MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagconf1o 21489
Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝑦,𝐹   𝑓,𝐼,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯))
2 psrbag.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
3 psrbagconf1o.s . . 3 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹}
42, 3psrbagconcl 21487 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑆)
52, 3psrbagconcl 21487 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝑆)
62psrbagf 21471 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
76adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
87ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„•0)
93ssrab3 4081 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 βŠ† 𝐷
109sseli 3979 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
1110adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
122psrbagf 21471 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝐷 β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0)
1413adantrl 715 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0)
1514ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘›) ∈ β„•0)
16 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
179, 16sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
182psrbagf 21471 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
2019ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ β„•0)
21 nn0cn 12482 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„•0 β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
22 nn0cn 12482 . . . . . . . 8 ((π‘§β€˜π‘›) ∈ β„•0 β†’ (π‘§β€˜π‘›) ∈ β„‚)
23 nn0cn 12482 . . . . . . . 8 ((π‘₯β€˜π‘›) ∈ β„•0 β†’ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ β„‚)
24 subsub23 11465 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (π‘§β€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) = (π‘₯β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)) = (π‘§β€˜π‘›)))
2521, 22, 23, 24syl3an 1161 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ (π‘§β€˜π‘›) ∈ β„•0 ∧ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ β„•0) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) = (π‘₯β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)) = (π‘§β€˜π‘›)))
268, 15, 20, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) = (π‘₯β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)) = (π‘§β€˜π‘›)))
27 eqcom 2740 . . . . . 6 ((π‘₯β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) = (π‘₯β€˜π‘›))
28 eqcom 2740 . . . . . 6 ((π‘§β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)) = (π‘§β€˜π‘›))
2926, 27, 283bitr4g 314 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)) ↔ (π‘§β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›))))
306ffnd 6719 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3213ffnd 6719 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 Fn 𝐼)
3332adantrl 715 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑧 Fn 𝐼)
3419ffnd 6719 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ Fn 𝐼)
3516, 34fndmexd 7897 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐼 ∈ V)
36 inidm 4219 . . . . . . 7 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
37 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘›))
38 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘›) = (π‘§β€˜π‘›))
3931, 33, 35, 35, 36, 37, 38ofval 7681 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›)))
4039eqeq2d 2744 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›) ↔ (π‘₯β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘§β€˜π‘›))))
41 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) = (π‘₯β€˜π‘›))
4231, 34, 35, 35, 36, 37, 41ofval 7681 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›)))
4342eqeq2d 2744 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘§β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›) ↔ (π‘§β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (π‘₯β€˜π‘›))))
4429, 40, 433bitr4d 311 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›) ↔ (π‘§β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›)))
4544ralbidva 3176 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘§β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›)))
465adantrl 715 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝑆)
479, 46sselid 3981 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝐷)
482psrbagf 21471 . . . . . 6 ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧):πΌβŸΆβ„•0)
4947, 48syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧):πΌβŸΆβ„•0)
5049ffnd 6719 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) Fn 𝐼)
51 eqfnfv 7033 . . . 4 ((π‘₯ Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) Fn 𝐼) β†’ (π‘₯ = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›)))
5234, 50, 51syl2anc 585 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧)β€˜π‘›)))
539, 4sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷)
542psrbagf 21471 . . . . . . 7 ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯):πΌβŸΆβ„•0)
5553, 54syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯):πΌβŸΆβ„•0)
5655ffnd 6719 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) Fn 𝐼)
5756adantrr 716 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) Fn 𝐼)
58 eqfnfv 7033 . . . 4 ((𝑧 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) Fn 𝐼) β†’ (𝑧 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘§β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›)))
5933, 57, 58syl2anc 585 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑧 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘§β€˜π‘›) = ((𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)β€˜π‘›)))
6045, 52, 593bitr4d 311 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)))
611, 4, 5, 60f1o2d 7660 1 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f βˆ’ π‘₯)):𝑆–1-1-onto→𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668   ∘r cofr 7669   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„‚cc 11108   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473
This theorem is referenced by:  psrass1lem  21496  psrcom  21529  psropprmul  21760
  Copyright terms: Public domain W3C validator