MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexclem 15788
Description: Lemma for incexc 15789. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexclem ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘    ๐ต,๐‘ 

Proof of Theorem incexclem
Dummy variables ๐‘ ๐‘ก ๐‘ข ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4913 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฅ = โˆช โˆ…)
2 uni0 4932 . . . . . . . . . . 11 โˆช โˆ… = โˆ…
31, 2eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆช ๐‘ฅ = โˆ…)
43ineq2d 4207 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆฉ โˆ…))
5 in0 4386 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆฉ โˆ…) = โˆ…
64, 5eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ) = โˆ…)
76fveq2d 6889 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
8 hash0 14332 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
97, 8eqtrdi 2782 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ)) = 0)
109oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0))
11 pweq 4611 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ๐’ซ ๐‘ฅ = ๐’ซ โˆ…)
12 pw0 4810 . . . . . . 7 ๐’ซ โˆ… = {โˆ…}
1311, 12eqtrdi 2782 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ๐’ซ ๐‘ฅ = {โˆ…})
1413sumeq1d 15653 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
1510, 14eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
1615ralbidv 3171 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
17 unieq 4913 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โˆช ๐‘ฅ = โˆช ๐‘ฆ)
1817ineq2d 4207 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))
1918fveq2d 6889 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)))
2019oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))))
21 pweq 4611 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐’ซ ๐‘ฅ = ๐’ซ ๐‘ฆ)
2221sumeq1d 15653 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
2320, 22eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
2423ralbidv 3171 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
25 unieq 4913 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆช ๐‘ฅ = โˆช (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
26 uniun 4927 . . . . . . . . . 10 โˆช (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (โˆช ๐‘ฆ โˆช โˆช {๐‘ง})
27 unisnv 4924 . . . . . . . . . . 11 โˆช {๐‘ง} = ๐‘ง
2827uneq2i 4155 . . . . . . . . . 10 (โˆช ๐‘ฆ โˆช โˆช {๐‘ง}) = (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)
2926, 28eqtri 2754 . . . . . . . . 9 โˆช (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)
3025, 29eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆช ๐‘ฅ = (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))
3130ineq2d 4207 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))
3231fveq2d 6889 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))))
3332oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))))
34 pweq 4611 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ๐’ซ ๐‘ฅ = ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
3534sumeq1d 15653 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
3633, 35eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
3736ralbidv 3171 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
38 unieq 4913 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โˆช ๐‘ฅ = โˆช ๐ด)
3938ineq2d 4207 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ) = (๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))
4039fveq2d 6889 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด)))
4140oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))))
42 pweq 4611 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐’ซ ๐‘ฅ = ๐’ซ ๐ด)
4342sumeq1d 15653 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
4441, 43eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
4544ralbidv 3171 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฅ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
46 hashcl 14321 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
4746nn0cnd 12538 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
4847mullidd 11236 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)) = (โ™ฏโ€˜๐‘))
49 0ex 5300 . . . . . 6 โˆ… โˆˆ V
5048, 47eqeltrd 2827 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
51 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
5251, 8eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (๐‘  = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = 0)
5352oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘  = โˆ… โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = (-1โ†‘0))
54 neg1cn 12330 . . . . . . . . . 10 -1 โˆˆ โ„‚
55 exp0 14036 . . . . . . . . . 10 (-1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1โ†‘0) = 1)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1โ†‘0) = 1
5753, 56eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (๐‘  = โˆ… โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = 1)
58 rint0 4987 . . . . . . . . 9 (๐‘  = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = ๐‘)
5958fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (๐‘  = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜๐‘))
6057, 59oveq12d 7423 . . . . . . 7 (๐‘  = โˆ… โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
6160sumsn 15698 . . . . . 6 ((โˆ… โˆˆ V โˆง (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
6249, 50, 61sylancr 586 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
6347subid1d 11564 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = (โ™ฏโ€˜๐‘))
6448, 62, 633eqtr4rd 2777 . . . 4 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
6564rgen 3057 . . 3 โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))
66 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
67 ineq1 4200 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))
6867fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)))
6966, 68oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))))
70 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ = ๐‘ฅ)
7170ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))
7271fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))
7372oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
7473sumeq2dv 15655 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
7569, 74eqeq12d 2742 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
7675rspcva 3604 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
7776adantll 711 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
78 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Fin)
79 inss1 4223 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โІ ๐‘ฅ
80 ssfi 9175 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โІ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆˆ Fin)
8178, 79, 80sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆˆ Fin)
82 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)))
83 ineq1 4200 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))
84 in32 4216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ ๐‘ง)
85 inass 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))
8684, 85eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))
8783, 86eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))
8887fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))
8982, 88oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))))
90 ineq1 4200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))
91 in32 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = ((๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆฉ ๐‘ง)
92 inass 4214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆฉ ๐‘ง) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))
