Theorem metakunt15 40987

Description: Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt15.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt15.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt15.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt15.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt15	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem metakunt15

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt15.4	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
2		1zzd 12589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
3		metakunt15.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
5	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
6	5, 2	zsubcld 12667	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
7		metakunt15.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9, 5	zsubcld 12667	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
11		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)))
12		elfz3 13507	. . . 4 ⊢ ((𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ → (𝑀 − 𝐼) ∈ ((𝑀 − 𝐼)...(𝑀 − 𝐼)))
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ((𝑀 − 𝐼)...(𝑀 − 𝐼)))
14	10	zcnd 12663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℂ)
15		1cnd 11205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	addcomd 11412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → ((𝑀 − 𝐼) + 1) = (1 + (𝑀 − 𝐼)))
17	7	nncnd 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
18	3	nncnd 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
19		1cnd 11205	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	npncand 11591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)) = (𝑀 − 1))
21	20	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)))
22	17, 18	subcld 11567	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℂ)
23	18, 19	subcld 11567	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) ∈ ℂ)
24	22, 23	addcomd 11412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)) = ((𝐼 − 1) + (𝑀 − 𝐼)))
25	21, 24	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) = ((𝐼 − 1) + (𝑀 − 𝐼)))
26	25	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 1) = ((𝐼 − 1) + (𝑀 − 𝐼)))
27	2, 6, 10, 10, 11, 13, 16, 26	fzadd2d 40831	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
28		1zzd 12589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
29	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
30	29, 28	zsubcld 12667	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
31		elfzelz 13497	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ∈ ℤ)
32	31	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ∈ ℤ)
33	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	33, 29	zsubcld 12667	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
35	32, 34	zsubcld 12667	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
36		elfzle1 13500	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 𝐼) + 1) ≤ 𝑦)
37	36	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 𝐼) + 1) ≤ 𝑦)
38	34	zred 12662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℝ)
39		1red 11211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
40	32	zred 12662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ∈ ℝ)
41	38, 39, 40	leaddsub2d 11812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (((𝑀 − 𝐼) + 1) ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ (𝑦 − (𝑀 − 𝐼))))
42	37, 41	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 1 ≤ (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)))
43		elfzle2 13501	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 1))
44	43	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ≤ (𝑀 − 1))
45	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)) = (𝑀 − 1))
46	44, 45	breqtrrd 5175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → 𝑦 ≤ ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1)))
47	30	zred 12662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
48	40, 38, 47	lesubadd2d 11809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ≤ (𝐼 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑀 − 𝐼) + (𝐼 − 1))))
49	46, 48	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ≤ (𝐼 − 1))
50	28, 30, 35, 42, 49	elfzd 13488	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) → (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ∈ (1...(𝐼 − 1)))
51		eqcom 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)))
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼))))
53	31	zcnd 12663	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
54	53	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
55	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑀 ∈ ℂ)
56	18	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝐼 ∈ ℂ)
57	55, 56	subcld 11567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℂ)
58		elfznn 13526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
59	58	nncnd 12224	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
60	59	ad2antrl 726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
61	54, 57, 60	subaddd 11585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) = 𝑥 ↔ ((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
62	52, 61	bitr3d 280	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ↔ ((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦))
63	57, 60	addcomd 11412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
64	63	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = 𝑦))
65		eqcom 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
66	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
67	64, 66	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (((𝑀 − 𝐼) + 𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
68	62, 67	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))) → (𝑥 = (𝑦 − (𝑀 − 𝐼)) ↔ 𝑦 = (𝑥 + (𝑀 − 𝐼))))
69	1, 27, 50, 68	f1o2d 7656	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝐼 − 1))–1-1-onto→(((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  –1-1-onto→wf1o 6539  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481

This theorem is referenced by:  metakunt25  40997