Theorem resinf1o 26871

Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
resinf1o	⊢ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1)

Proof of Theorem resinf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recosf1o 26870	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→( -1[,]1)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)) = (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))
3		halfpire 26800	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
4		neghalfpire 26801	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
5		iccssre 13565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
6	4, 3, 5	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
7	6	sseli 3905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		resubcl 11627	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
9	3, 7, 8	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
10	4, 3	elicc2i 13548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (π / 2)))
11	10	simp3bi 1165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ≤ (π / 2))
12		subge0 11834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
13	3, 7, 12	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
14	11, 13	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥))
15	3	recni 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
16		picn 26792	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
17	15	negcli 11631	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
18	16, 15	negsubi 11641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
19		pidiv2halves 26803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
20	16, 15, 15, 19	subaddrii 11652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
21	18, 20	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 11652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
23	10	simp2bi 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → -(π / 2) ≤ 𝑥)
24	22, 23	eqbrtrid 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − π) ≤ 𝑥)
25		pire 26790	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
26		suble 11799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
27	3, 25, 7, 26	mp3an12i 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
28	24, 27	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ π)
29		0re 11315	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	29, 25	elicc2i 13548	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ∧ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
31	9, 14, 28, 30	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
32	31	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
33	29, 25	elicc2i 13548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ π))
34	33	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℝ)
35		resubcl 11627	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
36	3, 34, 35	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
37	33	simp3bi 1165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ π)
38	15, 15	subnegi 11642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
39	38, 19	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
40	37, 39	breqtrrdi 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)))
41		lesub 11800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
42	3, 4, 41	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
43	34, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
44	40, 43	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦))
45	15	subidi 11634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − (π / 2)) = 0
46	33	simp2bi 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ 𝑦)
47	45, 46	eqbrtrid 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦)
48		suble 11799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
49	3, 3, 34, 48	mp3an12i 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
50	47, 49	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2))
51	4, 3	elicc2i 13548	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝑦) ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦) ∧ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
52	36, 44, 50, 51	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)))
53	52	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)))
54		iccssre 13565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
55	29, 25, 54	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
56		ax-resscn 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
57	55, 56	sstri 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
58	57	sseli 3905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℂ)
59	6, 56	sstri 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ
60	59	sseli 3905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		subsub23 11567	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
62	15, 61	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
63	58, 60, 62	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
64	63	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
65		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ ((π / 2) − 𝑦) = 𝑥)
66		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((π / 2) − 𝑥) ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦)
67	64, 65, 66	3bitr4g 317	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ 𝑦 = ((π / 2) − 𝑥)))
68	2, 32, 53, 67	f1o2d 7677	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π))
69	68	mptru 1576	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)
70		f1oco 6851	. . 3 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→( -1[,]1) ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1))
71	1, 69, 70	mp2an 705	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1)
72		cosf 16300	. . . . . . . 8 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
73		ffn 6712	. . . . . . . 8 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ cos Fn ℂ
75		fnssres 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
76	74, 57, 75	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
77	2, 31	fmpti 7115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)
78		fnfco 6750	. . . . . 6 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2)))
79	76, 77, 78	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2))
80		sinf 16299	. . . . . . 7 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
81		ffn 6712	. . . . . . 7 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ sin Fn ℂ
83		fnssres 6665	. . . . . 6 ⊢ ((sin Fn ℂ ∧ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ) → (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2)))
84	82, 59, 83	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2))
85		eqfnfv 7032	. . . . 5 ⊢ ((((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦)))
86	79, 84, 85	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
87	77	ffvelcdmi 7086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) ∈ (0[,]π))
88	87	fvresd 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
89		oveq2 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝑦))
90		ovex 7455	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) − 𝑦) ∈ V
91	89, 2, 90	fvmpt 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) = ((π / 2) − 𝑦))
92	91	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((π / 2) − 𝑦)))
93	59	sseli 3905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
94		coshalfpim 26831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
95	93, 94	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
96	88, 92, 95	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (sin‘𝑦))
97		fvco3 6988	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
98	77, 97	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
99		fvres 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦) = (sin‘𝑦))
100	96, 98, 99	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
101	86, 100	mprgbir 3083	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))
102		f1oeq1 6815	. . 3 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1) ↔ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1)))
103	101, 102	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1) ↔ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1))
104	71, 103	mpbi 233	1 ⊢ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208   ≤ cle 11349   − cmin 11546   -cneg 11547   / cdiv 11978  2c2 12402  [,]cicc 13484  sincsin 16236  cosccos 16237  πcpi 16239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ioc 13486  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-bc 14452  df-hash 14480  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-ef 16240  df-sin 16242  df-cos 16243  df-pi 16245  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-lp 23461  df-perf 23462  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-haus 23640  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-limc 26193  df-dv 26194

This theorem is used by:  efif1olem4  26880  asinrebnd  27236