MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsflip 16134
Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflip.a ๐ด = {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}
dvdsflip.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ฆ))
Assertion
Ref Expression
dvdsflip (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem dvdsflip
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflip.f . 2 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ฆ))
2 dvdsflip.a . . . . 5 ๐ด = {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}
32eleq2i 2830 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
4 dvdsdivcl 16133 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
53, 4sylan2b 595 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
65, 2eleqtrrdi 2850 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)
72eleq2i 2830 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
8 dvdsdivcl 16133 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘ง) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
97, 8sylan2b 595 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ / ๐‘ง) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
109, 2eleqtrrdi 2850 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ / ๐‘ง) โˆˆ ๐ด)
112ssrab3 4039 . . . . . 6 ๐ด โŠ† โ„•
1211sseli 3939 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
1311sseli 3939 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
1412, 13anim12i 614 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•))
15 nncn 12095 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1615adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
17 nncn 12095 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
1817ad2antrl 727 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
19 nncn 12095 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
2019ad2antll 728 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
21 nnne0 12121 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
2221ad2antll 728 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
2316, 18, 20, 22divmul3d 11899 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ง) = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
24 nnne0 12121 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
2524ad2antrl 727 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
2616, 20, 18, 25divmul2d 11898 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†” ๐‘ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
2723, 26bitr4d 282 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ง) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ / ๐‘ฆ) = ๐‘ง))
2814, 27sylan2 594 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ง) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ / ๐‘ฆ) = ๐‘ง))
29 eqcom 2745 . . 3 (๐‘ฆ = (๐‘ / ๐‘ง) โ†” (๐‘ / ๐‘ง) = ๐‘ฆ)
30 eqcom 2745 . . 3 (๐‘ง = (๐‘ / ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ / ๐‘ฆ) = ๐‘ง)
3128, 29, 303bitr4g 314 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ / ๐‘ง) โ†” ๐‘ง = (๐‘ / ๐‘ฆ)))
321, 6, 10, 31f1o2d 7598 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  {crab 3406   class class class wbr 5104   โ†ฆ cmpt 5187  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6491  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985   ยท cmul 10990   / cdiv 11746  โ„•cn 12087   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-z 12434  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  phisum  16597  fsumdvdscom  26456
  Copyright terms: Public domain W3C validator