Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt15 40620
Description: Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt15.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt15.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt15.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt15.4 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
Assertion
Ref Expression
metakunt15 (𝜑𝐹:(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem metakunt15
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metakunt15.4 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
2 1zzd 12541 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
3 metakunt15.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
43nnzd 12533 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
54adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
65, 2zsubcld 12619 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
7 metakunt15.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
87nnzd 12533 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
109, 5zsubcld 12619 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
11 simpr 486 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)))
12 elfz3 13458 . . . 4 ((𝑀𝐼) ∈ ℤ → (𝑀𝐼) ∈ ((𝑀𝐼)...(𝑀𝐼)))
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀𝐼) ∈ ((𝑀𝐼)...(𝑀𝐼)))
1410zcnd 12615 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀𝐼) ∈ ℂ)
15 1cnd 11157 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
1614, 15addcomd 11364 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → ((𝑀𝐼) + 1) = (1 + (𝑀𝐼)))
177nncnd 12176 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
183nncnd 12176 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
19 1cnd 11157 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2017, 18, 19npncand 11543 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝐼) + (𝐼 − 1)) = (𝑀 − 1))
2120eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 − 1) = ((𝑀𝐼) + (𝐼 − 1)))
2217, 18subcld 11519 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℂ)
2318, 19subcld 11519 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ ℂ)
2422, 23addcomd 11364 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀𝐼) + (𝐼 − 1)) = ((𝐼 − 1) + (𝑀𝐼)))
2521, 24eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 − 1) = ((𝐼 − 1) + (𝑀𝐼)))
2625adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 1) = ((𝐼 − 1) + (𝑀𝐼)))
272, 6, 10, 10, 11, 13, 16, 26fzadd2d 40464 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑥 + (𝑀𝐼)) ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
28 1zzd 12541 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
294adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
3029, 28zsubcld 12619 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
31 elfzelz 13448 . . . . 5 (𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ∈ ℤ)
3231adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ∈ ℤ)
338adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
3433, 29zsubcld 12619 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
3532, 34zsubcld 12619 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
36 elfzle1 13451 . . . . 5 (𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → ((𝑀𝐼) + 1) ≤ 𝑦)
3736adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑀𝐼) + 1) ≤ 𝑦)
3834zred 12614 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑀𝐼) ∈ ℝ)
39 1red 11163 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
4032zred 12614 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4138, 39, 40leaddsub2d 11764 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (((𝑀𝐼) + 1) ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ (𝑦 − (𝑀𝐼))))
4237, 41mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ≤ (𝑦 − (𝑀𝐼)))
43 elfzle2 13452 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 1))
4443adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 1))
4520adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑀𝐼) + (𝐼 − 1)) = (𝑀 − 1))
4644, 45breqtrrd 5138 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ≤ ((𝑀𝐼) + (𝐼 − 1)))
4730zred 12614 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
4840, 38, 47lesubadd2d 11761 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑦 − (𝑀𝐼)) ≤ (𝐼 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑀𝐼) + (𝐼 − 1))))
4946, 48mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀𝐼)) ≤ (𝐼 − 1))
5028, 30, 35, 42, 49elfzd 13439 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀𝐼)) ∈ (1...(𝐼 − 1)))
51 eqcom 2744 . . . . 5 ((𝑦 − (𝑀𝐼)) = 𝑥𝑥 = (𝑦 − (𝑀𝐼)))
5251a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑦 − (𝑀𝐼)) = 𝑥𝑥 = (𝑦 − (𝑀𝐼))))
5331zcnd 12615 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
5453ad2antll 728 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
5517adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑀 ∈ ℂ)
5618adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
5755, 56subcld 11519 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑀𝐼) ∈ ℂ)
58 elfznn 13477 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
5958nncnd 12176 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6059ad2antrl 727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6154, 57, 60subaddd 11537 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑦 − (𝑀𝐼)) = 𝑥 ↔ ((𝑀𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
6252, 61bitr3d 281 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑥 = (𝑦 − (𝑀𝐼)) ↔ ((𝑀𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
6357, 60addcomd 11364 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑀𝐼) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑀𝐼)))
6463eqeq1d 2739 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (((𝑀𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (𝑀𝐼)) = 𝑦))
65 eqcom 2744 . . . . 5 ((𝑥 + (𝑀𝐼)) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (𝑀𝐼)))
6665a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑥 + (𝑀𝐼)) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (𝑀𝐼))))
6764, 66bitrd 279 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (((𝑀𝐼) + 𝑥) = 𝑦𝑦 = (𝑥 + (𝑀𝐼))))
6862, 67bitrd 279 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑥 = (𝑦 − (𝑀𝐼)) ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀𝐼))))
691, 27, 50, 68f1o2d 7612 1 (𝜑𝐹:(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5110  cmpt 5193  1-1-ontowf1o 6500  (class class class)co 7362  cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061  cle 11197  cmin 11392  cn 12160  cz 12506  ...cfz 13431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432
This theorem is referenced by:  metakunt25  40630
  Copyright terms: Public domain W3C validator