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Theorem eff1olem 26290
Description: The exponential function maps the set 𝑆, of complex numbers with imaginary part in a real interval of length 2 Β· Ο€, one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eff1olem.1 𝐹 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀)))
eff1olem.2 𝑆 = (β—‘β„‘ β€œ 𝐷)
eff1olem.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
eff1olem.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (2 Β· Ο€))
eff1olem.5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑧 βˆ’ 𝑦) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
eff1olem (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):𝑆–1-1-ontoβ†’(β„‚ βˆ– {0}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐷   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑀)   𝐹(𝑀)
Proof of Theorem eff1olem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6081 . . . 4 (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) βŠ† dom β„‘
2 eff1olem.2 . . . 4 𝑆 = (β—‘β„‘ β€œ 𝐷)
3 imf 15065 . . . . . 6 β„‘:β„‚βŸΆβ„
43fdmi 6730 . . . . 5 dom β„‘ = β„‚
54eqcomi 2740 . . . 4 β„‚ = dom β„‘
61, 2, 53sstr4i 4026 . . 3 𝑆 βŠ† β„‚
7 eff2 16047 . . . . . . 7 exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0})
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
98feqmptd 6961 . . . . 5 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ exp = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
109reseq1d 5981 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)) β†Ύ 𝑆))
11 resmpt 6038 . . . 4 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)) β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦)))
1210, 11eqtrd 2771 . . 3 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦)))
136, 12ax-mp 5 . 2 (exp β†Ύ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜π‘¦))
146sseli 3979 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
157ffvelcdmi 7086 . . . 4 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
1716adantl 481 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
19 eldifsn 4791 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
2120simpld 494 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2220simprd 495 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ β‰  0)
2321, 22absrpcld 15400 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
24 reeff1o 26192 . . . . . . . . 9 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
25 f1ocnv 6846 . . . . . . . . 9 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+–1-1-onto→ℝ)
26 f1of 6834 . . . . . . . . 9 (β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+βŸΆβ„)
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . 8 β—‘(exp β†Ύ ℝ):ℝ+βŸΆβ„
2827ffvelcdmi 7086 . . . . . . 7 ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+ β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2923, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
3029recnd 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
31 ax-icn 11172 . . . . . 6 i ∈ β„‚
32 eff1olem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
3332adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
34 eff1olem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀)))
35 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘abs β€œ {1}) = (β—‘abs β€œ {1})
36 eff1olem.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (2 Β· Ο€))
37 eff1olem.5 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑧 βˆ’ 𝑦) / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
38 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (sin β†Ύ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2))) = (sin β†Ύ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
3934, 35, 32, 36, 37, 38efif1olem4 26287 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}))
40 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})–1-1-onto→𝐷)
41 f1of 6834 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})–1-1-onto→𝐷 β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ◑𝐹:(β—‘abs β€œ {1})⟢𝐷)
4421abscld 15388 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4544recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4621, 22absne0d 15399 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜π‘₯) β‰  0)
4721, 45, 46divcld 11995 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4821, 45, 46absdivd 15407 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜(absβ€˜π‘₯))))
49 absidm 15275 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜π‘₯))
5021, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(absβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜π‘₯))
5150oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜(absβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜π‘₯)))
5245, 46dividd 11993 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) / (absβ€˜π‘₯)) = 1)
5348, 51, 523eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1)
54 absf 15289 . . . . . . . . . . 11 abs:β„‚βŸΆβ„
55 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
56 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . 11 (abs Fn β„‚ β†’ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1)))
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = 1))
5847, 53, 57sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}))
5943, 58ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐷)
6033, 59sseldd 3984 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6160recnd 11247 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
62 mulcl 11197 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚)
6331, 61, 62sylancr 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚)
6430, 63addcld 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚)
6529, 60crimd 15184 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))
6665, 59eqeltrd 2832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷)
67 ffn 6718 . . . . 5 (β„‘:β„‚βŸΆβ„ β†’ β„‘ Fn β„‚)
68 elpreima 7060 . . . . 5 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷)))
693, 67, 68mp2b 10 . . . 4 (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝐷))
7064, 66, 69sylanbrc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷))
7170, 2eleqtrrdi 2843 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑆)
72 efadd 16042 . . . . . . 7 (((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
7330, 63, 72syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
7429fvresd 6912 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))))
75 f1ocnvfv2 7278 . . . . . . . . 9 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
7624, 23, 75sylancr 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
7774, 76eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) = (absβ€˜π‘₯))
78 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) β†’ (i Β· 𝑧) = (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))
7978fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
80 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑧 β†’ (i Β· 𝑀) = (i Β· 𝑧))
8180fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑀)) = (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
8281cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀))) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
8334, 82eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
84 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ∈ V
8579, 83, 84fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 ((β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐷 β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
