MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexclem 15182
Description: Lemma for incexc 15183. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexclem ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐵 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 𝑠))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠

Proof of Theorem incexclem
Dummy variables 𝑏 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4832 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
2 uni0 4849 . . . . . . . . . . 11 ∅ = ∅
31, 2syl6eq 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
43ineq2d 4172 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑏 𝑥) = (𝑏 ∩ ∅))
5 in0 4326 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∩ ∅) = ∅
64, 5syl6eq 2875 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑏 𝑥) = ∅)
76fveq2d 6657 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (♯‘(𝑏 𝑥)) = (♯‘∅))
8 hash0 13724 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
97, 8syl6eq 2875 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (♯‘(𝑏 𝑥)) = 0)
109oveq2d 7156 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = ((♯‘𝑏) − 0))
11 pweq 4536 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → 𝒫 𝑥 = 𝒫 ∅)
12 pw0 4728 . . . . . . 7 𝒫 ∅ = {∅}
1311, 12syl6eq 2875 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → 𝒫 𝑥 = {∅})
1413sumeq1d 15049 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))))
1510, 14eqeq12d 2840 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑏) − 0) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))))
1615ralbidv 3191 . . 3 (𝑥 = ∅ → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − 0) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))))
17 unieq 4832 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 𝑥 = 𝑦)
1817ineq2d 4172 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑏 𝑥) = (𝑏 𝑦))
1918fveq2d 6657 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘(𝑏 𝑥)) = (♯‘(𝑏 𝑦)))
2019oveq2d 7156 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))))
21 pweq 4536 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑦)
2221sumeq1d 15049 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))))
2320, 22eqeq12d 2840 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))))
2423ralbidv 3191 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))))
25 unieq 4832 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}))
26 uniun 4844 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∪ {𝑧}) = ( 𝑦 {𝑧})
27 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
2827unisn 4841 . . . . . . . . . . 11 {𝑧} = 𝑧
2928uneq2i 4120 . . . . . . . . . 10 ( 𝑦 {𝑧}) = ( 𝑦𝑧)
3026, 29eqtri 2847 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∪ {𝑧}) = ( 𝑦𝑧)
3125, 30syl6eq 2875 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑥 = ( 𝑦𝑧))
3231ineq2d 4172 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑏 𝑥) = (𝑏 ∩ ( 𝑦𝑧)))
3332fveq2d 6657 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘(𝑏 𝑥)) = (♯‘(𝑏 ∩ ( 𝑦𝑧))))
3433oveq2d 7156 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ( 𝑦𝑧)))))
35 pweq 4536 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
3635sumeq1d 15049 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))))
3734, 36eqeq12d 2840 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))))
3837ralbidv 3191 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))))
39 unieq 4832 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
4039ineq2d 4172 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑏 𝑥) = (𝑏 𝐴))
4140fveq2d 6657 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘(𝑏 𝑥)) = (♯‘(𝑏 𝐴)))
4241oveq2d 7156 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝐴))))
43 pweq 4536 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
4443sumeq1d 15049 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))))
4542, 44eqeq12d 2840 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))))
4645ralbidv 3191 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑥))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑥((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))))
47 hashcl 13713 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ Fin → (♯‘𝑏) ∈ ℕ0)
4847nn0cnd 11945 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Fin → (♯‘𝑏) ∈ ℂ)
4948mulid2d 10646 . . . . 5 (𝑏 ∈ Fin → (1 · (♯‘𝑏)) = (♯‘𝑏))
50 0ex 5194 . . . . . 6 ∅ ∈ V
5149, 48eqeltrd 2916 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Fin → (1 · (♯‘𝑏)) ∈ ℂ)
52 fveq2 6653 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = (♯‘∅))
5352, 8syl6eq 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = 0)
5453oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = (-1↑0))
55 neg1cn 11739 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
56 exp0 13429 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑0) = 1
5854, 57syl6eq 2875 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = 1)
59 rint0 4899 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (𝑏 𝑠) = 𝑏)
6059fveq2d 6657 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → (♯‘(𝑏 𝑠)) = (♯‘𝑏))
6158, 60oveq12d 7158 . . . . . . 7 (𝑠 = ∅ → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = (1 · (♯‘𝑏)))
6261sumsn 15092 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ (1 · (♯‘𝑏)) ∈ ℂ) → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = (1 · (♯‘𝑏)))
6350, 51, 62sylancr 590 . . . . 5 (𝑏 ∈ Fin → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = (1 · (♯‘𝑏)))
6448subid1d 10973 . . . . 5 (𝑏 ∈ Fin → ((♯‘𝑏) − 0) = (♯‘𝑏))
6549, 63, 643eqtr4rd 2870 . . . 4 (𝑏 ∈ Fin → ((♯‘𝑏) − 0) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))))
