MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconf1oOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagconf1oOLD 21421
Description: Obsolete version of psrbagconf1o 21420 as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1oOLD ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑥𝑆 ↦ (𝐹f𝑥)):𝑆1-1-onto𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐹   𝑥,𝑉,𝑦   𝑓,𝐼,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagconf1oOLD
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . 2 (𝑥𝑆 ↦ (𝐹f𝑥)) = (𝑥𝑆 ↦ (𝐹f𝑥))
2 simpll 765 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐼𝑉)
3 simplr 767 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐹𝐷)
4 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
5 breq1 5144 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦r𝐹𝑥r𝐹))
6 psrbagconf1o.s . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
75, 6elrab2 3682 . . . . . . 7 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥𝐷𝑥r𝐹))
84, 7sylib 217 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝐷𝑥r𝐹))
98simpld 495 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐷)
10 psrbag.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
1110psrbagfOLD 21403 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
122, 9, 11syl2anc 584 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
138simprd 496 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥r𝐹)
1410psrbagconOLD 21415 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝑥:𝐼⟶ℕ0𝑥r𝐹)) → ((𝐹f𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝑥) ∘r𝐹))
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1372 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹f𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝑥) ∘r𝐹))
16 breq1 5144 . . . 4 (𝑦 = (𝐹f𝑥) → (𝑦r𝐹 ↔ (𝐹f𝑥) ∘r𝐹))
1716, 6elrab2 3682 . . 3 ((𝐹f𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹f𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹f𝑥) ∘r𝐹))
1815, 17sylibr 233 . 2 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐹f𝑥) ∈ 𝑆)
1918ralrimiva 3145 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → ∀𝑥𝑆 (𝐹f𝑥) ∈ 𝑆)
20 oveq2 7401 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹f𝑥) = (𝐹f𝑧))
2120eleq1d 2817 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹f𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹f𝑧) ∈ 𝑆))
2221rspccva 3608 . . 3 ((∀𝑥𝑆 (𝐹f𝑥) ∈ 𝑆𝑧𝑆) → (𝐹f𝑧) ∈ 𝑆)
2319, 22sylan 580 . 2 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐹f𝑧) ∈ 𝑆)
2410psrbagfOLD 21403 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2524adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2625ffvelcdmda 7071 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝐹𝑛) ∈ ℕ0)
27 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐼𝑉)
286ssrab3 4076 . . . . . . . . . 10 𝑆𝐷
29 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
3028, 29sselid 3976 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝐷)
3110psrbagfOLD 21403 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑧𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
3227, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
3332ffvelcdmda 7071 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑧𝑛) ∈ ℕ0)
3412adantrr 715 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
3534ffvelcdmda 7071 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥𝑛) ∈ ℕ0)
36 nn0cn 12464 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
37 nn0cn 12464 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
38 nn0cn 12464 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑛) ∈ ℂ)
39 subsub23 11447 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑛) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛)))
4036, 37, 38, 39syl3an 1160 . . . . . . 7 (((𝐹𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑧𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑛) ∈ ℕ0) → (((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛)))
4126, 33, 35, 40syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛)))
42 eqcom 2738 . . . . . 6 ((𝑥𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛))
43 eqcom 2738 . . . . . 6 ((𝑧𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛))
4441, 42, 433bitr4g 313 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) ↔ (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛))))
4525ffnd 6705 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐹 Fn 𝐼)
4632ffnd 6705 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 Fn 𝐼)
47 inidm 4214 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
48 eqidd 2732 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑛))
49 eqidd 2732 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑧𝑛) = (𝑧𝑛))
5045, 46, 27, 27, 47, 48, 49ofval 7664 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹f𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)))
5150eqeq2d 2742 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) = ((𝐹f𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑥𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛))))
5234ffnd 6705 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥 Fn 𝐼)
53 eqidd 2732 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑛))
5445, 52, 27, 27, 47, 48, 53ofval 7664 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹f𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)))
5554eqeq2d 2742 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑧𝑛) = ((𝐹f𝑥)‘𝑛) ↔ (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛))))
5644, 51, 553bitr4d 310 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) = ((𝐹f𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑧𝑛) = ((𝐹f𝑥)‘𝑛)))
5756ralbidva 3174 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (∀𝑛𝐼 (𝑥𝑛) = ((𝐹f𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑧𝑛) = ((𝐹f𝑥)‘𝑛)))
5823adantrl 714 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑧) ∈ 𝑆)
5928, 58sselid 3976 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑧) ∈ 𝐷)
6010psrbagfOLD 21403 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹f𝑧) ∈ 𝐷) → (𝐹f𝑧):𝐼⟶ℕ0)
6127, 59, 60syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑧):𝐼⟶ℕ0)
6261ffnd 6705 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑧) Fn 𝐼)
63 eqfnfv 7018 . . . 4 ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐹f𝑧) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐹f𝑧) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑥𝑛) = ((𝐹f𝑧)‘𝑛)))
6452, 62, 63syl2anc 584 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥 = (𝐹f𝑧) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑥𝑛) = ((𝐹f𝑧)‘𝑛)))
6518adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑥) ∈ 𝑆)
6628, 65sselid 3976 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑥) ∈ 𝐷)
6710psrbagfOLD 21403 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹f𝑥) ∈ 𝐷) → (𝐹f𝑥):𝐼⟶ℕ0)
6827, 66, 67syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑥):𝐼⟶ℕ0)
6968ffnd 6705 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑥) Fn 𝐼)
70 eqfnfv 7018 . . . 4 ((𝑧 Fn 𝐼 ∧ (𝐹f𝑥) Fn 𝐼) → (𝑧 = (𝐹f𝑥) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑧𝑛) = ((𝐹f𝑥)‘𝑛)))
7146, 69, 70syl2anc 584 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑧 = (𝐹f𝑥) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑧𝑛) = ((𝐹f𝑥)‘𝑛)))
7257, 64, 713bitr4d 310 . 2 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥 = (𝐹f𝑧) ↔ 𝑧 = (𝐹f𝑥)))
731, 18, 23, 72f1o2d 7643 1 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑥𝑆 ↦ (𝐹f𝑥)):𝑆1-1-onto𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  {crab 3431   class class class wbr 5141  cmpt 5224  ccnv 5668  cima 5672   Fn wfn 6527  wf 6528  1-1-ontowf1o 6531  cfv 6532  (class class class)co 7393  f cof 7651  r cofr 7652  m cmap 8803  Fincfn 8922  cc 11090  cle 11231  cmin 11426  cn 12194  0cn0 12454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7839  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455
This theorem is referenced by:  psrass1lemOLD  21424
  Copyright terms: Public domain W3C validator