MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconf1oOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagconf1oOLD 21355
Description: Obsolete version of psrbagconf1o 21354 as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1oOLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝑦,𝐹   π‘₯,𝑉,𝑦   𝑓,𝐼,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagconf1oOLD
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯))
2 simpll 766 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 simplr 768 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
4 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
5 breq1 5109 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ π‘₯ ∘r ≀ 𝐹))
6 psrbagconf1o.s . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
75, 6elrab2 3649 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∘r ≀ 𝐹))
84, 7sylib 217 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∘r ≀ 𝐹))
98simpld 496 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
10 psrbag.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
1110psrbagfOLD 21337 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
122, 9, 11syl2anc 585 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
138simprd 497 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∘r ≀ 𝐹)
1410psrbagconOLD 21349 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∘r ≀ 𝐹)) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∘r ≀ 𝐹))
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1373 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∘r ≀ 𝐹))
16 breq1 5109 . . . 4 (𝑦 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∘r ≀ 𝐹))
1716, 6elrab2 3649 . . 3 ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∘r ≀ 𝐹))
1815, 17sylibr 233 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑆)
1918ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑆)
20 oveq2 7366 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧))
2120eleq1d 2819 . . . 4 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝑆))
2221rspccva 3579 . . 3 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝑆)
2319, 22sylan 581 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝑆)
2410psrbagfOLD 21337 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2524adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2625ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„•0)
27 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
286ssrab3 4041 . . . . . . . . . 10 𝑆 βŠ† 𝐷
29 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
3028, 29sselid 3943 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
3110psrbagfOLD 21337 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0)
3227, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0)
3332ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘›) ∈ β„•0)
3412adantrr 716 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
3534ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ β„•0)
36 nn0cn 12428 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
37 nn0cn 12428 . . . . . . . 8 ((π‘§β€˜π‘›) ∈ β„•0 β†’ (π‘§β€˜π‘›) ∈ β„‚)
38 nn0cn 12428 . . . . . . . 8 ((π‘₯β€˜π‘›) ∈ β„•0 β†’ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ β„‚)
39 subsub23 11411 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (π‘§β€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) = (π‘₯β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)) = (π‘§β€˜π‘›)))
4036, 37, 38, 39syl3an 1161 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ (π‘§β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ β„•0) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) = (π‘₯β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)) = (π‘§β€˜π‘›)))
4126, 33, 35, 40syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) = (π‘₯β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)) = (π‘§β€˜π‘›)))
42 eqcom 2740 . . . . . 6 ((π‘₯β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) = (π‘₯β€˜π‘›))
43 eqcom 2740 . . . . . 6 ((π‘§β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)) = (π‘§β€˜π‘›))
4441, 42, 433bitr4g 314 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) ↔ (π‘§β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›))))
4525ffnd 6670 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
4632ffnd 6670 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧 Fn 𝐼)
47 inidm 4179 . . . . . . 7 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
48 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘›))
49 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘›) = (π‘§β€˜π‘›))
5045, 46, 27, 27, 47, 48, 49ofval 7629 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)))
5150eqeq2d 2744 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›) ↔ (π‘₯β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›))))
5234ffnd 6670 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ Fn 𝐼)
53 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) = (π‘₯β€˜π‘›))
5445, 52, 27, 27, 47, 48, 53ofval 7629 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)))
5554eqeq2d 2744 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘§β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›) ↔ (π‘§β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›))))
5644, 51, 553bitr4d 311 . . . 4 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›) ↔ (π‘§β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›)))
5756ralbidva 3169 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘§β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›)))
5823adantrl 715 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝑆)
5928, 58sselid 3943 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝐷)
6010psrbagfOLD 21337 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧):πΌβŸΆβ„•0)
6127, 59, 60syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧):πΌβŸΆβ„•0)
6261ffnd 6670 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) Fn 𝐼)
63 eqfnfv 6983 . . . 4 ((π‘₯ Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) Fn 𝐼) β†’ (π‘₯ = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›)))
6452, 62, 63syl2anc 585 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›)))
6518adantrr 716 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑆)
6628, 65sselid 3943 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷)
6710psrbagfOLD 21337 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯):πΌβŸΆβ„•0)
6827, 66, 67syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯):πΌβŸΆβ„•0)
6968ffnd 6670 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) Fn 𝐼)
70 eqfnfv 6983 . . . 4 ((𝑧 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) Fn 𝐼) β†’ (𝑧 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘§β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›)))
7146, 69, 70syl2anc 585 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑧 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘§β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›)))
7257, 64, 713bitr4d 311 . 2 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)))
731, 18, 23, 72f1o2d 7608 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616   ∘r cofr 7617   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886  β„‚cc 11054   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419
This theorem is referenced by:  psrass1lemOLD  21358
  Copyright terms: Public domain W3C validator