9391, 92eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))
9490, 93eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))
9594fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))
9695oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
9796sumeq2sdv 15656 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
9889, 97eqeq12d 2742 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
9998rspcva 3604 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆˆ Fin โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
10081, 99sylan 579 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
10177, 100oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆ’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
102 inss1 4223 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โІ ๐‘ฅ
103 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โІ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆˆ Fin)
10478, 102, 103sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆˆ Fin)
105 hashcl 14321 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„•0)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„•0)
107106nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
108 hashcl 14321 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ โ„•0)
10981, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ โ„•0)
110109nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
111 inss1 4223 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) โІ ๐‘ฅ
112 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) โІ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin)
11378, 111, 112sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin)
114 hashcl 14321 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„•0)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„•0)
116115nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„‚)
117 hashun3 14349 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆช (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) = (((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) โˆ’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)))))
118104, 81, 117syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆช (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) = (((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) โˆ’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)))))
119 indi 4268 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆช (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))
120119fveq2i 6888 . . . . . . . . . . . 12 (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆช (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)))
121 inindi 4221 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))
122121fveq2i 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)))
123122oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . 12 (((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))) = (((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) โˆ’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ) โˆฉ (๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))))
124118, 120, 1233eqtr4g 2791 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))) = (((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง))) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))))
125107, 110, 116, 124assraddsubd 11632 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))))
126125oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))))))
127 hashcl 14321 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
128127adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
129128nn0cnd 12538 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
130110, 116subcld 11575 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))) โˆˆ โ„‚)
131129, 107, 130subsub4d 11606 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ)) + ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง)))))))
132126, 131eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))))
133132adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) โˆ’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ ๐‘ง)) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆฉ ๐‘ง))))))
134 disjdif 4466 . . . . . . . . . . 11 (๐’ซ ๐‘ฆ โˆฉ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) = โˆ…
135134a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐’ซ ๐‘ฆ โˆฉ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) = โˆ…)
136 ssun1 4167 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘ฆ โІ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})
137136sspwi 4609 . . . . . . . . . . . . 13 ๐’ซ ๐‘ฆ โІ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})
138 undif 4476 . . . . . . . . . . . . 13 (๐’ซ ๐‘ฆ โІ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†” (๐’ซ ๐‘ฆ โˆช (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) = ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
139137, 138mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (๐’ซ ๐‘ฆ โˆช (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) = ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})
140139eqcomi 2735 . . . . . . . . . . 11 ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (๐’ซ ๐‘ฆ โˆช (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (๐’ซ ๐‘ฆ โˆช (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)))
142 simpll 764 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
143 snfi 9046 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ง} โˆˆ Fin
144 unfi 9174 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
145142, 143, 144sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
146 pwfi 9180 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
147145, 146sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
14854a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
149 elpwi 4604 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ๐‘  โІ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
150 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin โˆง ๐‘  โІ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
151145, 149, 150syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
152 hashcl 14321 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
154148, 153expcld 14116 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
155 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Fin)
156 inss1 4223 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โІ ๐‘ฅ
157 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โІ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ Fin)
158155, 156, 157sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ Fin)
159 hashcl 14321 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„•0)
160158, 159syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„•0)
161160nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
162154, 161mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆˆ โ„‚)
163135, 141, 147, 162fsumsplit 15693 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) + ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
164 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง})))
165164oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))))
166 inteq 4946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆฉ ๐‘  = โˆฉ (๐‘ก โˆช {๐‘ง}))
167 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ง โˆˆ V
168167intunsn 4986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆฉ (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) = (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)
169166, 168eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆฉ ๐‘  = (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง))
