MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexclem 15728
Description: Lemma for incexc 15729. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexclem ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘    ๐ต,๐‘ 

Proof of Theorem incexclem
Dummy variables ๐‘ ๐‘ก ๐‘ข ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4881 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฅ = โˆช โˆ…)
2 uni0 4901 . . . . . . . . . . 11 โˆช โˆ… = โˆ…
31, 2eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฅ = โˆ…)
43ineq2d 4177 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆฉ โˆ…))
5 in0 4356 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆฉ โˆ…) = โˆ…
64, 5eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ) = โˆ…)
76fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
8 hash0 14274 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
97, 8eqtrdi 2793 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ)) = 0)
109oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0))
11 pweq 4579 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ๐’ซ ๐‘ฅ = ๐’ซ โˆ…)
12 pw0 4777 . . . . . . 7 ๐’ซ โˆ… = {โˆ…}
1311, 12eqtrdi 2793 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ๐’ซ ๐‘ฅ = {โˆ…})
1413sumeq1d 15593 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
1510, 14eqeq12d 2753 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
1615ralbidv 3175 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
17 unieq 4881 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โˆช ๐‘ฅ = โˆช ๐‘ฆ)
1817ineq2d 4177 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))
1918fveq2d 6851 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)))
2019oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))))
21 pweq 4579 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐’ซ ๐‘ฅ = ๐’ซ ๐‘ฆ)
2221sumeq1d 15593 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
2320, 22eqeq12d 2753 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
2423ralbidv 3175 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
25 unieq 4881 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆช ๐‘ฅ = โˆช (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
26 uniun 4896 . . . . . . . . . 10 โˆช (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (โˆช ๐‘ฆ โˆช โˆช {๐‘ง})
27 unisnv 4893 . . . . . . . . . . 11 โˆช {๐‘ง} = ๐‘ง
2827uneq2i 4125 . . . . . . . . . 10 (โˆช ๐‘ฆ โˆช โˆช {๐‘ง}) = (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)
2926, 28eqtri 2765 . . . . . . . . 9 โˆช (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)
3025, 29eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆช ๐‘ฅ = (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))
3130ineq2d 4177 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))
3231fveq2d 6851 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))))
3332oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))))
34 pweq 4579 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ๐’ซ ๐‘ฅ = ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
3534sumeq1d 15593 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
3633, 35eqeq12d 2753 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
3736ralbidv 3175 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
38 unieq 4881 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โˆช ๐‘ฅ = โˆช ๐ด)
3938ineq2d 4177 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))
4039fveq2d 6851 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด)))
4140oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))))
42 pweq 4579 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐’ซ ๐‘ฅ = ๐’ซ ๐ด)
4342sumeq1d 15593 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
4441, 43eqeq12d 2753 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
4544ralbidv 3175 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
46 hashcl 14263 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
4746nn0cnd 12482 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
4847mulid2d 11180 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)) = (โ™ฏโ€˜๐‘))
49 0ex 5269 . . . . . 6 โˆ… โˆˆ V
5048, 47eqeltrd 2838 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
51 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
5251, 8eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (๐‘  = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = 0)
5352oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘  = โˆ… โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = (-1โ†‘0))
54 neg1cn 12274 . . . . . . . . . 10 -1 โˆˆ โ„‚
55 exp0 13978 . . . . . . . . . 10 (-1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1โ†‘0) = 1)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1โ†‘0) = 1
5753, 56eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐‘  = โˆ… โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = 1)
58 rint0 4956 . . . . . . . . 9 (๐‘  = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = ๐‘)
5958fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (๐‘  = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜๐‘))
6057, 59oveq12d 7380 . . . . . . 7 (๐‘  = โˆ… โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
6160sumsn 15638 . . . . . 6 ((โˆ… โˆˆ V โˆง (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
6249, 50, 61sylancr 588 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
6347subid1d 11508 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = (โ™ฏโ€˜๐‘))
6448, 62, 633eqtr4rd 2788 . . . 4 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
6564rgen 3067 . . 3 โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))
66 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
67 ineq1 4170 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))
6867fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)))
6966, 68oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))))
70 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ = ๐‘ฅ)
7170ineq1d 4176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))
7271fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))
7372oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
7473sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
7569, 74eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
7675rspcva 3582 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
7776adantll 713 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
78 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Fin)
79 inss1 4193 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โŠ† ๐‘ฅ
80 ssfi 9124 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โŠ† ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆˆ Fin)
8178, 79, 80sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆˆ Fin)
82 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)))
83 ineq1 4170 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))
84 in32 4186 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ ๐‘ง)
85 inass 4184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))
8684, 85eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))
8783, 86eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))
8887fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))
8982, 88oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))))
90 ineq1 4170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))