6665rgen 3142 . . 3 𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − 0) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))
67 fveq2 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑥 → (♯‘𝑏) = (♯‘𝑥))
68 ineq1 4164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 𝑦) = (𝑥 𝑦))
6968fveq2d 6657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑥 → (♯‘(𝑏 𝑦)) = (♯‘(𝑥 𝑦)))
7067, 69oveq12d 7158 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑥 → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 𝑦))))
71 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 = 𝑥𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑏 = 𝑥)
7271ineq1d 4171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 = 𝑥𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑏 𝑠) = (𝑥 𝑠))
7372fveq2d 6657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 = 𝑥𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (♯‘(𝑏 𝑠)) = (♯‘(𝑥 𝑠)))
7473oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝑥𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))))
7574sumeq2dv 15051 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))))
7670, 75eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑥 → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠)))))
7776rspcva 3606 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))))
7877adantll 713 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))))
79 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
80 inss1 4188 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑧) ⊆ 𝑥
81 ssfi 8724 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑧) ⊆ 𝑥) → (𝑥𝑧) ∈ Fin)
8279, 80, 81sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑥𝑧) ∈ Fin)
83 fveq2 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑥𝑧) → (♯‘𝑏) = (♯‘(𝑥𝑧)))
84 ineq1 4164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑥𝑧) → (𝑏 𝑦) = ((𝑥𝑧) ∩ 𝑦))
85 in32 4181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑧) ∩ 𝑦) = ((𝑥 𝑦) ∩ 𝑧)
86 inass 4179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 𝑦) ∩ 𝑧) = (𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))
8785, 86eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑧) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))
8884, 87syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑥𝑧) → (𝑏 𝑦) = (𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))
8988fveq2d 6657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑥𝑧) → (♯‘(𝑏 𝑦)) = (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))))
9083, 89oveq12d 7158 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑥𝑧) → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))))
91 ineq1 4164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑥𝑧) → (𝑏 𝑠) = ((𝑥𝑧) ∩ 𝑠))
92 in32 4181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑧) ∩ 𝑠) = ((𝑥 𝑠) ∩ 𝑧)
93 inass 4179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 𝑠) ∩ 𝑧) = (𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))
9492, 93eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑧) ∩ 𝑠) = (𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))
9591, 94syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑥𝑧) → (𝑏 𝑠) = (𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))
9695fveq2d 6657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑥𝑧) → (♯‘(𝑏 𝑠)) = (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))))
9796oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑥𝑧) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
9897sumeq2sdv 15052 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑥𝑧) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
9990, 98eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑥𝑧) → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))))))
10099rspcva 3606 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑧) ∈ Fin ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))) → ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
10182, 100sylan 583 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))) → ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
10278, 101oveq12d 7158 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))) → (((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 𝑦))) − ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) − Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))))))
103 inss1 4188 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑦) ⊆ 𝑥
104 ssfi 8724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 𝑦) ⊆ 𝑥) → (𝑥 𝑦) ∈ Fin)
10579, 103, 104sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑥 𝑦) ∈ Fin)
106 hashcl 13713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑦) ∈ Fin → (♯‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℕ0)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℕ0)
108107nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 𝑦)) ∈ ℂ)
109 hashcl 13713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑧) ∈ Fin → (♯‘(𝑥𝑧)) ∈ ℕ0)
11082, 109syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥𝑧)) ∈ ℕ0)
111110nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥𝑧)) ∈ ℂ)
112 inss1 4188 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)) ⊆ 𝑥
113 ssfi 8724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)) ∈ Fin)
11479, 112, 113sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)) ∈ Fin)
115 hashcl 13713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)) ∈ Fin → (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))) ∈ ℕ0)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))) ∈ ℕ0)
117116nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))) ∈ ℂ)
118 hashun3 13741 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑥𝑧) ∈ Fin) → (♯‘((𝑥 𝑦) ∪ (𝑥𝑧))) = (((♯‘(𝑥 𝑦)) + (♯‘(𝑥𝑧))) − (♯‘((𝑥 𝑦) ∩ (𝑥𝑧)))))
