MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsflip 16133
Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflip.a ๐ด = {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}
dvdsflip.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ฆ))
Assertion
Ref Expression
dvdsflip (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem dvdsflip
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflip.f . 2 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ฆ))
2 dvdsflip.a . . . . 5 ๐ด = {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}
32eleq2i 2829 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
4 dvdsdivcl 16132 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
53, 4sylan2b 594 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
65, 2eleqtrrdi 2849 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ด)
72eleq2i 2829 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
8 dvdsdivcl 16132 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘ง) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
97, 8sylan2b 594 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ / ๐‘ง) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
109, 2eleqtrrdi 2849 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ / ๐‘ง) โˆˆ ๐ด)
112ssrab3 4038 . . . . . 6 ๐ด โŠ† โ„•
1211sseli 3938 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
1311sseli 3938 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
1412, 13anim12i 613 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•))
15 nncn 12094 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
17 nncn 12094 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
1817ad2antrl 726 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
19 nncn 12094 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
2019ad2antll 727 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
21 nnne0 12120 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
2221ad2antll 727 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
2316, 18, 20, 22divmul3d 11898 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ง) = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
24 nnne0 12120 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
2524ad2antrl 726 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
2616, 20, 18, 25divmul2d 11897 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†” ๐‘ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
2723, 26bitr4d 281 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ง) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ / ๐‘ฆ) = ๐‘ง))
2814, 27sylan2 593 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ง) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ / ๐‘ฆ) = ๐‘ง))
29 eqcom 2744 . . 3 (๐‘ฆ = (๐‘ / ๐‘ง) โ†” (๐‘ / ๐‘ง) = ๐‘ฆ)
30 eqcom 2744 . . 3 (๐‘ง = (๐‘ / ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ / ๐‘ฆ) = ๐‘ง)
3128, 29, 303bitr4g 313 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ / ๐‘ง) โ†” ๐‘ง = (๐‘ / ๐‘ฆ)))
321, 6, 10, 31f1o2d 7597 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941  {crab 3405   class class class wbr 5103   โ†ฆ cmpt 5186  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6490  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982  0cc0 10984   ยท cmul 10989   / cdiv 11745  โ„•cn 12086   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-z 12433  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  phisum  16596  fsumdvdscom  26456
  Copyright terms: Public domain W3C validator