Theorem dvdsflip 15521

Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflip.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
dvdsflip.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dvdsflip	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvdsflip

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflip.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))
2		dvdsflip.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
3	2	eleq2i 2851	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
4		dvdsdivcl 15520	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
5	3, 4	sylan2b 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
6	5, 2	syl6eleqr 2871	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ 𝐴)
7	2	eleq2i 2851	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
8		dvdsdivcl 15520	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
9	7, 8	sylan2b 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
10	9, 2	syl6eleqr 2871	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ 𝐴)
11	2	ssrab3 3941	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
12	11	sseli 3848	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℕ)
13	11	sseli 3848	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℕ)
14	12, 13	anim12i 603	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ))
15		nncn 11442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		nncn 11442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrl 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
19		nncn 11442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
20	19	ad2antll 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
21		nnne0 11468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
22	21	ad2antll 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ≠ 0)
23	16, 18, 20, 22	divmul3d 11245	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
24		nnne0 11468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
25	24	ad2antrl 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ≠ 0)
26	16, 20, 18, 25	divmul2d 11244	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
27	23, 26	bitr4d 274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
28	14, 27	sylan2 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
29		eqcom 2779	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ (𝑁 / 𝑧) = 𝑦)
30		eqcom 2779	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑁 / 𝑦) ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧)
31	28, 29, 30	3bitr4g 306	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝑁 / 𝑦)))
32	1, 6, 10, 31	f1o2d 7211	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2961  {crab 3086   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002  –1-1-onto→wf1o 6181  (class class class)co 6970  ℂcc 10327  0cc0 10329   · cmul 10334   / cdiv 11092  ℕcn 11433   ∥ cdvds 15461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-z 11788  df-dvds 15462

This theorem is referenced by:  phisum  15977  fsumdvdscom  25458