Theorem resinf1o 26921

Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
resinf1o	⊢ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶1-1onto( -1[,]1)

Proof of Theorem resinf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recosf1o 26920	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶1-1onto( -1[,]1)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)) = (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))
3		halfpire 26850	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
4		neghalfpire 26851	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
5		iccssre 13600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
6	4, 3, 5	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
7	6	sseli 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		resubcl 11661	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
9	3, 7, 8	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
10	4, 3	elicc2i 13583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (π / 2)))
11	10	simp3bi 1165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ≤ (π / 2))
12		subge0 11869	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
13	3, 7, 12	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
14	11, 13	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥))
15	3	recni 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
16		picn 26842	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
17	15	negcli 11665	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
18	16, 15	negsubi 11675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
19		pidiv2halves 26853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
20	16, 15, 15, 19	subaddrii 11686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
21	18, 20	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 11686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
23	10	simp2bi 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → -(π / 2) ≤ 𝑥)
24	22, 23	eqbrtrid 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − π) ≤ 𝑥)
25		pire 26840	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
26		suble 11834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
27	3, 25, 7, 26	mp3an12i 1495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
28	24, 27	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ π)
29		0re 11349	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	29, 25	elicc2i 13583	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ∧ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
31	9, 14, 28, 30	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
32	31	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
33	29, 25	elicc2i 13583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ π))
34	33	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℝ)
35		resubcl 11661	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
36	3, 34, 35	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
37	33	simp3bi 1165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ π)
38	15, 15	subnegi 11676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
39	38, 19	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
40	37, 39	breqtrrdi 5153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)))
41		lesub 11835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
42	3, 4, 41	mp3an23 1483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
43	34, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
44	40, 43	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦))
45	15	subidi 11668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − (π / 2)) = 0
46	33	simp2bi 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ 𝑦)
47	45, 46	eqbrtrid 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦)
48		suble 11834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
49	3, 3, 34, 48	mp3an12i 1495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
50	47, 49	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2))
51	4, 3	elicc2i 13583	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝑦) ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦) ∧ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
52	36, 44, 50, 51	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)))
53	52	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)))
54		iccssre 13600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
55	29, 25, 54	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
56		ax-resscn 11296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
57	55, 56	sstri 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
58	57	sseli 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℂ)
59	6, 56	sstri 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ
60	59	sseli 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		subsub23 11601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
62	15, 61	mp3an1 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
63	58, 60, 62	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
64	63	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
65		eqcom 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ ((π / 2) − 𝑦) = 𝑥)
66		eqcom 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((π / 2) − 𝑥) ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦)
67	64, 65, 66	3bitr4g 317	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ 𝑦 = ((π / 2) − 𝑥)))
68	2, 32, 53, 67	f1o2d 7707	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶1-1onto(0[,]π))
69	68	mptru 1577	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶1-1onto(0[,]π)
70		f1oco 6878	. . 3 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶1-1onto( -1[,]1) ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶1-1onto(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶1-1onto( -1[,]1))
71	1, 69, 70	mp2an 705	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶1-1onto( -1[,]1)
72		cosf 16337	. . . . . . . 8 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
73		ffn 6739	. . . . . . . 8 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ cos Fn ℂ
75		fnssres 6692	. . . . . . 7 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
76	74, 57, 75	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
77	2, 31	fmpti 7144	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)
78		fnfco 6777	. . . . . 6 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2)))
79	76, 77, 78	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2))
80		sinf 16336	. . . . . . 7 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
81		ffn 6739	. . . . . . 7 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ sin Fn ℂ
83		fnssres 6692	. . . . . 6 ⊢ ((sin Fn ℂ ∧ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ) → (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2)))
84	82, 59, 83	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2))
85		eqfnfv 7060	. . . . 5 ⊢ ((((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦)))
86	79, 84, 85	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
87	77	ffvelcdmi 7115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) ∈ (0[,]π))
88	87	fvresd 6936	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
89		oveq2 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝑦))
90		ovex 7484	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) − 𝑦) ∈ V
91	89, 2, 90	fvmpt 7024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) = ((π / 2) − 𝑦))
92	91	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((π / 2) − 𝑦)))
93	59	sseli 3909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
94		coshalfpim 26881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
95	93, 94	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
96	88, 92, 95	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (sin‘𝑦))
97		fvco3 7016	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
98	77, 97	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
99		fvres 6935	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦) = (sin‘𝑦))
100	96, 98, 99	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
101	86, 100	mprgbir 3087	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))
102		f1oeq1 6842	. . 3 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶1-1onto( -1[,]1) ↔ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶1-1onto( -1[,]1)))
103	101, 102	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶1-1onto( -1[,]1) ↔ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶1-1onto( -1[,]1))
104	71, 103	mpbi 233	1 ⊢ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶1-1onto( -1[,]1)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   ↾ cres 5660   ∘ ccom 5662   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   ≤ cle 11383   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  [,]cicc 13519  sincsin 16273  cosccos 16274  πcpi 16276

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242

This theorem is used by:  efif1olem4  26930  asinrebnd  27286