91 in32 4186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = ((๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆฉ ๐‘ง)
92 inass 4184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆฉ ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))
9391, 92eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))
9490, 93eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))
9594fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))
9695oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
9796sumeq2sdv 15596 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
9889, 97eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
9998rspcva 3582 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆˆ Fin โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
10081, 99sylan 581 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
10177, 100oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆ’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
102 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โŠ† ๐‘ฅ
103 ssfi 9124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โŠ† ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆˆ Fin)
10478, 102, 103sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆˆ Fin)
105 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„•0)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„•0)
107106nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
108 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ โ„•0)
10981, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ โ„•0)
110109nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
111 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) โŠ† ๐‘ฅ
112 ssfi 9124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) โŠ† ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin)
11378, 111, 112sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin)
114 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„•0)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„•0)
116115nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„‚)
117 hashun3 14291 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆช (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) = (((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) โˆ’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)))))
118104, 81, 117syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆช (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) = (((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) โˆ’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)))))
119 indi 4238 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆช (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))
120119fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . 12 (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆช (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)))
121 inindi 4191 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))
122121fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)))
123122oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))) = (((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) โˆ’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))))
124118, 120, 1233eqtr4g 2802 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))) = (((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))))
125107, 110, 116, 124assraddsubd 11576 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))))
126125oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))))))
127 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
128127adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
129128nn0cnd 12482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
130110, 116subcld 11519 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))) โˆˆ โ„‚)
131129, 107, 130subsub4d 11550 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))))))
132126, 131eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))))
133132adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))))
134 disjdif 4436 . . . . . . . . . . 11 (๐’ซ ๐‘ฆ โˆฉ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) = โˆ…
135134a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐’ซ ๐‘ฆ โˆฉ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) = โˆ…)
136 ssun1 4137 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘ฆ โŠ† (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})
137136sspwi 4577 . . . . . . . . . . . . 13 ๐’ซ ๐‘ฆ โŠ† ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})
138 undif 4446 . . . . . . . . . . . . 13 (๐’ซ ๐‘ฆ โŠ† ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†” (๐’ซ ๐‘ฆ โˆช (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) = ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
139137, 138mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (๐’ซ ๐‘ฆ โˆช (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) = ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})
140139eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (๐’ซ ๐‘ฆ โˆช (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (๐’ซ ๐‘ฆ โˆช (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)))
142 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
143 snfi 8995 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ง} โˆˆ Fin
144 unfi 9123 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
145142, 143, 144sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
146 pwfi 9129 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
147145, 146sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
14854a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
149 elpwi 4572 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ๐‘  โŠ† (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
150 ssfi 9124 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin โˆง ๐‘  โŠ† (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
151145, 149, 150syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
152 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
154148, 153expcld 14058 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
155 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Fin)
156 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โŠ† ๐‘ฅ
157 ssfi 9124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โŠ† ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ Fin)
158155, 156, 157sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ Fin)
159 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„•0)
160158, 159syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„•0)
161160nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
162154, 161mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆˆ โ„‚)
163135, 141, 147, 162fsumsplit 15633 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) + ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
164 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง})))
165164oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))))
166 inteq 4915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆฉ ๐‘  = โˆฉ (๐‘ก โˆช {๐‘ง}))
167 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ง โˆˆ V
168167intunsn 4955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆฉ (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) = (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)
