Theorem metakunt15 42232

Description: Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt15.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt15.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt15.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt15.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt15	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem metakunt15

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt15.4	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
2		1zzd 12623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
3		metakunt15.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
6	5, 2	zsubcld 12702	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
7		metakunt15.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9, 5	zsubcld 12702	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
11		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)))
12		elfz3 13551	. . . 4 ⊢ ((𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ → (𝑀 − 𝐼) ∈ ((𝑀 − 𝐼)...(𝑀 − 𝐼)))
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ((𝑀 − 𝐼)...(𝑀 − 𝐼)))
14	10	zcnd 12698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℂ)
15		1cnd 11230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	addcomd 11437	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → ((𝑀 − 𝐼) + 1) = (1 + (𝑀 − 𝐼)))
17	7	nncnd 12256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
18	3	nncnd 12256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
19		1cnd 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	npncand 11618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)) = (𝑀 − 1))
21	20	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)))
22	17, 18	subcld 11594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℂ)
23	18, 19	subcld 11594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ ℂ)
24	22, 23	addcomd 11437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)) = ((𝐼 − 1) + (𝑀 − 𝐼)))
25	21, 24	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = ((𝐼 − 1) + (𝑀 − 𝐼)))
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 1) = ((𝐼 − 1) + (𝑀 − 𝐼)))
27	2, 6, 10, 10, 11, 13, 16, 26	fzadd2d 41991	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
28		1zzd 12623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
29	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
30	29, 28	zsubcld 12702	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
31		elfzelz 13541	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ∈ ℤ)
32	31	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ∈ ℤ)
33	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	33, 29	zsubcld 12702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
35	32, 34	zsubcld 12702	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
36		elfzle1 13544	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 𝐼) + 1) ≤ 𝑦)
37	36	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 𝐼) + 1) ≤ 𝑦)
38	34	zred 12697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℝ)
39		1red 11236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
40	32	zred 12697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ∈ ℝ)
41	38, 39, 40	leaddsub2d 11839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (((𝑀 − 𝐼) + 1) ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ (𝑦 − (𝑀 − 𝐼))))
42	37, 41	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ≤ (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)))
43		elfzle2 13545	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 1))
44	43	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 1))
45	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)) = (𝑀 − 1))
46	44, 45	breqtrrd 5147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ≤ ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)))
47	30	zred 12697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
48	40, 38, 47	lesubadd2d 11836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ≤ (𝐼 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1))))
49	46, 48	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ≤ (𝐼 − 1))
50	28, 30, 35, 42, 49	elfzd 13532	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ∈ (1...(𝐼 − 1)))
51		eqcom 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)))
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼))))
53	31	zcnd 12698	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
54	53	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
55	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑀 ∈ ℂ)
56	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
57	55, 56	subcld 11594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℂ)
58		elfznn 13570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
59	58	nncnd 12256	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
60	59	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
61	54, 57, 60	subaddd 11612	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) = 𝑥 ↔ ((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
62	52, 61	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ↔ ((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
63	57, 60	addcomd 11437	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
64	63	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = 𝑦))
65		eqcom 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
66	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
67	64, 66	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
68	62, 67	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
69	1, 27, 50, 68	f1o2d 7661	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  –1-1-onto→wf1o 6530  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130   + caddc 11132   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℤcz 12588  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  metakunt25  42242