Theorem psrbagconf1o 22246

Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconf1o	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑓   𝑥,𝑆   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦, 𝑓)   𝐼(𝑦)

Proof of Theorem psrbagconf1o

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥))
2		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3		psrbagconf1o.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
4	2, 3	psrbagconcl 22244	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝑆)
5	2, 3	psrbagconcl 22244	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆)
6	2	psrbagf 22235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
7	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
8	7	ffvelcdmda 7089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0)
9	3	ssrab3 4006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐷
10	9	sseli 3905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝐷)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐷)
12	2	psrbagf 22235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
14	13	adantrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
15	14	ffvelcdmda 7089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0)
16		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	9, 16	sselid 3907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
18	2	psrbagf 22235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
20	19	ffvelcdmda 7089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0)
21		nn0cn 12623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
22		nn0cn 12623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ)
23		nn0cn 12623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ)
24		subsub23 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
25	21, 22, 23, 24	syl3an 1178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
26	8, 15, 20, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
27		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛))
28		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛))
29	26, 27, 28	3bitr4g 317	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
30	6	ffnd 6715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹 Fn 𝐼)
32	13	ffnd 6715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 Fn 𝐼)
33	32	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 Fn 𝐼)
34	19	ffnd 6715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 Fn 𝐼)
35	16, 34	fndmexd 7920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐼 ∈ V)
36		inidm 4122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
37		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑛))
38		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) = (𝑧‘𝑛))
39	31, 33, 35, 35, 36, 37, 38	ofval 7708	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)))
40	39	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛))))
41		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) = (𝑥‘𝑛))
42	31, 34, 35, 35, 36, 37, 41	ofval 7708	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))
43	42	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
44	29, 40, 43	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
45	44	ralbidva 3183	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
46	5	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆)
47	9, 46	sselid 3907	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷)
48	2	psrbagf 22235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
49	47, 48	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
50	49	ffnd 6715	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) Fn 𝐼)
51		eqfnfv 7034	. . . 4 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑧) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛)))
52	34, 50, 51	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛)))
53	9, 4	sselid 3907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
54	2	psrbagf 22235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
55	53, 54	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
56	55	ffnd 6715	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼)
57	56	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼)
58		eqfnfv 7034	. . . 4 ⊢ ((𝑧 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼) → (𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
59	33, 57, 58	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
60	45, 52, 59	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥)))
61	1, 4, 5, 60	f1o2d 7679	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695   ∘_r cofr 7696   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8981  ℂcc 11205   ≤ cle 11351   − cmin 11548  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614

This theorem is used by:  psrass1lem  22250  psrcom  22284  psropprmul  22564