Theorem psrbagconf1o 21338

Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconf1o	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐹   𝑓,𝐼,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem psrbagconf1o

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥))
2		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3		psrbagconf1o.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
4	2, 3	psrbagconcl 21336	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝑆)
5	2, 3	psrbagconcl 21336	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆)
6	2	psrbagf 21320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
8	7	ffvelcdmda 7035	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0)
9	3	ssrab3 4040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐷
10	9	sseli 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝐷)
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐷)
12	2	psrbagf 21320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
14	13	adantrl 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
15	14	ffvelcdmda 7035	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0)
16		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	9, 16	sselid 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
18	2	psrbagf 21320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
20	19	ffvelcdmda 7035	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0)
21		nn0cn 12423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
22		nn0cn 12423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ)
23		nn0cn 12423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ)
24		subsub23 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
25	21, 22, 23, 24	syl3an 1160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
26	8, 15, 20, 25	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
27		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛))
28		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛))
29	26, 27, 28	3bitr4g 313	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
30	6	ffnd 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹 Fn 𝐼)
32	13	ffnd 6669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 Fn 𝐼)
33	32	adantrl 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 Fn 𝐼)
34	19	ffnd 6669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 Fn 𝐼)
35	16, 34	fndmexd 7843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐼 ∈ V)
36		inidm 4178	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
37		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑛))
38		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) = (𝑧‘𝑛))
39	31, 33, 35, 35, 36, 37, 38	ofval 7628	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)))
40	39	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛))))
41		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) = (𝑥‘𝑛))
42	31, 34, 35, 35, 36, 37, 41	ofval 7628	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))
43	42	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
44	29, 40, 43	3bitr4d 310	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
45	44	ralbidva 3172	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
46	5	adantrl 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆)
47	9, 46	sselid 3942	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷)
48	2	psrbagf 21320	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
50	49	ffnd 6669	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) Fn 𝐼)
51		eqfnfv 6982	. . . 4 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑧) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛)))
52	34, 50, 51	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛)))
53	9, 4	sselid 3942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
54	2	psrbagf 21320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
55	53, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
56	55	ffnd 6669	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼)
57	56	adantrr 715	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼)
58		eqfnfv 6982	. . . 4 ⊢ ((𝑧 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼) → (𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
59	33, 57, 58	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
60	45, 52, 59	3bitr4d 310	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥)))
61	1, 4, 5, 60	f1o2d 7607	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5632   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615   ∘_r cofr 7616   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883  ℂcc 11049   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414

This theorem is referenced by:  psrass1lem  21345  psrcom  21378  psropprmul  21609