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Theorem eff1olem 26048
Description: The exponential function maps the set 𝑆, of complex numbers with imaginary part in a real interval of length 2 Β· Ο€, one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eff1olem.1 𝐹 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀)))
eff1olem.2 𝑆 = (β—‘β„‘ β€œ 𝐷)
eff1olem.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
eff1olem.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (2 Β· Ο€))
eff1olem.5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑧 βˆ’ 𝑦) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
eff1olem (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):𝑆–1-1-ontoβ†’(β„‚ βˆ– {0}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐷   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑀)   𝐹(𝑀)
Proof of Theorem eff1olem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6077 . . . 4 (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) βŠ† dom β„‘
2 eff1olem.2 . . . 4 𝑆 = (β—‘β„‘ β€œ 𝐷)
3 imf 15056 . . . . . 6 β„‘:β„‚βŸΆβ„
43fdmi 6726 . . . . 5 dom β„‘ = β„‚
54eqcomi 2741 . . . 4 β„‚ = dom β„‘
61, 2, 53sstr4i 4024 . . 3 𝑆 βŠ† β„‚
7 eff2 16038 . . . . . . 7 exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0})
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
98feqmptd 6957 . . . . 5 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ exp = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
109reseq1d 5978 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)) β†Ύ 𝑆))
11 resmpt 6035 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)) β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦)))
1210, 11eqtrd 2772 . . 3 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦)))
136, 12ax-mp 5 . 2 (exp β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦))
146sseli 3977 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
157ffvelcdmi 7082 . . . 4 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
1716adantl 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
18 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
19 eldifsn 4789 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
2120simpld 495 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2220simprd 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ β‰  0)
2321, 22absrpcld 15391 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
24 reeff1o 25950 . . . . . . . . 9 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
25 f1ocnv 6842 . . . . . . . . 9 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+–1-1-onto→ℝ)
26 f1of 6830 . . . . . . . . 9 (β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+βŸΆβ„)
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . 8 β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+βŸΆβ„
2827ffvelcdmi 7082 . . . . . . 7 ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+ β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2923, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
3029recnd 11238 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
31 ax-icn 11165 . . . . . 6 i ∈ β„‚
32 eff1olem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
3332adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
34 eff1olem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀)))
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘abs β€œ {1}) = (β—‘abs β€œ {1})
36 eff1olem.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (2 Β· Ο€))
37 eff1olem.5 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑧 βˆ’ 𝑦) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (sin β†Ύ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2))) = (sin β†Ύ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
3934, 35, 32, 36, 37, 38efif1olem4 26045 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}))
40 f1ocnv 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})–1-1-onto→𝐷)
41 f1of 6830 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})–1-1-onto→𝐷 β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4421abscld 15379 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4544recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4621, 22absne0d 15390 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) β‰  0)
4721, 45, 46divcld 11986 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4821, 45, 46absdivd 15398 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜(absβ€˜π‘₯))))
49 absidm 15266 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜π‘₯))
5021, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜π‘₯))
5150oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜(absβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜π‘₯)))
5245, 46dividd 11984 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜π‘₯)) = 1)
5348, 51, 523eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1)
54 absf 15280 . . . . . . . . . . 11 abs:β„‚βŸΆβ„
55 ffn 6714 . . . . . . . . . . 11 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
56 fniniseg 7058 . . . . . . . . . . 11 (abs Fn β„‚ β†’ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1)))
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1))
5847, 53, 57sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}))
5943, 58ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐷)
6033, 59sseldd 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6160recnd 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
62 mulcl 11190 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚)
6331, 61, 62sylancr 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚)
6430, 63addcld 11229 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚)
6529, 60crimd 15175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))
6665, 59eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷)
67 ffn 6714 . . . . 5 (β„‘:β„‚βŸΆβ„ β†’ β„‘ Fn β„‚)
68 elpreima 7056 . . . . 5 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷)))
693, 67, 68mp2b 10 . . . 4 (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷))
7064, 66, 69sylanbrc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷))
7170, 2eleqtrrdi 2844 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑆)
72 efadd 16033 . . . . . . 7 (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
7330, 63, 72syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
7429fvresd 6908 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))))
75 f1ocnvfv2 7271 . . . . . . . . 9 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
7624, 23, 75sylancr 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
7774, 76eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
78 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) β†’ (i Β· 𝑧) = (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))
7978fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
80 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑧 β†’ (i Β· 𝑀) = (i Β· 𝑧))
8180fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑀)) = (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
8281cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
8334, 82eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
84 fvex 6901 . . . . . . . . . 10 (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ V
8579, 83, 84fvmpt 6995 . . . . . . . . 9 ((β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐷 β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
8659, 85syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
8739adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}))
88 f1ocnvfv2 7271 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) ∧ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
8987, 58, 88syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
9086, 89eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
9177, 90oveq12d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))
9221, 45, 46divcan2d 11988 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = π‘₯)
9373, 91, 923eqtrrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
9493adantrl 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
95 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
9695eqeq2d 2743 . . . 4 (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))))
9794, 96syl5ibrcom 246 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦)))
9814adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
9998replimd 15140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 = ((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
100 absef 16136 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
10198, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
10298recld 15137 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
103102fvresd 6908 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
104101, 103eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
105104fveq2d 6892 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))))
106 f1ocnvfv1 7270 . . . . . . . . 9 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
10724, 102, 106sylancr 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
108105, 107eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
10998imcld 15138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
110109recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
111 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
11231, 110, 111sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
113 efcl 16022 . . . . . . . . . . . . 13 ((i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
115102recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
116 efcl 16022 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
118 efne0 16036 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) β‰  0)
119115, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) β‰  0)
120114, 117, 119divcan3d 11991 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
12199fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
122 efadd 16033 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
123115, 112, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
124121, 123eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
125124, 101oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦))))
126 elpreima 7056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)))
1273, 67, 126mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷))
128127simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
129128, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
130129adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
131 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (β„‘β€˜π‘¦) β†’ (i Β· 𝑀) = (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))
132131fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (β„‘β€˜π‘¦) β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑀)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
133 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . 13 (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ V
134132, 34, 133fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷 β†’ (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
135130, 134syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
136120, 125, 1353eqtr4d 2782 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)))
137136fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))) = (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))))
138 f1ocnvfv1 7270 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) = (β„‘β€˜π‘¦))
13939, 129, 138syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) = (β„‘β€˜π‘¦))
140137, 139eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))) = (β„‘β€˜π‘¦))
141140oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))) = (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))
142108, 141oveq12d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))) = ((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
14399, 142eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))))
144 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))
145144fveq2d 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) = (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))
146 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦))
147146, 144oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) = ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))
148147fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))
149148oveq2d 7421 . . . . . . 7 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))))
150145, 149oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))))
151150eqeq2d 2743 . . . . 5 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ↔ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))))))
152143, 151syl5ibrcom 246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
153152adantrr 715 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
15497, 153impbid 211 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ↔ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦)))
15513, 17, 71, 154f1o2d 7656 1 (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):𝑆–1-1-ontoβ†’(β„‚ βˆ– {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  β„€cz 12554  β„+crp 12970  [,]cicc 13323  β„œcre 15040  β„‘cim 15041  abscabs 15177  expce 16001  sincsin 16003  Ο€cpi 16006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375
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