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Theorem eff1olem 25920
Description: The exponential function maps the set 𝑆, of complex numbers with imaginary part in a real interval of length 2 Β· Ο€, one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eff1olem.1 𝐹 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀)))
eff1olem.2 𝑆 = (β—‘β„‘ β€œ 𝐷)
eff1olem.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
eff1olem.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (2 Β· Ο€))
eff1olem.5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑧 βˆ’ 𝑦) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
eff1olem (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):𝑆–1-1-ontoβ†’(β„‚ βˆ– {0}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐷   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑀)   𝐹(𝑀)

Proof of Theorem eff1olem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6034 . . . 4 (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) βŠ† dom β„‘
2 eff1olem.2 . . . 4 𝑆 = (β—‘β„‘ β€œ 𝐷)
3 imf 15004 . . . . . 6 β„‘:β„‚βŸΆβ„
43fdmi 6681 . . . . 5 dom β„‘ = β„‚
54eqcomi 2742 . . . 4 β„‚ = dom β„‘
61, 2, 53sstr4i 3988 . . 3 𝑆 βŠ† β„‚
7 eff2 15986 . . . . . . 7 exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0})
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
98feqmptd 6911 . . . . 5 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ exp = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
109reseq1d 5937 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)) β†Ύ 𝑆))
11 resmpt 5992 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)) β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦)))
1210, 11eqtrd 2773 . . 3 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦)))
136, 12ax-mp 5 . 2 (exp β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦))
146sseli 3941 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
157ffvelcdmi 7035 . . . 4 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
1716adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
18 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
19 eldifsn 4748 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
2120simpld 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2220simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ β‰  0)
2321, 22absrpcld 15339 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
24 reeff1o 25822 . . . . . . . . 9 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
25 f1ocnv 6797 . . . . . . . . 9 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+–1-1-onto→ℝ)
26 f1of 6785 . . . . . . . . 9 (β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+βŸΆβ„)
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . 8 β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+βŸΆβ„
2827ffvelcdmi 7035 . . . . . . 7 ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+ β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2923, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
3029recnd 11188 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
31 ax-icn 11115 . . . . . 6 i ∈ β„‚
32 eff1olem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
3332adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
34 eff1olem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀)))
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘abs β€œ {1}) = (β—‘abs β€œ {1})
36 eff1olem.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (2 Β· Ο€))
37 eff1olem.5 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑧 βˆ’ 𝑦) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
38 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (sin β†Ύ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2))) = (sin β†Ύ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
3934, 35, 32, 36, 37, 38efif1olem4 25917 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}))
40 f1ocnv 6797 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})–1-1-onto→𝐷)
41 f1of 6785 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})–1-1-onto→𝐷 β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4342adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4421abscld 15327 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4544recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4621, 22absne0d 15338 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) β‰  0)
4721, 45, 46divcld 11936 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4821, 45, 46absdivd 15346 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜(absβ€˜π‘₯))))
49 absidm 15214 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜π‘₯))
5021, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜π‘₯))
5150oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜(absβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜π‘₯)))
5245, 46dividd 11934 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜π‘₯)) = 1)
5348, 51, 523eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1)
54 absf 15228 . . . . . . . . . . 11 abs:β„‚βŸΆβ„
55 ffn 6669 . . . . . . . . . . 11 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
56 fniniseg 7011 . . . . . . . . . . 11 (abs Fn β„‚ β†’ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1)))
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1))
5847, 53, 57sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}))
5943, 58ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐷)
6033, 59sseldd 3946 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6160recnd 11188 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
62 mulcl 11140 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚)
6331, 61, 62sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚)
6430, 63addcld 11179 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚)
6529, 60crimd 15123 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))
6665, 59eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷)
67 ffn 6669 . . . . 5 (β„‘:β„‚βŸΆβ„ β†’ β„‘ Fn β„‚)
68 elpreima 7009 . . . . 5 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷)))
693, 67, 68mp2b 10 . . . 4 (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷))
7064, 66, 69sylanbrc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷))
7170, 2eleqtrrdi 2845 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑆)
72 efadd 15981 . . . . . . 7 (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
7330, 63, 72syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
7429fvresd 6863 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))))
75 f1ocnvfv2 7224 . . . . . . . . 9 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
7624, 23, 75sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
7774, 76eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
78 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) β†’ (i Β· 𝑧) = (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))
7978fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
80 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑧 β†’ (i Β· 𝑀) = (i Β· 𝑧))
8180fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑀)) = (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
8281cbvmptv 5219 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
8334, 82eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
84 fvex 6856 . . . . . . . . . 10 (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ V
8579, 83, 84fvmpt 6949 . . . . . . . . 9 ((β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐷 β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
8659, 85syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
8739adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}))
88 f1ocnvfv2 7224 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) ∧ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
8987, 58, 88syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
9086, 89eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
9177, 90oveq12d 7376 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))
9221, 45, 46divcan2d 11938 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = π‘₯)
9373, 91, 923eqtrrd 2778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
9493adantrl 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
95 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
9695eqeq2d 2744 . . . 4 (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))))
9794, 96syl5ibrcom 247 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦)))
9814adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
9998replimd 15088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 = ((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
100 absef 16084 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
10198, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
10298recld 15085 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
103102fvresd 6863 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
104101, 103eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
105104fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))))
106 f1ocnvfv1 7223 . . . . . . . . 9 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
10724, 102, 106sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
108105, 107eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
10998imcld 15086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
110109recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
111 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
11231, 110, 111sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
113 efcl 15970 . . . . . . . . . . . . 13 ((i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
115102recnd 11188 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
116 efcl 15970 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
118 efne0 15984 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) β‰  0)
119115, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) β‰  0)
120114, 117, 119divcan3d 11941 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
12199fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
122 efadd 15981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
123115, 112, 122syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
124121, 123eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
125124, 101oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦))))
126 elpreima 7009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)))
1273, 67, 126mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷))
128127simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
129128, 2eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
130129adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
131 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (β„‘β€˜π‘¦) β†’ (i Β· 𝑀) = (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))
132131fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (β„‘β€˜π‘¦) β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑀)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
133 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . 13 (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ V
134132, 34, 133fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷 β†’ (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
135130, 134syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
136120, 125, 1353eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)))
137136fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))) = (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))))
138 f1ocnvfv1 7223 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) = (β„‘β€˜π‘¦))
13939, 129, 138syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) = (β„‘β€˜π‘¦))
140137, 139eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))) = (β„‘β€˜π‘¦))
141140oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))) = (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))
142108, 141oveq12d 7376 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))) = ((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
14399, 142eqtr4d 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))))
144 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))
145144fveq2d 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) = (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))
146 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦))
147146, 144oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) = ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))
148147fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))
149148oveq2d 7374 . . . . . . 7 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))))
150145, 149oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))))
151150eqeq2d 2744 . . . . 5 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ↔ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))))))
152143, 151syl5ibrcom 247 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
153152adantrr 716 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
15497, 153impbid 211 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ↔ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦)))
15513, 17, 71, 154f1o2d 7608 1 (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):𝑆–1-1-ontoβ†’(β„‚ βˆ– {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057  ici 11058   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  β„€cz 12504  β„+crp 12920  [,]cicc 13273  β„œcre 14988  β„‘cim 14989  abscabs 15125  expce 15949  sincsin 15951  Ο€cpi 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
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