170169ineq2d 4207 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))
171170fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง))))
172165, 171oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))))
173 pwfi 9180 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
174142, 173sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
175 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง})) = (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}))
176 elpwi 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ข โІ ๐‘ฆ)
177176adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ข โІ ๐‘ฆ)
178 unss1 4174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ข โІ ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โІ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โІ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
180 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ข โˆˆ V
181 vsnex 5422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {๐‘ง} โˆˆ V
182180, 181unex 7730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ V
183182elpw 4601 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†” (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โІ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
184179, 183sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
185 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
186 elpwi 4604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โІ ๐‘ฆ)
187 ssun2 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {๐‘ง} โІ (๐‘ข โˆช {๐‘ง})
188167snss 4784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ง โˆˆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†” {๐‘ง} โІ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}))
189187, 188mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ง โˆˆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง})
190189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}))
191 ssel 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โІ ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง โˆˆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ))
192186, 190, 191syl2imc 41 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ))
193185, 192mtod 197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ)
194184, 193eldifd 3954 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))
195 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
196195adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
197196elpwid 4606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘  โІ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
198 uncom 4148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = ({๐‘ง} โˆช ๐‘ฆ)
199197, 198sseqtrdi 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘  โІ ({๐‘ง} โˆช ๐‘ฆ))
200 ssundif 4482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โІ ({๐‘ง} โˆช ๐‘ฆ) โ†” (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โІ ๐‘ฆ)
201199, 200sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โІ ๐‘ฆ)
202 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ฆ โˆˆ V
203202elpw2 5338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†” (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โІ ๐‘ฆ)
204201, 203sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ)
205 elpwunsn 4682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ )
206205ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ )
207206snssd 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ {๐‘ง} โІ ๐‘ )
208 ssequn2 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({๐‘ง} โІ ๐‘  โ†” (๐‘  โˆช {๐‘ง}) = ๐‘ )
209207, 208sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘  โˆช {๐‘ง}) = ๐‘ )
210209eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘  = (๐‘  โˆช {๐‘ง}))
211 uneq1 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) = ((๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โˆช {๐‘ง}))
212 undif1 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โˆช {๐‘ง}) = (๐‘  โˆช {๐‘ง})
213211, 212eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) = (๐‘  โˆช {๐‘ง}))
214213eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†’ (๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†” ๐‘  = (๐‘  โˆช {๐‘ง})))
215210, 214syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†’ ๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง})))
216176ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข โІ ๐‘ฆ)
217 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
218216, 217ssneldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ข)
219 difsnb 4804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ข โ†” (๐‘ข โˆ– {๐‘ง}) = ๐‘ข)
220218, 219sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ข โˆ– {๐‘ง}) = ๐‘ข)
221220eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ข = (๐‘ข โˆ– {๐‘ง}))
222 difeq1 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) = ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆ– {๐‘ง}))
223 difun2 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โˆ– {๐‘ง}) = (๐‘ข โˆ– {๐‘ง})
224222, 223eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) = (๐‘ข โˆ– {๐‘ง}))
225224eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†” ๐‘ข = (๐‘ข โˆ– {๐‘ง})))
226221, 225syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) โ†’ ๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง})))
227215, 226impbid 211 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ข = (๐‘  โˆ– {๐‘ง}) โ†” ๐‘  = (๐‘ข โˆช {๐‘ง})))
228175, 194, 204, 227f1o2d 7657 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง})):๐’ซ ๐‘ฆโ€“1-1-ontoโ†’(๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ))
229 uneq1 4151 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = ๐‘ก โ†’ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}) = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}))
230 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ก โˆˆ V
231230, 181unex 7730 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) โˆˆ V
232229, 175, 231fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}))โ€˜๐‘ก) = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}))
233232adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ก โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ข โˆช {๐‘ง}))โ€˜๐‘ก) = (๐‘ก โˆช {๐‘ง}))
234195, 162sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆˆ โ„‚)
235172, 174, 228, 233, 234fsumf1o 15675 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘ก โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))))
236 uneq1 4151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (๐‘ก โˆช {๐‘ง}) = (๐‘  โˆช {๐‘ง}))
237236fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง})) = (โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง})))
238237oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))))
239 inteq 4946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ โˆฉ ๐‘ก = โˆฉ ๐‘ )
240239ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง) = (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))
241240ineq2d 4207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))
242241fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง))) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))
243238, 242oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ๐‘  โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
244243cbvsumv 15648 . . . . . . . . . . . 12 ฮฃ๐‘ก โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))
24554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
246 elpwi 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘  โІ ๐‘ฆ)
247 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ๐‘  โІ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