119105, 82, 118syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘((𝑥 𝑦) ∪ (𝑥𝑧))) = (((♯‘(𝑥 𝑦)) + (♯‘(𝑥𝑧))) − (♯‘((𝑥 𝑦) ∩ (𝑥𝑧)))))
120 indi 4233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)) = ((𝑥 𝑦) ∪ (𝑥𝑧))
121120fveq2i 6656 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))) = (♯‘((𝑥 𝑦) ∪ (𝑥𝑧)))
122 inindi 4186 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)) = ((𝑥 𝑦) ∩ (𝑥𝑧))
123122fveq2i 6656 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))) = (♯‘((𝑥 𝑦) ∩ (𝑥𝑧)))
124123oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘(𝑥 𝑦)) + (♯‘(𝑥𝑧))) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = (((♯‘(𝑥 𝑦)) + (♯‘(𝑥𝑧))) − (♯‘((𝑥 𝑦) ∩ (𝑥𝑧))))
125119, 121, 1243eqtr4g 2884 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))) = (((♯‘(𝑥 𝑦)) + (♯‘(𝑥𝑧))) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))))
126108, 111, 117, 125assraddsubd 11041 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))) = ((♯‘(𝑥 𝑦)) + ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))))))
127126oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = ((♯‘𝑥) − ((♯‘(𝑥 𝑦)) + ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))))))
128 hashcl 13713 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
129128adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
130129nn0cnd 11945 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) ∈ ℂ)
131111, 117subcld 10984 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) ∈ ℂ)
132130, 108, 131subsub4d 11015 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 𝑦))) − ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))))) = ((♯‘𝑥) − ((♯‘(𝑥 𝑦)) + ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))))))
133127, 132eqtr4d 2862 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = (((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 𝑦))) − ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))))))
134133adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = (((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 𝑦))) − ((♯‘(𝑥𝑧)) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))))))
135 disjdif 4402 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 𝑦 ∩ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) = ∅
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝒫 𝑦 ∩ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) = ∅)
137 ssun1 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
138137sspwi 4534 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})
139 undif 4411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝒫 𝑦 ∪ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) = 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
140138, 139mpbi 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝑦 ∪ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) = 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})
141140eqcomi 2833 . . . . . . . . . . 11 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝒫 𝑦 ∪ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))
142141a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝒫 𝑦 ∪ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)))
143 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
144 snfi 8579 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧} ∈ Fin
145 unfi 8771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
146143, 144, 145sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
147 pwfi 8805 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
148146, 147sylib 221 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
14955a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → -1 ∈ ℂ)
150 elpwi 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑠 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))
151 ssfi 8724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑠 ∈ Fin)
152146, 150, 151syl2an 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑠 ∈ Fin)
153 hashcl 13713 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ Fin → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
155149, 154expcld 13506 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (-1↑(♯‘𝑠)) ∈ ℂ)
156 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑥 ∈ Fin)
157 inss1 4188 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑠) ⊆ 𝑥
158 ssfi 8724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 𝑠) ⊆ 𝑥) → (𝑥 𝑠) ∈ Fin)
159156, 157, 158sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝑥 𝑠) ∈ Fin)
160 hashcl 13713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑠) ∈ Fin → (♯‘(𝑥 𝑠)) ∈ ℕ0)
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (♯‘(𝑥 𝑠)) ∈ ℕ0)
162161nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (♯‘(𝑥 𝑠)) ∈ ℂ)
163155, 162mulcld 10648 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) ∈ ℂ)
164136, 142, 148, 163fsumsplit 15088 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠)))))
165 fveq2 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑠) = (♯‘(𝑡 ∪ {𝑧})))
166165oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → (-1↑(♯‘𝑠)) = (-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))))
167 inteq 4862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}))
16827intunsn 4898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∪ {𝑧}) = ( 𝑡𝑧)
169167, 168syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → 𝑠 = ( 𝑡𝑧))
170169ineq2d 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → (𝑥 𝑠) = (𝑥 ∩ ( 𝑡𝑧)))
171170fveq2d 6657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → (♯‘(𝑥 𝑠)) = (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑡𝑧))))
