	findcard2s 9188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))))
304		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (♯‘𝑏) = (♯‘𝐵))
305		ineq1 4199	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∩ ∪ 𝐴) = (𝐵 ∩ ∪ 𝐴))
306	305	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝐴)) = (♯‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐴)))
307	304, 306	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝐴))) = ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐴))))
308		simpl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑏 = 𝐵)
309	308	ineq1d 4205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 = 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑏 ∩ ∩ 𝑠) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑠))
310	309	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 = 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠)) = (♯‘(𝐵 ∩ ∩ 𝑠)))
311	310	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 = 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 ∩ ∩ 𝑠))))
312	311	sumeq2dv 15681	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 ∩ ∩ 𝑠))))
313	307, 312	eqeq12d 2741	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ↔ ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 ∩ ∩ 𝑠)))))
314	313	rspccva 3600	. 2 ⊢ ((∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ∪ 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 ∩ ∩ 𝑠))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 ∩ ∩ 𝑠))))
315	303, 314	sylan 578	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 ∩ ∩ 𝑠))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  Vcvv 3463   ∖ cdif 3936   ∪ cun 3937   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598  {csn 4624  ∪ cuni 4903  ∩ cint 4944   ↦ cmpt 5226  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   − cmin 11474  -cneg 11475  ℕ₀cn0 12502  ↑cexp 14058  ♯chash 14321  Σcsu 15664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665

This theorem is referenced by:  incexc  15815