Theorem psrbagconf1o 22131

Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconf1o	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑓   𝑥,𝑆   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦, 𝑓)   𝐼(𝑦)

Proof of Theorem psrbagconf1o

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥))
2		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3		psrbagconf1o.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
4	2, 3	psrbagconcl 22129	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝑆)
5	2, 3	psrbagconcl 22129	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆)
6	2	psrbagf 22120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
7	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
8	7	ffvelcdmda 7083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0)
9	3	ssrab3 4037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐷
10	9	sseli 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝐷)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐷)
12	2	psrbagf 22120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
14	13	adantrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
15	14	ffvelcdmda 7083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0)
16		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	9, 16	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
18	2	psrbagf 22120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
20	19	ffvelcdmda 7083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0)
21		nn0cn 12531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
22		nn0cn 12531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ)
23		nn0cn 12531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ)
24		subsub23 11479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
25	21, 22, 23, 24	syl3an 1178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
26	8, 15, 20, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
27		eqcom 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛))
28		eqcom 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛))
29	26, 27, 28	3bitr4g 317	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
30	6	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹 Fn 𝐼)
32	13	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 Fn 𝐼)
33	32	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 Fn 𝐼)
34	19	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 Fn 𝐼)
35	16, 34	fndmexd 7907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐼 ∈ V)
36		inidm 4179	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
37		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑛))
38		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) = (𝑧‘𝑛))
39	31, 33, 35, 35, 36, 37, 38	ofval 7695	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)))
40	39	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛))))
41		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) = (𝑥‘𝑛))
42	31, 34, 35, 35, 36, 37, 41	ofval 7695	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))
43	42	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
44	29, 40, 43	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
45	44	ralbidva 3188	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
46	5	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆)
47	9, 46	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷)
48	2	psrbagf 22120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
49	47, 48	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
50	49	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) Fn 𝐼)
51		eqfnfv 7029	. . . 4 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑧) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛)))
52	34, 50, 51	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛)))
53	9, 4	sselid 3936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
54	2	psrbagf 22120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
55	53, 54	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
56	55	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼)
57	56	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼)
58		eqfnfv 7029	. . . 4 ⊢ ((𝑧 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼) → (𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
59	33, 57, 58	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
60	45, 52, 59	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥)))
61	1, 4, 5, 60	f1o2d 7674	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682   ∘_r cofr 7683   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949  ℂcc 11115   ≤ cle 11261   − cmin 11458  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522

This theorem is used by:  psrass1lem  22135  psrcom  22169  psropprmul  22449