248142, 246, 247syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
249248, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
250245, 249expp1d 14117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) + 1)) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท -1))
251246adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘  โІ ๐‘ฆ)
252 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
253251, 252ssneldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ )
254 hashunsng 14357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ ((๐‘  โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) + 1)))
255254elv 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘  โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) + 1))
256248, 253, 255syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) + 1))
257256oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) = (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) + 1)))
258137sseli 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
259258, 154sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
260245, 259mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท -1))
261250, 257, 2603eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) = (-1 ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ ))))
262259mulm1d 11670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ ))) = -(-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )))
263261, 262eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) = -(-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )))
264263oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) = (-(-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
265 inss1 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)) โІ ๐‘ฅ
266 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)) โІ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin)
267155, 265, 266sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin)
268 hashcl 14321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„•0)
269267, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„•0)
270269nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„‚)
271258, 270sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))) โˆˆ โ„‚)
272259, 271mulneg1d 11671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ (-(-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) = -((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
273264, 272eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) = -((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
274273sumeq2dv 15655 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘  โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ-((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
275244, 274eqtrid 2778 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘ก โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(๐‘ก โˆช {๐‘ง}))) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘ก โˆฉ ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ-((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
276154, 270mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) โˆˆ โ„‚)
277258, 276sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) โˆˆ โ„‚)
278174, 277fsumneg 15739 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ-((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) = -ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
279235, 275, 2783eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = -ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))))
280279oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) + ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆ– ๐’ซ ๐‘ฆ)((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) + -ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
281137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ๐’ซ ๐‘ฆ โІ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
282281sselda 3977 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
283282, 162syldan 590 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆˆ โ„‚)
284174, 283fsumcl 15685 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆˆ โ„‚)
285282, 276syldan 590 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) โˆˆ โ„‚)
286174, 285fsumcl 15685 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง)))) โˆˆ โ„‚)
287284, 286negsubd 11581 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) + -ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆ’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
288163, 280, 2873eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆ’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
289288adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆ’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆฉ ๐‘  โˆฉ ๐‘ง))))))
290101, 133, 2893eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
291290ex 412 . . . . 5 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
292291ralrimdva 3148 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
293 ineq1 4200 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)) = (๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))
294293fveq2d 6889 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง))))
29566, 294oveq12d 7423 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))))
296 ineq1 4200 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))
297296fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))
298297oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
299298sumeq2sdv 15656 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
300295, 299eqeq12d 2742 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
301300cbvralvw 3228 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
302292, 301imbitrrdi 251 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐‘ฆ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐‘ฆ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ (โˆช ๐‘ฆ โˆช ๐‘ง)))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
30316, 24, 37, 45, 65, 302findcard2s 9167 . 2 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
304 fveq2 6885 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
305 ineq1 4200 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด) = (๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))
306305fveq2d 6889 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด)) = (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด)))
307304, 306oveq12d 7423 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))))
308 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ๐‘ = ๐ต)
309308ineq1d 4206 . . . . . . 7 ((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = (๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))
310309fveq2d 6889 . . . . . 6 ((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))
311310oveq2d 7421 . . . . 5 ((๐‘ = ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
312311sumeq2dv 15655 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
313307, 312eqeq12d 2742 . . 3 (๐‘ = ๐ต โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
314313rspccva 3605 . 2 ((โˆ€๐‘ โˆˆ Fin ((โ™ฏโ€˜๐‘) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐‘ โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
315303, 314sylan 579 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940   โˆช cun 3941   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  ๐’ซ cpw 4597  {csn 4623  โˆช cuni 4902  โˆฉ cint 4943   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14032  โ™ฏchash 14295  ฮฃcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  incexc  15789
  Copyright terms: Public domain W3C validator