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Theorem eff1olem 26064
Description: The exponential function maps the set 𝑆, of complex numbers with imaginary part in a real interval of length 2 Β· Ο€, one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eff1olem.1 𝐹 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀)))
eff1olem.2 𝑆 = (β—‘β„‘ β€œ 𝐷)
eff1olem.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
eff1olem.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (2 Β· Ο€))
eff1olem.5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑧 βˆ’ 𝑦) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
eff1olem (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):𝑆–1-1-ontoβ†’(β„‚ βˆ– {0}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐷   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑀)   𝐹(𝑀)
Proof of Theorem eff1olem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6080 . . . 4 (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) βŠ† dom β„‘
2 eff1olem.2 . . . 4 𝑆 = (β—‘β„‘ β€œ 𝐷)
3 imf 15062 . . . . . 6 β„‘:β„‚βŸΆβ„
43fdmi 6729 . . . . 5 dom β„‘ = β„‚
54eqcomi 2741 . . . 4 β„‚ = dom β„‘
61, 2, 53sstr4i 4025 . . 3 𝑆 βŠ† β„‚
7 eff2 16044 . . . . . . 7 exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0})
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
98feqmptd 6960 . . . . 5 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ exp = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
109reseq1d 5980 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)) β†Ύ 𝑆))
11 resmpt 6037 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)) β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦)))
1210, 11eqtrd 2772 . . 3 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦)))
136, 12ax-mp 5 . 2 (exp β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦))
146sseli 3978 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
157ffvelcdmi 7085 . . . 4 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
1716adantl 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
18 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
19 eldifsn 4790 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
2120simpld 495 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2220simprd 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ β‰  0)
2321, 22absrpcld 15397 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
24 reeff1o 25966 . . . . . . . . 9 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
25 f1ocnv 6845 . . . . . . . . 9 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+–1-1-onto→ℝ)
26 f1of 6833 . . . . . . . . 9 (β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+βŸΆβ„)
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . 8 β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+βŸΆβ„
2827ffvelcdmi 7085 . . . . . . 7 ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+ β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2923, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
3029recnd 11244 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
31 ax-icn 11171 . . . . . 6 i ∈ β„‚
32 eff1olem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
3332adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
34 eff1olem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀)))
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘abs β€œ {1}) = (β—‘abs β€œ {1})
36 eff1olem.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (2 Β· Ο€))
37 eff1olem.5 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑧 βˆ’ 𝑦) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (sin β†Ύ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2))) = (sin β†Ύ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
3934, 35, 32, 36, 37, 38efif1olem4 26061 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}))
40 f1ocnv 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})–1-1-onto→𝐷)
41 f1of 6833 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})–1-1-onto→𝐷 β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4421abscld 15385 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4544recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4621, 22absne0d 15396 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) β‰  0)
4721, 45, 46divcld 11992 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4821, 45, 46absdivd 15404 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜(absβ€˜π‘₯))))
49 absidm 15272 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜π‘₯))
5021, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜π‘₯))
5150oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜(absβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜π‘₯)))
5245, 46dividd 11990 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜π‘₯)) = 1)
5348, 51, 523eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1)
54 absf 15286 . . . . . . . . . . 11 abs:β„‚βŸΆβ„
55 ffn 6717 . . . . . . . . . . 11 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
56 fniniseg 7061 . . . . . . . . . . 11 (abs Fn β„‚ β†’ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1)))
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1))
5847, 53, 57sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}))
5943, 58ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐷)
6033, 59sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6160recnd 11244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
62 mulcl 11196 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚)
6331, 61, 62sylancr 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚)
6430, 63addcld 11235 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚)
6529, 60crimd 15181 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))
6665, 59eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷)
67 ffn 6717 . . . . 5 (β„‘:β„‚βŸΆβ„ β†’ β„‘ Fn β„‚)
68 elpreima 7059 . . . . 5 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷)))
693, 67, 68mp2b 10 . . . 4 (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷))
7064, 66, 69sylanbrc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷))
7170, 2eleqtrrdi 2844 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑆)
72 efadd 16039 . . . . . . 7 (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
7330, 63, 72syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
7429fvresd 6911 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))))
75 f1ocnvfv2 7277 . . . . . . . . 9 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
7624, 23, 75sylancr 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
7774, 76eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
78 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) β†’ (i Β· 𝑧) = (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))
7978fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
80 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑧 β†’ (i Β· 𝑀) = (i Β· 𝑧))
8180fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑀)) = (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
8281cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
8334, 82eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
84 fvex 6904 . . . . . . . . . 10 (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ V
8579, 83, 84fvmpt 6998 . . . . . . . . 9 ((β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐷 β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
8659, 85syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
8739adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}))
88 f1ocnvfv2 7277 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) ∧ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
8987, 58, 88syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
9086, 89eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
9177, 90oveq12d 7429 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))
9221, 45, 46divcan2d 11994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = π‘₯)
9373, 91, 923eqtrrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
9493adantrl 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
95 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
9695eqeq2d 2743 . . . 4 (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))))
9794, 96syl5ibrcom 246 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦)))
9814adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
9998replimd 15146 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 = ((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
100 absef 16142 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
10198, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
10298recld 15143 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
103102fvresd 6911 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
104101, 103eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
105104fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))))
106 f1ocnvfv1 7276 . . . . . . . . 9 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
10724, 102, 106sylancr 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
108105, 107eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
10998imcld 15144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
110109recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
111 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
11231, 110, 111sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
113 efcl 16028 . . . . . . . . . . . . 13 ((i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
115102recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
116 efcl 16028 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
118 efne0 16042 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) β‰  0)
119115, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) β‰  0)
120114, 117, 119divcan3d 11997 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
12199fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
122 efadd 16039 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
123115, 112, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
124121, 123eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
125124, 101oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦))))
126 elpreima 7059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)))
1273, 67, 126mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷))
128127simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
129128, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
130129adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
131 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (β„‘β€˜π‘¦) β†’ (i Β· 𝑀) = (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))
132131fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (β„‘β€˜π‘¦) β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑀)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
133 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ V
134132, 34, 133fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷 β†’ (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
135130, 134syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
136120, 125, 1353eqtr4d 2782 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)))
137136fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))) = (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))))
138 f1ocnvfv1 7276 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) = (β„‘β€˜π‘¦))
13939, 129, 138syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) = (β„‘β€˜π‘¦))
140137, 139eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))) = (β„‘β€˜π‘¦))
141140oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))) = (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))
142108, 141oveq12d 7429 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))) = ((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
14399, 142eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))))
144 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))
145144fveq2d 6895 . . . . . . 7 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) = (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))
146 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦))
147146, 144oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) = ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))
148147fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))
149148oveq2d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))))
150145, 149oveq12d 7429 . . . . . 6 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))))
151150eqeq2d 2743 . . . . 5 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ↔ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))))))
152143, 151syl5ibrcom 246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
153152adantrr 715 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
15497, 153impbid 211 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ↔ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦)))
15513, 17, 71, 154f1o2d 7662 1 (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):𝑆–1-1-ontoβ†’(β„‚ βˆ– {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  β„€cz 12560  β„+crp 12976  [,]cicc 13329  β„œcre 15046  β„‘cim 15047  abscabs 15183  expce 16007  sincsin 16009  Ο€cpi 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391
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