Theorem psrbagconf1oOLD 20712

Description: Obsolete version of psrbagconf1o 20711 as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconf1oOLD	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐹   𝑥,𝑉,𝑦   𝑓,𝐼,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagconf1oOLD

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥))
2		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝐷)
4		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
5		breq1 5039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ 𝑥 ∘r ≤ 𝐹))
6		psrbagconf1o.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
7	5, 6	elrab2 3607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝐹))
8	4, 7	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝐹))
9	8	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐷)
10		psrbag.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
11	10	psrbagfOLD 20694	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
12	2, 9, 11	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
13	8	simprd 499	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∘r ≤ 𝐹)
14	10	psrbagconOLD 20706	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝐹)) → ((𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝐹))
15	2, 3, 12, 13, 14	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝐹))
16		breq1 5039	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐹 ∘f − 𝑥) → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ (𝐹 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝐹))
17	16, 6	elrab2 3607	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝐹))
18	15, 17	sylibr 237	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝑆)
19	18	ralrimiva 3113	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝑆)
20		oveq2 7164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹 ∘f − 𝑥) = (𝐹 ∘f − 𝑧))
21	20	eleq1d 2836	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆))
22	21	rspccva 3542	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆)
23	19, 22	sylan 583	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆)
24	10	psrbagfOLD 20694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
25	24	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
26	25	ffvelrnda 6848	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0)
27		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
28	6	ssrab3 3988	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐷
29		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
30	28, 29	sseldi 3892	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
31	10	psrbagfOLD 20694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
32	27, 30, 31	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
33	32	ffvelrnda 6848	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0)
34	12	adantrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
35	34	ffvelrnda 6848	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0)
36		nn0cn 11957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
37		nn0cn 11957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ)
38		nn0cn 11957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ)
39		subsub23 10942	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
40	36, 37, 38, 39	syl3an 1157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
41	26, 33, 35, 40	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
42		eqcom 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛))
43		eqcom 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛))
44	41, 42, 43	3bitr4g 317	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
45	25	ffnd 6504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹 Fn 𝐼)
46	32	ffnd 6504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 Fn 𝐼)
47		inidm 4125	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
48		eqidd 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑛))
49		eqidd 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) = (𝑧‘𝑛))
50	45, 46, 27, 27, 47, 48, 49	ofval 7421	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)))
51	50	eqeq2d 2769	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛))))
52	34	ffnd 6504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 Fn 𝐼)
53		eqidd 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) = (𝑥‘𝑛))
54	45, 52, 27, 27, 47, 48, 53	ofval 7421	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))
55	54	eqeq2d 2769	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
56	44, 51, 55	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
57	56	ralbidva 3125	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
58	23	adantrl 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆)
59	28, 58	sseldi 3892	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷)
60	10	psrbagfOLD 20694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
61	27, 59, 60	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
62	61	ffnd 6504	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) Fn 𝐼)
63		eqfnfv 6798	. . . 4 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑧) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛)))
64	52, 62, 63	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛)))
65	18	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝑆)
66	28, 65	sseldi 3892	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
67	10	psrbagfOLD 20694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
68	27, 66, 67	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
69	68	ffnd 6504	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼)
70		eqfnfv 6798	. . . 4 ⊢ ((𝑧 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼) → (𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
71	46, 69, 70	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
72	57, 64, 71	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥)))
73	1, 18, 23, 72	f1o2d 7401	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116  ^◡ccnv 5527   “ cima 5531   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  –1-1-onto→wf1o 6339  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7409   ∘_r cofr 7410   ↑_m cmap 8422  Fincfn 8540  ℂcc 10586   ≤ cle 10727   − cmin 10921  ℕcn 11687  ℕ₀cn0 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948

This theorem is referenced by:  psrass1lemOLD  20715