MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resinf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resinf1o 24573
Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
resinf1o (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem resinf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recosf1o 24572 . . 3 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)
2 eqid 2764 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)) = (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))
3 halfpire 24507 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
4 neghalfpire 24508 . . . . . . . . . 10 -(π / 2) ∈ ℝ
5 iccssre 12456 . . . . . . . . . 10 ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
64, 3, 5mp2an 683 . . . . . . . . 9 (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
76sseli 3756 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 resubcl 10598 . . . . . . . 8 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
93, 7, 8sylancr 581 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
104, 3elicc2i 12440 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (π / 2)))
1110simp3bi 1177 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ≤ (π / 2))
12 subge0 10794 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
133, 7, 12sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
1411, 13mpbird 248 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥))
153recni 10307 . . . . . . . . . 10 (π / 2) ∈ ℂ
16 picn 24502 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
1715negcli 10602 . . . . . . . . . 10 -(π / 2) ∈ ℂ
1816, 15negsubi 10612 . . . . . . . . . . 11 (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
19 pidiv2halves 24510 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) + (π / 2)) = π
2016, 15, 15, 19subaddrii 10623 . . . . . . . . . . 11 (π − (π / 2)) = (π / 2)
2118, 20eqtri 2786 . . . . . . . . . 10 (π + -(π / 2)) = (π / 2)
2215, 16, 17, 21subaddrii 10623 . . . . . . . . 9 ((π / 2) − π) = -(π / 2)
2310simp2bi 1176 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → -(π / 2) ≤ 𝑥)
2422, 23syl5eqbr 4843 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − π) ≤ 𝑥)
25 pire 24501 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
26 suble 10759 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
273, 25, 26mp3an12 1575 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
287, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
2924, 28mpbid 223 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ π)
30 0re 10294 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
3130, 25elicc2i 12440 . . . . . . 7 (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ∧ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
329, 14, 29, 31syl3anbrc 1443 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
3332adantl 473 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
3430, 25elicc2i 12440 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]π) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ π))
3534simp1bi 1175 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℝ)
36 resubcl 10598 . . . . . . . 8 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
373, 35, 36sylancr 581 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
3834simp3bi 1177 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ π)
3915, 15subnegi 10613 . . . . . . . . . 10 ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
4039, 19eqtri 2786 . . . . . . . . 9 ((π / 2) − -(π / 2)) = π
4138, 40syl6breqr 4850 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)))
42 lesub 10760 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
433, 4, 42mp3an23 1577 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
4435, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
4541, 44mpbid 223 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦))
4615subidi 10605 . . . . . . . . 9 ((π / 2) − (π / 2)) = 0
4734simp2bi 1176 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ 𝑦)
4846, 47syl5eqbr 4843 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦)
49 suble 10759 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
503, 3, 49mp3an12 1575 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
5135, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
5248, 51mpbid 223 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2))
534, 3elicc2i 12440 . . . . . . 7 (((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦) ∧ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
5437, 45, 52, 53syl3anbrc 1443 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
5554adantl 473 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
56 iccssre 12456 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
5730, 25, 56mp2an 683 . . . . . . . . . 10 (0[,]π) ⊆ ℝ
58 ax-resscn 10245 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
5957, 58sstri 3769 . . . . . . . . 9 (0[,]π) ⊆ ℂ
6059sseli 3756 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℂ)
616, 58sstri 3769 . . . . . . . . 9 (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ
6261sseli 3756 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
63 subsub23 10539 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
6415, 63mp3an1 1572 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
6560, 62, 64syl2anr 590 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
6665adantl 473 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
67 eqcom 2771 . . . . . 6 (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ ((π / 2) − 𝑦) = 𝑥)
68 eqcom 2771 . . . . . 6 (𝑦 = ((π / 2) − 𝑥) ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦)
6966, 67, 683bitr4g 305 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ 𝑦 = ((π / 2) − 𝑥)))
702, 33, 55, 69f1o2d 7084 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π))
7170mptru 1660 . . 3 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)
72 f1oco 6341 . . 3 (((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
731, 71, 72mp2an 683 . 2 ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
74 cosf 15138 . . . . . . . 8 cos:ℂ⟶ℂ
75 ffn 6222 . . . . . . . 8 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . 7 cos Fn ℂ
77 fnssres 6181 . . . . . . 7 ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
7876, 59, 77mp2an 683 . . . . . 6 (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
792, 32fmpti 6571 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)
80 fnfco 6250 . . . . . 6 (((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)))
8178, 79, 80mp2an 683 . . . . 5 ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))
82 sinf 15137 . . . . . . 7 sin:ℂ⟶ℂ
83 ffn 6222 . . . . . . 7 (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6 sin Fn ℂ
85 fnssres 6181 . . . . . 6 ((sin Fn ℂ ∧ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ) → (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)))
8684, 61, 85mp2an 683 . . . . 5 (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))
87 eqfnfv 6500 . . . . 5 ((((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) Fn (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦)))
8881, 86, 87mp2an 683 . . . 4 (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
8979ffvelrni 6547 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) ∈ (0[,]π))
90 fvres 6393 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
9189, 90syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
92 oveq2 6849 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝑦))
93 ovex 6873 . . . . . . . 8 ((π / 2) − 𝑦) ∈ V
9492, 2, 93fvmpt 6470 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) = ((π / 2) − 𝑦))
9594fveq2d 6378 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((π / 2) − 𝑦)))
9661sseli 3756 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
97 coshalfpim 24538 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
9896, 97syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
9991, 95, 983eqtrd 2802 . . . . 5 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (sin‘𝑦))
100 fvco3 6463 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):(-(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
10179, 100mpan 681 . . . . 5 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
102 fvres 6393 . . . . 5 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦) = (sin‘𝑦))
10399, 101, 1023eqtr4d 2808 . . . 4 (𝑦 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
10488, 103mprgbir 3073 . . 3 ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
105 f1oeq1 6309 . . 3 (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)))
106104, 105ax-mp 5 . 2 (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
10773, 106mpbi 221 1 (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  wral 3054  wss 3731   class class class wbr 4808  cmpt 4887  cres 5278  ccom 5280   Fn wfn 6062  wf 6063  1-1-ontowf1o 6066  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191  cle 10328  cmin 10519  -cneg 10520   / cdiv 10937  2c2 11326  [,]cicc 12379  sincsin 15077  cosccos 15078  πcpi 15080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266  ax-addf 10267  ax-mulf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-oi 8621  df-card 9015  df-cda 9242  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-ioo 12380  df-ioc 12381  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14093  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-limsup 14488  df-clim 14505  df-rlim 14506  df-sum 14703  df-ef 15081  df-sin 15083  df-cos 15084  df-pi 15086  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-hom 16239  df-cco 16240  df-rest 16350  df-topn 16351  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-topgen 16371  df-pt 16372  df-prds 16375  df-xrs 16429  df-qtop 16434  df-imas 16435  df-xps 16437  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-submnd 17603  df-mulg 17809  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-fbas 20015  df-fg 20016  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cld 21102  df-ntr 21103  df-cls 21104  df-nei 21181  df-lp 21219  df-perf 21220  df-cn 21310  df-cnp 21311  df-haus 21398  df-tx 21644  df-hmeo 21837  df-fil 21928  df-fm 22020  df-flim 22021  df-flf 22022  df-xms 22403  df-ms 22404  df-tms 22405  df-cncf 22959  df-limc 23920  df-dv 23921
This theorem is referenced by:  efif1olem4  24582  asinrebnd  24918
  Copyright terms: Public domain W3C validator