Theorem dvdsflip 16264

Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflip.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
dvdsflip.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dvdsflip	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvdsflip

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflip.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))
2		dvdsflip.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
3	2	eleq2i 2825	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
4		dvdsdivcl 16263	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
5	3, 4	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
6	5, 2	eleqtrrdi 2844	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ 𝐴)
7	2	eleq2i 2825	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
8		dvdsdivcl 16263	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
9	7, 8	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
10	9, 2	eleqtrrdi 2844	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ 𝐴)
11	2	ssrab3 4080	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
12	11	sseli 3978	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℕ)
13	11	sseli 3978	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℕ)
14	12, 13	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ))
15		nncn 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		nncn 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
19		nncn 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
20	19	ad2antll 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
21		nnne0 12250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
22	21	ad2antll 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ≠ 0)
23	16, 18, 20, 22	divmul3d 12028	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
24		nnne0 12250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
25	24	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ≠ 0)
26	16, 20, 18, 25	divmul2d 12027	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
27	23, 26	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
28	14, 27	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
29		eqcom 2739	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ (𝑁 / 𝑧) = 𝑦)
30		eqcom 2739	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑁 / 𝑦) ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧)
31	28, 29, 30	3bitr4g 313	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝑁 / 𝑦)))
32	1, 6, 10, 31	f1o2d 7662	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {crab 3432   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  –1-1-onto→wf1o 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   · cmul 11117   / cdiv 11875  ℕcn 12216   ∥ cdvds 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-z 12563  df-dvds 16202

This theorem is referenced by:  phisum  16727  fsumdvdscom  26913