172166, 171oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑧}) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) = ((-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑡𝑧)))))
173 pwfi 8805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
174143, 173sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
175 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑢 ∪ {𝑧})) = (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑢 ∪ {𝑧}))
176 elpwi 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑢𝑦)
177176adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑢𝑦)
178 unss1 4139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑦 → (𝑢 ∪ {𝑧}) ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑢 ∪ {𝑧}) ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))
180 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑢 ∈ V
181 snex 5315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧} ∈ V
182180, 181unex 7454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ V
183182elpw 4524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑢 ∪ {𝑧}) ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))
184179, 183sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
185 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
186 elpwi 4529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ 𝒫 𝑦 → (𝑢 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
187 ssun2 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑧} ⊆ (𝑢 ∪ {𝑧})
18827snss 4701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝑢 ∪ {𝑧}) ↔ {𝑧} ⊆ (𝑢 ∪ {𝑧}))
189187, 188mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ (𝑢 ∪ {𝑧})
190189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝑢 ∪ {𝑧}))
191 ssel 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑢 ∪ {𝑧}) → 𝑧𝑦))
192186, 190, 191syl2imc 41 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → ((𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ 𝒫 𝑦𝑧𝑦))
193185, 192mtod 201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → ¬ (𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ 𝒫 𝑦)
194184, 193eldifd 3929 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑦) → (𝑢 ∪ {𝑧}) ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))
195 eldifi 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦) → 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
196195adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
197196elpwid 4531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → 𝑠 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))
198 uncom 4113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ 𝑦)
199197, 198sseqtrdi 4001 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → 𝑠 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦))
200 ssundif 4414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦) ↔ (𝑠 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
201199, 200sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → (𝑠 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
202 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
203202elpw2 5231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∖ {𝑧}) ∈ 𝒫 𝑦 ↔ (𝑠 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
204201, 203sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → (𝑠 ∖ {𝑧}) ∈ 𝒫 𝑦)
205 elpwunsn 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦) → 𝑧𝑠)
206205ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → 𝑧𝑠)
207206snssd 4725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → {𝑧} ⊆ 𝑠)
208 ssequn2 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑧} ⊆ 𝑠 ↔ (𝑠 ∪ {𝑧}) = 𝑠)
209207, 208sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → (𝑠 ∪ {𝑧}) = 𝑠)
210209eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → 𝑠 = (𝑠 ∪ {𝑧}))
211 uneq1 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) → (𝑢 ∪ {𝑧}) = ((𝑠 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
212 undif1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = (𝑠 ∪ {𝑧})
213211, 212syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) → (𝑢 ∪ {𝑧}) = (𝑠 ∪ {𝑧}))
214213eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) → (𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧}) ↔ 𝑠 = (𝑠 ∪ {𝑧})))
215210, 214syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) → 𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧})))
216176ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → 𝑢𝑦)
217 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
218216, 217ssneldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → ¬ 𝑧𝑢)
219 difsnb 4722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑢 ↔ (𝑢 ∖ {𝑧}) = 𝑢)
220218, 219sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → (𝑢 ∖ {𝑧}) = 𝑢)
221220eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → 𝑢 = (𝑢 ∖ {𝑧}))
222 difeq1 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧}) → (𝑠 ∖ {𝑧}) = ((𝑢 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑧}))
223 difun2 4410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑧}) = (𝑢 ∖ {𝑧})
224222, 223syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧}) → (𝑠 ∖ {𝑧}) = (𝑢 ∖ {𝑧}))
225224eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧}) → (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) ↔ 𝑢 = (𝑢 ∖ {𝑧})))
226221, 225syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → (𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧}) → 𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧})))
227215, 226impbid 215 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))) → (𝑢 = (𝑠 ∖ {𝑧}) ↔ 𝑠 = (𝑢 ∪ {𝑧})))
228175, 194, 204, 227f1o2d 7384 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑢 ∪ {𝑧})):𝒫 𝑦1-1-onto→(𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦))
