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Theorem fin23lem22 10364
Description: Lemma for fin23 10426 but could be used elsewhere if we find a good name for it. Explicit construction of a bijection (actually an isomorphism, see fin23lem27 10365) between an infinite subset of ω and ω itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem22.b 𝐶 = (𝑖 ∈ ω ↦ (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖))
Assertion
Ref Expression
fin23lem22 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐶:ω–1-1-onto𝑆)
Distinct variable group:   𝑖,𝑗,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem fin23lem22
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem22.b . 2 𝐶 = (𝑖 ∈ ω ↦ (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖))
2 fin23lem23 10363 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
3 riotacl 7404 . . 3 (∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖 → (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) ∈ 𝑆)
42, 3syl 17 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) ∈ 𝑆)
5 simpll 767 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑆) → 𝑆 ⊆ ω)
6 simpr 484 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑆) → 𝑎𝑆)
75, 6sseldd 3995 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ω)
8 nnfi 9205 . . 3 (𝑎 ∈ ω → 𝑎 ∈ Fin)
9 infi 9299 . . 3 (𝑎 ∈ Fin → (𝑎𝑆) ∈ Fin)
10 ficardom 9998 . . 3 ((𝑎𝑆) ∈ Fin → (card‘(𝑎𝑆)) ∈ ω)
117, 8, 9, 104syl 19 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑎𝑆) → (card‘(𝑎𝑆)) ∈ ω)
12 cardnn 10000 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ω → (card‘𝑖) = 𝑖)
1312eqcomd 2740 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ω → 𝑖 = (card‘𝑖))
1413eqeq1d 2736 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = (card‘(𝑎𝑆)) ↔ (card‘𝑖) = (card‘(𝑎𝑆))))
15 eqcom 2741 . . . . 5 ((card‘𝑖) = (card‘(𝑎𝑆)) ↔ (card‘(𝑎𝑆)) = (card‘𝑖))
1614, 15bitrdi 287 . . . 4 (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = (card‘(𝑎𝑆)) ↔ (card‘(𝑎𝑆)) = (card‘𝑖)))
1716ad2antrl 728 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → (𝑖 = (card‘(𝑎𝑆)) ↔ (card‘(𝑎𝑆)) = (card‘𝑖)))
18 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑆 ⊆ ω)
19 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑎𝑆)
2018, 19sseldd 3995 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑎 ∈ ω)
21 nnon 7892 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ω → 𝑎 ∈ On)
22 onenon 9986 . . . . . 6 (𝑎 ∈ On → 𝑎 ∈ dom card)
2320, 21, 223syl 18 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑎 ∈ dom card)
24 inss1 4244 . . . . 5 (𝑎𝑆) ⊆ 𝑎
25 ssnum 10076 . . . . 5 ((𝑎 ∈ dom card ∧ (𝑎𝑆) ⊆ 𝑎) → (𝑎𝑆) ∈ dom card)
2623, 24, 25sylancl 586 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → (𝑎𝑆) ∈ dom card)
27 nnon 7892 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ω → 𝑖 ∈ On)
2827ad2antrl 728 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑖 ∈ On)
29 onenon 9986 . . . . 5 (𝑖 ∈ On → 𝑖 ∈ dom card)
3028, 29syl 17 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → 𝑖 ∈ dom card)
31 carden2 10024 . . . 4 (((𝑎𝑆) ∈ dom card ∧ 𝑖 ∈ dom card) → ((card‘(𝑎𝑆)) = (card‘𝑖) ↔ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖))
3226, 30, 31syl2anc 584 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → ((card‘(𝑎𝑆)) = (card‘𝑖) ↔ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖))
332adantrr 717 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
34 ineq1 4220 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝑆) = (𝑎𝑆))
3534breq1d 5157 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑎 → ((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖))
3635riota2 7412 . . . . 5 ((𝑎𝑆 ∧ ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) → ((𝑎𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) = 𝑎))
3719, 33, 36syl2anc 584 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → ((𝑎𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) = 𝑎))
38 eqcom 2741 . . . 4 ((𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖) = 𝑎𝑎 = (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖))
3937, 38bitrdi 287 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → ((𝑎𝑆) ≈ 𝑖𝑎 = (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)))
4017, 32, 393bitrd 305 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ ω ∧ 𝑎𝑆)) → (𝑖 = (card‘(𝑎𝑆)) ↔ 𝑎 = (𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)))
411, 4, 11, 40f1o2d 7686 1 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐶:ω–1-1-onto𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  ∃!wreu 3375  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  Oncon0 6385  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  crio 7386  ωcom 7886  cen 8980  Fincfn 8983  cardccrd 9972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976
This theorem is referenced by:  fin23lem27  10365  fin23lem28  10377  fin23lem30  10379  isf32lem6  10395  isf32lem7  10396  isf32lem8  10397
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