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Theorem fin23lem22 10328
Description: Lemma for fin23 10390 but could be used elsewhere if we find a good name for it. Explicit construction of a bijection (actually an isomorphism, see fin23lem27 10329) between an infinite subset of ω and ω itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem22.b 𝐶 = (𝑖 ∈ ω ↦ (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖))
Assertion
Ref Expression
fin23lem22 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐶:ω–1-1-onto𝑆)
Distinct variable group:   𝑖,𝑗,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem fin23lem22
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem22.b . 2 𝐶 = (𝑖 ∈ ω ↦ (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖))
2 fin23lem23 10327 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
3 riotacl 7386 . . 3 (∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖 → (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) ∈ 𝑆)
42, 3syl 17 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) ∈ 𝑆)
5 simpll 764 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑆) → 𝑆 ⊆ ω)
6 simpr 484 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑆) → 𝑎𝑆)
75, 6sseldd 3983 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ω)
8 nnfi 9173 . . 3 (𝑎 ∈ ω → 𝑎 ∈ Fin)
9 infi 9274 . . 3 (𝑎 ∈ Fin → (𝑎𝑆) ∈ Fin)
10 ficardom 9962 . . 3 ((𝑎𝑆) ∈ Fin → (card‘(𝑎𝑆)) ∈ ω)
117, 8, 9, 104syl 19 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑆) → (card‘(𝑎𝑆)) ∈ ω)
12 cardnn 9964 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ω → (card‘𝑖) = 𝑖)
1312eqcomd 2737 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ω → 𝑖 = (card‘𝑖))
1413eqeq1d 2733 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = (card‘(𝑎𝑆)) ↔ (card‘𝑖) = (card‘(𝑎𝑆))))
15 eqcom 2738 . . . . 5 ((card‘𝑖) = (card‘(𝑎𝑆)) ↔ (card‘(𝑎𝑆)) = (card‘𝑖))
1614, 15bitrdi 287 . . . 4 (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = (card‘(𝑎𝑆)) ↔ (card‘(𝑎𝑆)) = (card‘𝑖)))
1716ad2antrl 725 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → (𝑖 = (card‘(𝑎𝑆)) ↔ (card‘(𝑎𝑆)) = (card‘𝑖)))
18 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑆 ⊆ ω)
19 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑎𝑆)
2018, 19sseldd 3983 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑎 ∈ ω)
21 nnon 7865 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ω → 𝑎 ∈ On)
22 onenon 9950 . . . . . 6 (𝑎 ∈ On → 𝑎 ∈ dom card)
2320, 21, 223syl 18 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑎 ∈ dom card)
24 inss1 4228 . . . . 5 (𝑎𝑆) ⊆ 𝑎
25 ssnum 10040 . . . . 5 ((𝑎 ∈ dom card ∧ (𝑎𝑆) ⊆ 𝑎) → (𝑎𝑆) ∈ dom card)
2623, 24, 25sylancl 585 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → (𝑎𝑆) ∈ dom card)
27 nnon 7865 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ω → 𝑖 ∈ On)
2827ad2antrl 725 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑖 ∈ On)
29 onenon 9950 . . . . 5 (𝑖 ∈ On → 𝑖 ∈ dom card)
3028, 29syl 17 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑖 ∈ dom card)
31 carden2 9988 . . . 4 (((𝑎𝑆) ∈ dom card ∧ 𝑖 ∈ dom card) → ((card‘(𝑎𝑆)) = (card‘𝑖) ↔ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖))
3226, 30, 31syl2anc 583 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → ((card‘(𝑎𝑆)) = (card‘𝑖) ↔ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖))
332adantrr 714 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
34 ineq1 4205 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝑆) = (𝑎𝑆))
3534breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑎 → ((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖))
3635riota2 7394 . . . . 5 ((𝑎𝑆 ∧ ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) → ((𝑎𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) = 𝑎))
3719, 33, 36syl2anc 583 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → ((𝑎𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) = 𝑎))
38 eqcom 2738 . . . 4 ((𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) = 𝑎𝑎 = (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖))
3937, 38bitrdi 287 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → ((𝑎𝑆) ≈ 𝑖𝑎 = (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)))
4017, 32, 393bitrd 305 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → (𝑖 = (card‘(𝑎𝑆)) ↔ 𝑎 = (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)))
411, 4, 11, 40f1o2d 7664 1 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐶:ω–1-1-onto𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  ∃!wreu 3373  cin 3947  wss 3948   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5676  Oncon0 6364  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  crio 7367  ωcom 7859  cen 8942  Fincfn 8945  cardccrd 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940
This theorem is referenced by:  fin23lem27  10329  fin23lem28  10341  fin23lem30  10343  isf32lem6  10359  isf32lem7  10360  isf32lem8  10361
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