229 uneq1 4116 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑡 → (𝑢 ∪ {𝑧}) = (𝑡 ∪ {𝑧}))
230 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡 ∈ V
231230, 181unex 7454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∪ {𝑧}) ∈ V
232229, 175, 231fvmpt 6751 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ 𝒫 𝑦 → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑢 ∪ {𝑧}))‘𝑡) = (𝑡 ∪ {𝑧}))
233232adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑦) → ((𝑢 ∈ 𝒫 𝑦 ↦ (𝑢 ∪ {𝑧}))‘𝑡) = (𝑡 ∪ {𝑧}))
234195, 163sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) ∈ ℂ)
235172, 174, 228, 233, 234fsumf1o 15071 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) = Σ𝑡 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑡𝑧)))))
236 uneq1 4116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∪ {𝑧}) = (𝑠 ∪ {𝑧}))
237236fveq2d 6657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑠 → (♯‘(𝑡 ∪ {𝑧})) = (♯‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
238237oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑠 → (-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) = (-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))
239 inteq 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 𝑡 = 𝑠)
240239ineq1d 4171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡𝑧) = ( 𝑠𝑧))
241240ineq2d 4172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑠 → (𝑥 ∩ ( 𝑡𝑧)) = (𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))
242241fveq2d 6657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑠 → (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑡𝑧))) = (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))))
243238, 242oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑠 → ((-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑡𝑧)))) = ((-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
244243cbvsumv 15044 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑡 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑡𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))))
24555a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → -1 ∈ ℂ)
246 elpwi 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑦𝑠𝑦)
247 ssfi 8724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑠𝑦) → 𝑠 ∈ Fin)
248143, 246, 247syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑠 ∈ Fin)
249248, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
250245, 249expp1d 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1↑((♯‘𝑠) + 1)) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · -1))
251246adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑠𝑦)
252 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
253251, 252ssneldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ¬ 𝑧𝑠)
254 hashunsng 13749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ V → ((𝑠 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑠) → (♯‘(𝑠 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑠) + 1)))
255254elv 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑠) → (♯‘(𝑠 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑠) + 1))
256248, 253, 255syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (♯‘(𝑠 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑠) + 1))
257256oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) = (-1↑((♯‘𝑠) + 1)))
258138sseli 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑦𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
259258, 155sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1↑(♯‘𝑠)) ∈ ℂ)
260245, 259mulcomd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1 · (-1↑(♯‘𝑠))) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · -1))
261250, 257, 2603eqtr4d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) = (-1 · (-1↑(♯‘𝑠))))
262259mulm1d 11079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1 · (-1↑(♯‘𝑠))) = -(-1↑(♯‘𝑠)))
263261, 262eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) = -(-1↑(♯‘𝑠)))
264263oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))) = (-(-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
265 inss1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)) ⊆ 𝑥
266 ssfi 8724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)) ⊆ 𝑥) → (𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)) ∈ Fin)
267156, 265, 266sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)) ∈ Fin)
268 hashcl 13713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)) ∈ Fin → (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))) ∈ ℕ0)
269267, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))) ∈ ℕ0)
270269nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))) ∈ ℂ)
271258, 270sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))) ∈ ℂ)
272259, 271mulneg1d 11080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → (-(-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))) = -((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
273264, 272eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))) = -((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
274273sumeq2dv 15051 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘(𝑠 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦-((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
275244, 274syl5eq 2871 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑡 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘(𝑡 ∪ {𝑧}))) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑡𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦-((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
276155, 270mulcld 10648 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))) ∈ ℂ)
277258, 276sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))) ∈ ℂ)
