Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsflip 15666
 Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflip.a 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
dvdsflip.f 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dvdsflip (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvdsflip
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflip.f . 2 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))
2 dvdsflip.a . . . . 5 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
32eleq2i 2881 . . . 4 (𝑦𝐴𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
4 dvdsdivcl 15665 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
53, 4sylan2b 596 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
65, 2eleqtrrdi 2901 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ 𝐴)
72eleq2i 2881 . . . 4 (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
8 dvdsdivcl 15665 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
97, 8sylan2b 596 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
109, 2eleqtrrdi 2901 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ 𝐴)
112ssrab3 4008 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ℕ
1211sseli 3911 . . . . 5 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℕ)
1311sseli 3911 . . . . 5 (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℕ)
1412, 13anim12i 615 . . . 4 ((𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ))
15 nncn 11640 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
17 nncn 11640 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
1817ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
19 nncn 11640 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
2019ad2antll 728 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
21 nnne0 11666 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
2221ad2antll 728 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ≠ 0)
2316, 18, 20, 22divmul3d 11446 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
24 nnne0 11666 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
2524ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ≠ 0)
2616, 20, 18, 25divmul2d 11445 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑦) = 𝑧𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
2723, 26bitr4d 285 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
2814, 27sylan2 595 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
29 eqcom 2805 . . 3 (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ (𝑁 / 𝑧) = 𝑦)
30 eqcom 2805 . . 3 (𝑧 = (𝑁 / 𝑦) ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧)
3128, 29, 303bitr4g 317 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝑁 / 𝑦)))
321, 6, 10, 31f1o2d 7385 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  –1-1-onto→wf1o 6326  (class class class)co 7140  ℂcc 10531  0cc0 10533   · cmul 10538   / cdiv 11293  ℕcn 11632   ∥ cdvds 15606 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-z 11977  df-dvds 15607 This theorem is referenced by:  phisum  16124  fsumdvdscom  25784
 Copyright terms: Public domain W3C validator