Theorem dvdsflip 16354

Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflip.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
dvdsflip.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dvdsflip	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvdsflip

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflip.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))
2		dvdsflip.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
3	2	eleq2i 2833	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
4		dvdsdivcl 16353	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
5	3, 4	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
6	5, 2	eleqtrrdi 2852	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ 𝐴)
7	2	eleq2i 2833	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
8		dvdsdivcl 16353	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
9	7, 8	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
10	9, 2	eleqtrrdi 2852	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ 𝐴)
11	2	ssrab3 4082	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
12	11	sseli 3979	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℕ)
13	11	sseli 3979	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℕ)
14	12, 13	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ))
15		nncn 12274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		nncn 12274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
19		nncn 12274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
20	19	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
21		nnne0 12300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
22	21	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ≠ 0)
23	16, 18, 20, 22	divmul3d 12077	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
24		nnne0 12300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
25	24	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ≠ 0)
26	16, 20, 18, 25	divmul2d 12076	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
27	23, 26	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
28	14, 27	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
29		eqcom 2744	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ (𝑁 / 𝑧) = 𝑦)
30		eqcom 2744	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑁 / 𝑦) ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧)
31	28, 29, 30	3bitr4g 314	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝑁 / 𝑦)))
32	1, 6, 10, 31	f1o2d 7687	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  –1-1-onto→wf1o 6560  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160   / cdiv 11920  ℕcn 12266   ∥ cdvds 16290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-z 12614  df-dvds 16291

This theorem is referenced by:  phisum  16828  fsumdvdscom  27228