278174, 277fsumneg 15133 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦-((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))) = -Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
279235, 275, 2783eqtrd 2863 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) = -Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))))
280279oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ 𝒫 𝑦)((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠)))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) + -Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))))))
281138a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝒫 𝑦 ⊆ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
282281sselda 3951 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧}))
283282, 163syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) ∈ ℂ)
284174, 283fsumcl 15081 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) ∈ ℂ)
285282, 276syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑦) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))) ∈ ℂ)
286174, 285fsumcl 15081 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧)))) ∈ ℂ)
287284, 286negsubd 10990 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) + -Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) − Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))))))
288164, 280, 2873eqtrd 2863 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) − Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))))))
289288adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))) − Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑠𝑧))))))
290102, 134, 2893eqtr4d 2869 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))))
291290ex 416 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) → ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠)))))
292291ralrimdva 3183 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) → ∀𝑥 ∈ Fin ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠)))))
293 ineq1 4164 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∩ ( 𝑦𝑧)) = (𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))
294293fveq2d 6657 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑥 → (♯‘(𝑏 ∩ ( 𝑦𝑧))) = (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧))))
29567, 294oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑥 → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))))
296 ineq1 4164 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 𝑠) = (𝑥 𝑠))
297296fveq2d 6657 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → (♯‘(𝑏 𝑠)) = (♯‘(𝑥 𝑠)))
298297oveq2d 7156 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑥 → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))))
299298sumeq2sdv 15052 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))))
300295, 299eqeq12d 2840 . . . . 5 (𝑏 = 𝑥 → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠)))))
301300cbvralvw 3434 . . . 4 (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ Fin ((♯‘𝑥) − (♯‘(𝑥 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑥 𝑠))))
302292, 301syl6ibr 255 . . 3 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝑦))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝑦((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) → ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 ∩ ( 𝑦𝑧)))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 (𝑦 ∪ {𝑧})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠)))))
30316, 24, 38, 46, 66, 302findcard2s 8745 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))))
304 fveq2 6653 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (♯‘𝑏) = (♯‘𝐵))
305 ineq1 4164 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 𝐴) = (𝐵 𝐴))
306305fveq2d 6657 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (♯‘(𝑏 𝐴)) = (♯‘(𝐵 𝐴)))
307304, 306oveq12d 7158 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝐴))) = ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐵 𝐴))))
308 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑏 = 𝐵)
309308ineq1d 4171 . . . . . . 7 ((𝑏 = 𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑏 𝑠) = (𝐵 𝑠))
310309fveq2d 6657 . . . . . 6 ((𝑏 = 𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘(𝑏 𝑠)) = (♯‘(𝐵 𝑠)))
311310oveq2d 7156 . . . . 5 ((𝑏 = 𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 𝑠))))
312311sumeq2dv 15051 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 𝑠))))
313307, 312eqeq12d 2840 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ↔ ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐵 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 𝑠)))))
314313rspccva 3607 . 2 ((∀𝑏 ∈ Fin ((♯‘𝑏) − (♯‘(𝑏 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝑏 𝑠))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐵 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 𝑠))))
315303, 314sylan 583 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) − (♯‘(𝐵 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘(𝐵 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  Vcvv 3479  cdif 3915  cun 3916  cin 3917  wss 3918  c0 4274  𝒫 cpw 4520  {csn 4548   cuni 4821   cint 4859  cmpt 5129  cfv 6338  (class class class)co 7140  Fincfn 8494  cc 10522  0cc0 10524  1c1 10525   + caddc 10527   · cmul 10529  cmin 10857  -cneg 10858  0cn0 11885  cexp 13425  chash 13686  Σcsu 15033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-inf2 9090  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-se 5498  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-isom 6347  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034
This theorem is referenced by:  incexc  15183
  Copyright terms: Public domain W3C validator