Theorem resinf1o 26045

Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
resinf1o	⊢ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem resinf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recosf1o 26044	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)) = (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))
3		halfpire 25974	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
4		neghalfpire 25975	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
5		iccssre 13406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
6	4, 3, 5	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
7	6	sseli 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		resubcl 11524	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
9	3, 7, 8	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
10	4, 3	elicc2i 13390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (π / 2)))
11	10	simp3bi 1148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ≤ (π / 2))
12		subge0 11727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
13	3, 7, 12	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
14	11, 13	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥))
15	3	recni 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
16		picn 25969	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
17	15	negcli 11528	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
18	16, 15	negsubi 11538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
19		pidiv2halves 25977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
20	16, 15, 15, 19	subaddrii 11549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
21	18, 20	eqtri 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 11549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
23	10	simp2bi 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → -(π / 2) ≤ 𝑥)
24	22, 23	eqbrtrid 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − π) ≤ 𝑥)
25		pire 25968	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
26		suble 11692	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
27	3, 25, 7, 26	mp3an12i 1466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
28	24, 27	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ π)
29		0re 11216	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	29, 25	elicc2i 13390	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ∧ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
31	9, 14, 28, 30	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
32	31	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
33	29, 25	elicc2i 13390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ π))
34	33	simp1bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℝ)
35		resubcl 11524	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
36	3, 34, 35	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
37	33	simp3bi 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ π)
38	15, 15	subnegi 11539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
39	38, 19	eqtri 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
40	37, 39	breqtrrdi 5191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)))
41		lesub 11693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
42	3, 4, 41	mp3an23 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
43	34, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
44	40, 43	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦))
45	15	subidi 11531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − (π / 2)) = 0
46	33	simp2bi 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ 𝑦)
47	45, 46	eqbrtrid 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦)
48		suble 11692	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
49	3, 3, 34, 48	mp3an12i 1466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
50	47, 49	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2))
51	4, 3	elicc2i 13390	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦) ∧ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
52	36, 44, 50, 51	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
53	52	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
54		iccssre 13406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
55	29, 25, 54	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
56		ax-resscn 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
57	55, 56	sstri 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
58	57	sseli 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℂ)
59	6, 56	sstri 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ
60	59	sseli 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		subsub23 11465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
62	15, 61	mp3an1 1449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
63	58, 60, 62	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
64	63	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
65		eqcom 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ ((π / 2) − 𝑦) = 𝑥)
66		eqcom 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((π / 2) − 𝑥) ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦)
67	64, 65, 66	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ 𝑦 = ((π / 2) − 𝑥)))
68	2, 32, 53, 67	f1o2d 7660	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π))
69	68	mptru 1549	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)
70		f1oco 6857	. . 3 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
71	1, 69, 70	mp2an 691	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
72		cosf 16068	. . . . . . . 8 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
73		ffn 6718	. . . . . . . 8 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ cos Fn ℂ
75		fnssres 6674	. . . . . . 7 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
76	74, 57, 75	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
77	2, 31	fmpti 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)
78		fnfco 6757	. . . . . 6 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)))
79	76, 77, 78	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))
80		sinf 16067	. . . . . . 7 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
81		ffn 6718	. . . . . . 7 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ sin Fn ℂ
83		fnssres 6674	. . . . . 6 ⊢ ((sin Fn ℂ ∧ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ) → (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)))
84	82, 59, 83	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))
85		eqfnfv 7033	. . . . 5 ⊢ ((((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦)))
86	79, 84, 85	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
87	77	ffvelcdmi 7086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) ∈ (0[,]π))
88	87	fvresd 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
89		oveq2 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝑦))
90		ovex 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) − 𝑦) ∈ V
91	89, 2, 90	fvmpt 6999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) = ((π / 2) − 𝑦))
92	91	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((π / 2) − 𝑦)))
93	59	sseli 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
94		coshalfpim 26005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
95	93, 94	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
96	88, 92, 95	3eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (sin‘𝑦))
97		fvco3 6991	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
98	77, 97	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
99		fvres 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦) = (sin‘𝑦))
100	96, 98, 99	3eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
101	86, 100	mprgbir 3069	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
102		f1oeq1 6822	. . 3 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)))
103	101, 102	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
104	71, 103	mpbi 229	1 ⊢ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   ↾ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ≤ cle 11249   − cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  [,]cicc 13327  sincsin 16007  cosccos 16008  πcpi 16010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384

This theorem is referenced by:  efif1olem4  26054  asinrebnd  26406