MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resinf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resinf1o 25974
Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
resinf1o (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem resinf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recosf1o 25973 . . 3 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)
2 eqid 2731 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)) = (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))
3 halfpire 25903 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
4 neghalfpire 25904 . . . . . . . . . 10 -(π / 2) ∈ ℝ
5 iccssre 13388 . . . . . . . . . 10 ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
64, 3, 5mp2an 690 . . . . . . . . 9 (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
76sseli 3974 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 resubcl 11506 . . . . . . . 8 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
93, 7, 8sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
104, 3elicc2i 13372 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (π / 2)))
1110simp3bi 1147 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ≤ (π / 2))
12 subge0 11709 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
133, 7, 12sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
1411, 13mpbird 256 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥))
153recni 11210 . . . . . . . . . 10 (π / 2) ∈ ℂ
16 picn 25898 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
1715negcli 11510 . . . . . . . . . 10 -(π / 2) ∈ ℂ
1816, 15negsubi 11520 . . . . . . . . . . 11 (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
19 pidiv2halves 25906 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) + (π / 2)) = π
2016, 15, 15, 19subaddrii 11531 . . . . . . . . . . 11 (π − (π / 2)) = (π / 2)
2118, 20eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 (π + -(π / 2)) = (π / 2)
2215, 16, 17, 21subaddrii 11531 . . . . . . . . 9 ((π / 2) − π) = -(π / 2)
2310simp2bi 1146 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → -(π / 2) ≤ 𝑥)
2422, 23eqbrtrid 5176 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − π) ≤ 𝑥)
25 pire 25897 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
26 suble 11674 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
273, 25, 7, 26mp3an12i 1465 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
2824, 27mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ π)
29 0re 11198 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
3029, 25elicc2i 13372 . . . . . . 7 (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ∧ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
319, 14, 28, 30syl3anbrc 1343 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
3231adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
3329, 25elicc2i 13372 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]π) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ π))
3433simp1bi 1145 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℝ)
35 resubcl 11506 . . . . . . . 8 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
363, 34, 35sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
3733simp3bi 1147 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ π)
3815, 15subnegi 11521 . . . . . . . . . 10 ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
3938, 19eqtri 2759 . . . . . . . . 9 ((π / 2) − -(π / 2)) = π
4037, 39breqtrrdi 5183 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)))
41 lesub 11675 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
423, 4, 41mp3an23 1453 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
4334, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
4440, 43mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦))
4515subidi 11513 . . . . . . . . 9 ((π / 2) − (π / 2)) = 0
4633simp2bi 1146 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ 𝑦)
4745, 46eqbrtrid 5176 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦)
48 suble 11674 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
493, 3, 34, 48mp3an12i 1465 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
5047, 49mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2))
514, 3elicc2i 13372 . . . . . . 7 (((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦) ∧ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
5236, 44, 50, 51syl3anbrc 1343 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
5352adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
54 iccssre 13388 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
5529, 25, 54mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (0[,]π) ⊆ ℝ
56 ax-resscn 11149 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
5755, 56sstri 3987 . . . . . . . . 9 (0[,]π) ⊆ ℂ
5857sseli 3974 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℂ)
596, 56sstri 3987 . . . . . . . . 9 (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ
6059sseli 3974 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
61 subsub23 11447 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
6215, 61mp3an1 1448 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
6358, 60, 62syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
6463adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
65 eqcom 2738 . . . . . 6 (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ ((π / 2) − 𝑦) = 𝑥)
66 eqcom 2738 . . . . . 6 (𝑦 = ((π / 2) − 𝑥) ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦)
6764, 65, 663bitr4g 313 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ 𝑦 = ((π / 2) − 𝑥)))
682, 32, 53, 67f1o2d 7643 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π))
6968mptru 1548 . . 3 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)
70 f1oco 6843 . . 3 (((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
711, 69, 70mp2an 690 . 2 ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
72 cosf 16050 . . . . . . . 8 cos:ℂ⟶ℂ
73 ffn 6704 . . . . . . . 8 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . 7 cos Fn ℂ
75 fnssres 6660 . . . . . . 7 ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
7674, 57, 75mp2an 690 . . . . . 6 (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
772, 31fmpti 7096 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)
78 fnfco 6743 . . . . . 6 (((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)))
7976, 77, 78mp2an 690 . . . . 5 ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))
80 sinf 16049 . . . . . . 7 sin:ℂ⟶ℂ
81 ffn 6704 . . . . . . 7 (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
8280, 81ax-mp 5 . . . . . 6 sin Fn ℂ
83 fnssres 6660 . . . . . 6 ((sin Fn ℂ ∧ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ) → (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)))
8482, 59, 83mp2an 690 . . . . 5 (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))
85 eqfnfv 7018 . . . . 5 ((((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦)))
8679, 84, 85mp2an 690 . . . 4 (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
8777ffvelcdmi 7070 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) ∈ (0[,]π))
8887fvresd 6898 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
89 oveq2 7401 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝑦))
90 ovex 7426 . . . . . . . 8 ((π / 2) − 𝑦) ∈ V
9189, 2, 90fvmpt 6984 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) = ((π / 2) − 𝑦))
9291fveq2d 6882 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((π / 2) − 𝑦)))
9359sseli 3974 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
94 coshalfpim 25934 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
9593, 94syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
9688, 92, 953eqtrd 2775 . . . . 5 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (sin‘𝑦))
97 fvco3 6976 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
9877, 97mpan 688 . . . . 5 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
99 fvres 6897 . . . . 5 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦) = (sin‘𝑦))
10096, 98, 993eqtr4d 2781 . . . 4 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
10186, 100mprgbir 3067 . . 3 ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
102 f1oeq1 6808 . . 3 (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)))
103101, 102ax-mp 5 . 2 (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
10471, 103mpbi 229 1 (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wral 3060  wss 3944   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cres 5671  ccom 5673   Fn wfn 6527  wf 6528  1-1-ontowf1o 6531  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095  cle 11231  cmin 11426  -cneg 11427   / cdiv 11853  2c2 12249  [,]cicc 13309  sincsin 15989  cosccos 15990  πcpi 15992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-shft 14996  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-mulg 18923  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cncf 24323  df-limc 25312  df-dv 25313
This theorem is referenced by:  efif1olem4  25983  asinrebnd  26333
  Copyright terms: Public domain W3C validator