169166, 168eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆฉ ๐‘  = (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง))
170169ineq2d 4177 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))
171170fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง))))
172165, 171oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))))
173 pwfi 9129 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
174142, 173sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
175 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง})) = (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}))
176 elpwi 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ข โŠ† ๐‘ฆ)
177176adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ข โŠ† ๐‘ฆ)
178 unss1 4144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ข โŠ† ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โŠ† (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โŠ† (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
180 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ข โˆˆ V
181 vsnex 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {๐‘ง} โˆˆ V
182180, 181unex 7685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ V
183182elpw 4569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†” (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โŠ† (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
184179, 183sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
185 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
186 elpwi 4572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โŠ† ๐‘ฆ)
187 ssun2 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {๐‘ง} โŠ† (๐‘ข โˆช {๐‘ง})
188167snss 4751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง โˆˆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†” {๐‘ง} โŠ† (๐‘ข โˆช {๐‘ง}))
189187, 188mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ง โˆˆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง})
190189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}))
191 ssel 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โŠ† ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง โˆˆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ))
192186, 190, 191syl2imc 41 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ))
193185, 192mtod 197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ)
194184, 193eldifd 3926 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))
195 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
196195adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
197196elpwid 4574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘  โŠ† (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
198 uncom 4118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = ({๐‘ง} โˆช ๐‘ฆ)
199197, 198sseqtrdi 3999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘  โŠ† ({๐‘ง} โˆช ๐‘ฆ))
200 ssundif 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โŠ† ({๐‘ง} โˆช ๐‘ฆ) โ†” (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โŠ† ๐‘ฆ)
201199, 200sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โŠ† ๐‘ฆ)
202 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ฆ โˆˆ V
203202elpw2 5307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†” (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โŠ† ๐‘ฆ)
204201, 203sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ)
205 elpwunsn 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ )
206205ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ )
207206snssd 4774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ {๐‘ง} โŠ† ๐‘ )
208 ssequn2 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({๐‘ง} โŠ† ๐‘  โ†” (๐‘  โˆช {๐‘ง}) = ๐‘ )
209207, 208sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘  โˆช {๐‘ง}) = ๐‘ )
210209eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘  = (๐‘  โˆช {๐‘ง}))
211 uneq1 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) = ((๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โˆช {๐‘ง}))
212 undif1 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โˆช {๐‘ง}) = (๐‘  โˆช {๐‘ง})
213211, 212eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) = (๐‘  โˆช {๐‘ง}))
214213eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†’ (๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†” ๐‘  = (๐‘  โˆช {๐‘ง})))
215210, 214syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†’ ๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง})))
216176ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข โŠ† ๐‘ฆ)
217 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
218216, 217ssneldd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ข)
219 difsnb 4771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ข โ†” (๐‘ข โˆ– {๐‘ง}) = ๐‘ข)
220218, 219sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ข โˆ– {๐‘ง}) = ๐‘ข)
221220eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข = (๐‘ข โˆ– {๐‘ง}))
222 difeq1 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) = ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆ– {๐‘ง}))
223 difun2 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆ– {๐‘ง}) = (๐‘ข โˆ– {๐‘ง})
224222, 223eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) = (๐‘ข โˆ– {๐‘ง}))
225224eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†” ๐‘ข = (๐‘ข โˆ– {๐‘ง})))
226221, 225syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†’ ๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง})))
227215, 226impbid 211 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†” ๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง})))
228175, 194, 204, 227f1o2d 7612 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง})):๐’ซ ๐‘ฆโ€“1-1-ontoโ†’(๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))
229 uneq1 4121 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = ๐‘ก โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}))
230 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ก โˆˆ V
231230, 181unex 7685 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โˆˆ V
232229, 175, 231fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}))โ€˜๐‘ก) = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}))
233232adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}))โ€˜๐‘ก) = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}))
234195, 162sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆˆ โ„‚)
235172, 174, 228, 233, 234fsumf1o 15615 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘ก โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))))
236 uneq1 4121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) = (๐‘  โˆช {๐‘ง}))
237236fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง})) = (โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง})))
238237oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))))
239 inteq 4915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ โˆฉ ๐‘ก = โˆฉ ๐‘ )
240239ineq1d 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง) = (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))
241240ineq2d 4177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))
242241fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง))) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))
243238, 242oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