8659, 85syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))
8739adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}))
88 f1ocnvfv2 7278 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) ∧ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) ∈ (β—‘abs β€œ {1})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
8987, 58, 88syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
9086, 89eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))
9177, 90oveq12d 7430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((expβ€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯))) Β· (expβ€˜(i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))
9221, 45, 46divcan2d 11997 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((absβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = π‘₯)
9373, 91, 923eqtrrd 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
9493adantrl 713 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
95 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
9695eqeq2d 2742 . . . 4 (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = (expβ€˜((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))))))
9794, 96syl5ibrcom 246 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) β†’ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦)))
9814adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
9998replimd 15149 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 = ((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
100 absef 16145 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
10198, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
10298recld 15146 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
103102fvresd 6912 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦)) = (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
104101, 103eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)) = ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦)))
105104fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))))
106 f1ocnvfv1 7277 . . . . . . . . 9 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
10724, 102, 106sylancr 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
108105, 107eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (β„œβ€˜π‘¦))
10998imcld 15147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
110109recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
111 mulcl 11197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
11231, 110, 111sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
113 efcl 16031 . . . . . . . . . . . . 13 ((i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
115102recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
116 efcl 16031 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
118 efne0 16045 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) β‰  0)
119115, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) β‰  0)
120114, 117, 119divcan3d 12000 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦))) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
12199fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
122 efadd 16042 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„œβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
123115, 112, 122syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
124121, 123eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜π‘¦) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))))
125124, 101oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (((expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦)) Β· (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘¦))))
126 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)))
1273, 67, 126mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷))
128127simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (β—‘β„‘ β€œ 𝐷) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
129128, 2eleq2s 2850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷)
131 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (β„‘β€˜π‘¦) β†’ (i Β· 𝑀) = (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))
132131fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (β„‘β€˜π‘¦) β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑀)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
133 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))) ∈ V
134132, 34, 133fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷 β†’ (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
135130, 134syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)) = (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
136120, 125, 1353eqtr4d 2781 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) = (πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)))
137136fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))) = (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))))
138 f1ocnvfv1 7277 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘abs β€œ {1}) ∧ (β„‘β€˜π‘¦) ∈ 𝐷) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) = (β„‘β€˜π‘¦))
13939, 129, 138syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) = (β„‘β€˜π‘¦))
140137, 139eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))) = (β„‘β€˜π‘¦))
141140oveq2d 7428 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))) = (i Β· (β„‘β€˜π‘¦)))
142108, 141oveq12d 7430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))) = ((β„œβ€˜π‘¦) + (i Β· (β„‘β€˜π‘¦))))
14399, 142eqtr4d 2774 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))))
144 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))
145144fveq2d 6896 . . . . . . 7 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) = (β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))
146 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦))
147146, 144oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)) = ((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))
148147fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))) = (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))
149148oveq2d 7428 . . . . . . 7 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))) = (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))))
150145, 149oveq12d 7430 . . . . . 6 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦)))))))
151150eqeq2d 2742 . . . . 5 (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ↔ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜(expβ€˜π‘¦))) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜((expβ€˜π‘¦) / (absβ€˜(expβ€˜π‘¦))))))))
152143, 151syl5ibrcom 246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
153152adantrr 714 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (π‘₯ = (expβ€˜π‘¦) β†’ 𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯)))))))
15497, 153impbid 211 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝑦 = ((β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β—‘πΉβ€˜(π‘₯ / (absβ€˜π‘₯))))) ↔ π‘₯ = (expβ€˜π‘¦)))
15513, 17, 71, 154f1o2d 7663 1 (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):𝑆–1-1-ontoβ†’(β„‚ βˆ– {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114  ici 11115   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  β„€cz 12563  β„+crp 12979  [,]cicc 13332  β„œcre 15049  β„‘cim 15050  abscabs 15186  expce 16010  sincsin 16012  Ο€cpi 16015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
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