Theorem resinf1o 26865

Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
resinf1o	⊢ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1)

Proof of Theorem resinf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recosf1o 26864	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→( -1[,]1)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)) = (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))
3		halfpire 26794	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
4		neghalfpire 26795	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
5		iccssre 13561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
6	4, 3, 5	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
7	6	sseli 3904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		resubcl 11623	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
9	3, 7, 8	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
10	4, 3	elicc2i 13544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (π / 2)))
11	10	simp3bi 1165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ≤ (π / 2))
12		subge0 11830	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
13	3, 7, 12	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
14	11, 13	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥))
15	3	recni 11324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
16		picn 26786	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
17	15	negcli 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
18	16, 15	negsubi 11637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
19		pidiv2halves 26797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
20	16, 15, 15, 19	subaddrii 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
21	18, 20	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 11648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
23	10	simp2bi 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → -(π / 2) ≤ 𝑥)
24	22, 23	eqbrtrid 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − π) ≤ 𝑥)
25		pire 26784	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
26		suble 11795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
27	3, 25, 7, 26	mp3an12i 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (((π / 2) − π) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
28	24, 27	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ π)
29		0re 11311	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	29, 25	elicc2i 13544	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ∧ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
31	9, 14, 28, 30	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
32	31	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
33	29, 25	elicc2i 13544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ π))
34	33	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℝ)
35		resubcl 11623	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
36	3, 34, 35	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ)
37	33	simp3bi 1165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ π)
38	15, 15	subnegi 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
39	38, 19	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
40	37, 39	breqtrrdi 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)))
41		lesub 11796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
42	3, 4, 41	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
43	34, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑦 ≤ ((π / 2) − -(π / 2)) ↔ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦)))
44	40, 43	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦))
45	15	subidi 11630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) − (π / 2)) = 0
46	33	simp2bi 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ 𝑦)
47	45, 46	eqbrtrid 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦)
48		suble 11795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
49	3, 3, 34, 48	mp3an12i 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((π / 2) − (π / 2)) ≤ 𝑦 ↔ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
50	47, 49	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2))
51	4, 3	elicc2i 13544	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) − 𝑦) ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (((π / 2) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ ((π / 2) − 𝑦) ∧ ((π / 2) − 𝑦) ≤ (π / 2)))
52	36, 44, 50, 51	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)))
53	52	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((π / 2) − 𝑦) ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)))
54		iccssre 13561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
55	29, 25, 54	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
56		ax-resscn 11258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
57	55, 56	sstri 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
58	57	sseli 3904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → 𝑦 ∈ ℂ)
59	6, 56	sstri 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ
60	59	sseli 3904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		subsub23 11563	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
62	15, 61	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
63	58, 60, 62	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
64	63	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (((π / 2) − 𝑦) = 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦))
65		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ ((π / 2) − 𝑦) = 𝑥)
66		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((π / 2) − 𝑥) ↔ ((π / 2) − 𝑥) = 𝑦)
67	64, 65, 66	3bitr4g 317	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π))) → (𝑥 = ((π / 2) − 𝑦) ↔ 𝑦 = ((π / 2) − 𝑥)))
68	2, 32, 53, 67	f1o2d 7675	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π))
69	68	mptru 1576	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)
70		f1oco 6848	. . 3 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→( -1[,]1) ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1))
71	1, 69, 70	mp2an 705	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1)
72		cosf 16294	. . . . . . . 8 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
73		ffn 6709	. . . . . . . 8 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ cos Fn ℂ
75		fnssres 6662	. . . . . . 7 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
76	74, 57, 75	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
77	2, 31	fmpti 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)
78		fnfco 6747	. . . . . 6 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π)) → ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2)))
79	76, 77, 78	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2))
80		sinf 16293	. . . . . . 7 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
81		ffn 6709	. . . . . . 7 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ sin Fn ℂ
83		fnssres 6662	. . . . . 6 ⊢ ((sin Fn ℂ ∧ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℂ) → (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2)))
84	82, 59, 83	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2))
85		eqfnfv 7029	. . . . 5 ⊢ ((((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2)) ∧ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) Fn ( -(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦)))
86	79, 84, 85	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) ↔ ∀𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))(((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
87	77	ffvelcdmi 7083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) ∈ (0[,]π))
88	87	fvresd 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
89		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝑦))
90		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) − 𝑦) ∈ V
91	89, 2, 90	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦) = ((π / 2) − 𝑦))
92	91	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (cos‘((π / 2) − 𝑦)))
93	59	sseli 3904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
94		coshalfpim 26825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
95	93, 94	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝑦)) = (sin‘𝑦))
96	88, 92, 95	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)) = (sin‘𝑦))
97		fvco3 6985	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)):( -(π / 2)[,](π / 2))⟶(0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
98	77, 97	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((cos ↾ (0[,]π))‘((𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))‘𝑦)))
99		fvres 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦) = (sin‘𝑦))
100	96, 98, 99	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥)))‘𝑦) = ((sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))‘𝑦))
101	86, 100	mprgbir 3083	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2)))
102		f1oeq1 6812	. . 3 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))) = (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))) → (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1) ↔ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1)))
103	101, 102	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((cos ↾ (0[,]π)) ∘ (𝑥 ∈ ( -(π / 2)[,](π / 2)) ↦ ((π / 2) − 𝑥))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1) ↔ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1))
104	71, 103	mpbi 233	1 ⊢ (sin ↾ ( -(π / 2)[,](π / 2))):( -(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→( -1[,]1)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204   ≤ cle 11345   − cmin 11542   -cneg 11543   / cdiv 11974  2c2 12398  [,]cicc 13480  sincsin 16230  cosccos 16231  πcpi 16233

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ioc 13482  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-shft 15221  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-ef 16234  df-sin 16236  df-cos 16237  df-pi 16239  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-haus 23634  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-limc 26187  df-dv 26188

This theorem is used by:  efif1olem4  26874  asinrebnd  27230