244243cbvsumv 15588 . . . . . . . . . . . 12 ฮฃ๐‘ก โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))
24554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
246 elpwi 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘  โŠ† ๐‘ฆ)
247 ssfi 9124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ๐‘  โŠ† ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
248142, 246, 247syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
249248, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
250245, 249expp1d 14059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) + 1)) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท -1))
251246adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘  โŠ† ๐‘ฆ)
252 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
253251, 252ssneldd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ )
254 hashunsng 14299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ ((๐‘  โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) + 1)))
255254elv 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘  โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) + 1))
256248, 253, 255syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) + 1))
257256oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) = (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) + 1)))
258137sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
259258, 154sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
260245, 259mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท -1))
261250, 257, 2603eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) = (-1 ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ ))))
262259mulm1d 11614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ ))) = -(-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )))
263261, 262eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) = -(-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )))
264263oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) = (-(-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
265 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)) โŠ† ๐‘ฅ
266 ssfi 9124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)) โŠ† ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin)
267155, 265, 266sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin)
268 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„•0)
269267, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„•0)
270269nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„‚)
271258, 270sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„‚)
272259, 271mulneg1d 11615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-(-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) = -((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
273264, 272eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) = -((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
274273sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ-((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
275244, 274eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘ก โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ-((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
276154, 270mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) โˆˆ โ„‚)
277258, 276sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) โˆˆ โ„‚)
278174, 277fsumneg 15679 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ-((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) = -ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
279235, 275, 2783eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = -ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
280279oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) + ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) + -ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
281137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ ๐‘ฆ โŠ† ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
282281sselda 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
283282, 162syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆˆ โ„‚)
284174, 283fsumcl 15625 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆˆ โ„‚)
285282, 276syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) โˆˆ โ„‚)
286174, 285fsumcl 15625 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) โˆˆ โ„‚)
287284, 286negsubd 11525 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) + -ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆ’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
288163, 280, 2873eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆ’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
289288adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆ’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
290101, 133, 2893eqtr4d 2787 . . . . . 6 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
291290ex 414 . . . . 5 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
292291ralrimdva 3152 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
293 ineq1 4170 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))
294293fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))))
29566, 294oveq12d 7380 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))))
296 ineq1 4170 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))
297296fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))
298297oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
299298sumeq2sdv 15596 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
300295, 299eqeq12d 2753 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
301300cbvralvw 3228 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
302292, 301syl6ibr 252 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
30316, 24, 37, 45, 65, 302findcard2s 9116 . 2 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
304 fveq2 6847 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
305 ineq1 4170 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด) = (๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))
306305fveq2d 6851 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด)) = (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด)))
307304, 306oveq12d 7380 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))))
308 simpl 484 . . . . . . . 8 ((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ๐‘ = ๐ต)
309308ineq1d 4176 . . . . . . 7 ((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))
310309fveq2d 6851 . . . . . 6 ((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))
311310oveq2d 7378 . . . . 5 ((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
312311sumeq2dv 15595 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
313307, 312eqeq12d 2753 . . 3 (๐‘ = ๐ต โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
314313rspccva 3583 . 2 ((โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
315303, 314sylan 581 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  Vcvv 3448   โˆ– cdif 3912   โˆช cun 3913   โˆฉ cin 3914   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  ๐’ซ cpw 4565  {csn 4591  โˆช cuni 4870  โˆฉ cint 4912   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974  โ™ฏchash 14237  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  incexc  15729
  Copyright terms: Public domain W3C validator