Theorem resinf1o 26592

Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
resinf1o	⊢ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem resinf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recosf1o 26591	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)) = (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))
3		halfpire 26520	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
4		neghalfpire 26521	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
5		iccssre 13465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
6	4, 3, 5	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
7	6	sseli 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		resubcl 11570	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
9	3, 7, 8	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
10	4, 3	elicc2i 13449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (π / 2)))
11	10	simp3bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ≤ (π / 2))
12		subge0 11773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
13	3, 7, 12	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
14	11, 13	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥))
15	3	recni 11272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
16		picn 26515	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
17	15	negcli 11574	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
18	16, 15	negsubi 11584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
19		pidiv2halves 26523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
20	16, 15, 15, 19	subaddrii 11595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
21	18, 20	eqtri 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 11595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
23	10	simp2bi 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → -(π / 2) ≤ 𝑥)
24	22, 23	eqbrtrid 5182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − π) ≤ 𝑥)
25		pire 26514	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
26		suble 11738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
27	3, 25, 7, 26	mp3an12i 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
28	24, 27	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ π)
29		0re 11260	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	29, 25	elicc2i 13449	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ∧ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
31	9, 14, 28, 30	syl3anbrc 1342	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
32	31	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
33	29, 25	elicc2i 13449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ π))
34	33	simp1bi 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℝ)
35		resubcl 11570	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
36	3, 34, 35	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
37	33	simp3bi 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ π)
38	15, 15	subnegi 11585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
39	38, 19	eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
40	37, 39	breqtrrdi 5189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)))
41		lesub 11739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
42	3, 4, 41	mp3an23 1452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
43	34, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
44	40, 43	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦))
45	15	subidi 11577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − (π / 2)) = 0
46	33	simp2bi 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ 𝑦)
47	45, 46	eqbrtrid 5182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦)
48		suble 11738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
49	3, 3, 34, 48	mp3an12i 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
50	47, 49	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2))
51	4, 3	elicc2i 13449	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦) ∧ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
52	36, 44, 50, 51	syl3anbrc 1342	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
53	52	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
54		iccssre 13465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
55	29, 25, 54	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
56		ax-resscn 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
57	55, 56	sstri 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
58	57	sseli 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℂ)
59	6, 56	sstri 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ
60	59	sseli 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		subsub23 11510	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
62	15, 61	mp3an1 1447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
63	58, 60, 62	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
64	63	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
65		eqcom 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ ((π / 2) − 𝑦) = 𝑥)
66		eqcom 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((π / 2) − 𝑥) ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦)
67	64, 65, 66	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ 𝑦 = ((π / 2) − 𝑥)))
68	2, 32, 53, 67	f1o2d 7686	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π))
69	68	mptru 1543	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)
70		f1oco 6871	. . 3 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
71	1, 69, 70	mp2an 692	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
72		cosf 16157	. . . . . . . 8 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
73		ffn 6736	. . . . . . . 8 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ cos Fn ℂ
75		fnssres 6691	. . . . . . 7 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
76	74, 57, 75	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
77	2, 31	fmpti 7131	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)
78		fnfco 6773	. . . . . 6 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)))
79	76, 77, 78	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))
80		sinf 16156	. . . . . . 7 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
81		ffn 6736	. . . . . . 7 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ sin Fn ℂ
83		fnssres 6691	. . . . . 6 ⊢ ((sin Fn ℂ ∧ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ) → (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)))
84	82, 59, 83	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))
85		eqfnfv 7050	. . . . 5 ⊢ ((((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦)))
86	79, 84, 85	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
87	77	ffvelcdmi 7102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) ∈ (0[,]π))
88	87	fvresd 6926	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
89		oveq2 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝑦))
90		ovex 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) − 𝑦) ∈ V
91	89, 2, 90	fvmpt 7015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) = ((π / 2) − 𝑦))
92	91	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((π / 2) − 𝑦)))
93	59	sseli 3990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
94		coshalfpim 26551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
95	93, 94	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
96	88, 92, 95	3eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (sin‘𝑦))
97		fvco3 7007	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
98	77, 97	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
99		fvres 6925	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦) = (sin‘𝑦))
100	96, 98, 99	3eqtr4d 2784	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
101	86, 100	mprgbir 3065	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
102		f1oeq1 6836	. . 3 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)))
103	101, 102	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
104	71, 103	mpbi 230	1 ⊢ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536  ⊤wtru 1537   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   ↾ cres 5690   ∘ ccom 5692   Fn wfn 6557  ⟶wf 6558  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   ≤ cle 11293   − cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  [,]cicc 13386  sincsin 16095  cosccos 16096  πcpi 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916

This theorem is referenced by:  efif1olem4  26601  asinrebnd  26958