MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagconf1o 21949
Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o (𝐹𝐷 → (𝑥𝑆 ↦ (𝐹f𝑥)):𝑆1-1-onto𝑆)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑓   𝑥,𝑆   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝐼(𝑦)

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (𝑥𝑆 ↦ (𝐹f𝑥)) = (𝑥𝑆 ↦ (𝐹f𝑥))
2 psrbag.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3 psrbagconf1o.s . . 3 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦r𝐹}
42, 3psrbagconcl 21947 . 2 ((𝐹𝐷𝑥𝑆) → (𝐹f𝑥) ∈ 𝑆)
52, 3psrbagconcl 21947 . 2 ((𝐹𝐷𝑧𝑆) → (𝐹f𝑧) ∈ 𝑆)
62psrbagf 21938 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
87ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝐹𝑛) ∈ ℕ0)
93ssrab3 4082 . . . . . . . . . . . 12 𝑆𝐷
109sseli 3979 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑆𝑧𝐷)
1110adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐷𝑧𝑆) → 𝑧𝐷)
122psrbagf 21938 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝑧𝑆) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
1413adantrl 716 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
1514ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑧𝑛) ∈ ℕ0)
16 simprl 771 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥𝑆)
179, 16sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥𝐷)
182psrbagf 21938 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷𝑥:𝐼⟶ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
2019ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥𝑛) ∈ ℕ0)
21 nn0cn 12536 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
22 nn0cn 12536 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
23 nn0cn 12536 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑛) ∈ ℂ)
24 subsub23 11513 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑛) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛)))
2521, 22, 23, 24syl3an 1161 . . . . . . 7 (((𝐹𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑧𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑛) ∈ ℕ0) → (((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛)))
268, 15, 20, 25syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛)))
27 eqcom 2744 . . . . . 6 ((𝑥𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛))
28 eqcom 2744 . . . . . 6 ((𝑧𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛))
2926, 27, 283bitr4g 314 . . . . 5 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) ↔ (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛))))
306ffnd 6737 . . . . . . . 8 (𝐹𝐷𝐹 Fn 𝐼)
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐹 Fn 𝐼)
3213ffnd 6737 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝑧𝑆) → 𝑧 Fn 𝐼)
3332adantrl 716 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 Fn 𝐼)
3419ffnd 6737 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥 Fn 𝐼)
3516, 34fndmexd 7926 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐼 ∈ V)
36 inidm 4227 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
37 eqidd 2738 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑛))
38 eqidd 2738 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑧𝑛) = (𝑧𝑛))
3931, 33, 35, 35, 36, 37, 38ofval 7708 . . . . . 6 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹f𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)))
4039eqeq2d 2748 . . . . 5 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) = ((𝐹f𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑥𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛))))
41 eqidd 2738 . . . . . . 7 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑛))
4231, 34, 35, 35, 36, 37, 41ofval 7708 . . . . . 6 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹f𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)))
4342eqeq2d 2748 . . . . 5 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑧𝑛) = ((𝐹f𝑥)‘𝑛) ↔ (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛))))
4429, 40, 433bitr4d 311 . . . 4 (((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) = ((𝐹f𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑧𝑛) = ((𝐹f𝑥)‘𝑛)))
4544ralbidva 3176 . . 3 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (∀𝑛𝐼 (𝑥𝑛) = ((𝐹f𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑧𝑛) = ((𝐹f𝑥)‘𝑛)))
465adantrl 716 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑧) ∈ 𝑆)
479, 46sselid 3981 . . . . . 6 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑧) ∈ 𝐷)
482psrbagf 21938 . . . . . 6 ((𝐹f𝑧) ∈ 𝐷 → (𝐹f𝑧):𝐼⟶ℕ0)
4947, 48syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑧):𝐼⟶ℕ0)
5049ffnd 6737 . . . 4 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑧) Fn 𝐼)
51 eqfnfv 7051 . . . 4 ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐹f𝑧) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐹f𝑧) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑥𝑛) = ((𝐹f𝑧)‘𝑛)))
5234, 50, 51syl2anc 584 . . 3 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥 = (𝐹f𝑧) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑥𝑛) = ((𝐹f𝑧)‘𝑛)))
539, 4sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝑥𝑆) → (𝐹f𝑥) ∈ 𝐷)
542psrbagf 21938 . . . . . . 7 ((𝐹f𝑥) ∈ 𝐷 → (𝐹f𝑥):𝐼⟶ℕ0)
5553, 54syl 17 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝑥𝑆) → (𝐹f𝑥):𝐼⟶ℕ0)
5655ffnd 6737 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝑥𝑆) → (𝐹f𝑥) Fn 𝐼)
5756adantrr 717 . . . 4 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹f𝑥) Fn 𝐼)
58 eqfnfv 7051 . . . 4 ((𝑧 Fn 𝐼 ∧ (𝐹f𝑥) Fn 𝐼) → (𝑧 = (𝐹f𝑥) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑧𝑛) = ((𝐹f𝑥)‘𝑛)))
5933, 57, 58syl2anc 584 . . 3 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑧 = (𝐹f𝑥) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑧𝑛) = ((𝐹f𝑥)‘𝑛)))
6045, 52, 593bitr4d 311 . 2 ((𝐹𝐷 ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥 = (𝐹f𝑧) ↔ 𝑧 = (𝐹f𝑥)))
611, 4, 5, 60f1o2d 7687 1 (𝐹𝐷 → (𝑥𝑆 ↦ (𝐹f𝑥)):𝑆1-1-onto𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  r cofr 7696  m cmap 8866  Fincfn 8985  cc 11153  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527
This theorem is referenced by:  psrass1lem  21952  psrcom  21988  psropprmul  22239
  Copyright terms: Public domain W3C validator