Theorem metakunt15 40067

Description: Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt15.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt15.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt15.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt15.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt15	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem metakunt15

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt15.4	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
2		1zzd 12281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
3		metakunt15.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
6	5, 2	zsubcld 12360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
7		metakunt15.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9, 5	zsubcld 12360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
11		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)))
12		elfz3 13195	. . . 4 ⊢ ((𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ → (𝑀 − 𝐼) ∈ ((𝑀 − 𝐼)...(𝑀 − 𝐼)))
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ((𝑀 − 𝐼)...(𝑀 − 𝐼)))
14	10	zcnd 12356	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℂ)
15		1cnd 10901	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	addcomd 11107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → ((𝑀 − 𝐼) + 1) = (1 + (𝑀 − 𝐼)))
17	7	nncnd 11919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
18	3	nncnd 11919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
19		1cnd 10901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	npncand 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)) = (𝑀 − 1))
21	20	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)))
22	17, 18	subcld 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℂ)
23	18, 19	subcld 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ ℂ)
24	22, 23	addcomd 11107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)) = ((𝐼 − 1) + (𝑀 − 𝐼)))
25	21, 24	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = ((𝐼 − 1) + (𝑀 − 𝐼)))
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 1) = ((𝐼 − 1) + (𝑀 − 𝐼)))
27	2, 6, 10, 10, 11, 13, 16, 26	fzadd2d 39914	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
28		1zzd 12281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
29	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
30	29, 28	zsubcld 12360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
31		elfzelz 13185	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ∈ ℤ)
32	31	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ∈ ℤ)
33	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	33, 29	zsubcld 12360	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
35	32, 34	zsubcld 12360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
36		elfzle1 13188	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 𝐼) + 1) ≤ 𝑦)
37	36	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 𝐼) + 1) ≤ 𝑦)
38	34	zred 12355	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℝ)
39		1red 10907	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
40	32	zred 12355	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ∈ ℝ)
41	38, 39, 40	leaddsub2d 11507	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (((𝑀 − 𝐼) + 1) ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ (𝑦 − (𝑀 − 𝐼))))
42	37, 41	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ≤ (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)))
43		elfzle2 13189	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 1))
44	43	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 1))
45	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)) = (𝑀 − 1))
46	44, 45	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ≤ ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)))
47	30	zred 12355	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
48	40, 38, 47	lesubadd2d 11504	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ≤ (𝐼 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1))))
49	46, 48	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ≤ (𝐼 − 1))
50	28, 30, 35, 42, 49	elfzd 13176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ∈ (1...(𝐼 − 1)))
51		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)))
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼))))
53	31	zcnd 12356	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
54	53	ad2antll 725	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
55	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑀 ∈ ℂ)
56	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
57	55, 56	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℂ)
58		elfznn 13214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
59	58	nncnd 11919	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
60	59	ad2antrl 724	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
61	54, 57, 60	subaddd 11280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) = 𝑥 ↔ ((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
62	52, 61	bitr3d 280	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ↔ ((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
63	57, 60	addcomd 11107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
64	63	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = 𝑦))
65		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
66	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
67	64, 66	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
68	62, 67	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
69	1, 27, 50, 68	f1o2d 7501	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  –1-1-onto→wf1o 6417  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  metakunt25  40077