Theorem psrbagconf1o 21909

Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconf1o	⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑓   𝑥,𝑆   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝐼(𝑦)

Proof of Theorem psrbagconf1o

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥))
2		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3		psrbagconf1o.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
4	2, 3	psrbagconcl 21907	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝑆)
5	2, 3	psrbagconcl 21907	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆)
6	2	psrbagf 21898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
8	7	ffvelcdmda 7036	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0)
9	3	ssrab3 4022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐷
10	9	sseli 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝐷)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐷)
12	2	psrbagf 21898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
14	13	adantrl 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
15	14	ffvelcdmda 7036	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0)
16		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	9, 16	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
18	2	psrbagf 21898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
20	19	ffvelcdmda 7036	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0)
21		nn0cn 12447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
22		nn0cn 12447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ)
23		nn0cn 12447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ)
24		subsub23 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
25	21, 22, 23, 24	syl3an 1161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑧‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
26	8, 15, 20, 25	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛)))
27		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) = (𝑥‘𝑛))
28		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) ↔ ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) = (𝑧‘𝑛))
29	26, 27, 28	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
30	6	ffnd 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 Fn 𝐼)
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐹 Fn 𝐼)
32	13	ffnd 6669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 Fn 𝐼)
33	32	adantrl 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 Fn 𝐼)
34	19	ffnd 6669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 Fn 𝐼)
35	16, 34	fndmexd 7855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐼 ∈ V)
36		inidm 4167	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
37		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑛))
38		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑛) = (𝑧‘𝑛))
39	31, 33, 35, 35, 36, 37, 38	ofval 7642	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛)))
40	39	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑥‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑧‘𝑛))))
41		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) = (𝑥‘𝑛))
42	31, 34, 35, 35, 36, 37, 41	ofval 7642	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))
43	42	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
44	29, 40, 43	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
45	44	ralbidva 3158	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
46	5	adantrl 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝑆)
47	9, 46	sselid 3919	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷)
48	2	psrbagf 21898	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧):𝐼⟶ℕ0)
50	49	ffnd 6669	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑧) Fn 𝐼)
51		eqfnfv 6983	. . . 4 ⊢ ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑧) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛)))
52	34, 50, 51	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑥‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑧)‘𝑛)))
53	9, 4	sselid 3919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
54	2	psrbagf 21898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 → (𝐹 ∘f − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
55	53, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥):𝐼⟶ℕ0)
56	55	ffnd 6669	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼)
57	56	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼)
58		eqfnfv 6983	. . . 4 ⊢ ((𝑧 Fn 𝐼 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑥) Fn 𝐼) → (𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
59	33, 57, 58	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝑧‘𝑛) = ((𝐹 ∘f − 𝑥)‘𝑛)))
60	45, 52, 59	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (𝐹 ∘f − 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝐹 ∘f − 𝑥)))
61	1, 4, 5, 60	f1o2d 7621	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐹 ∘f − 𝑥)):𝑆–1-1-onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629   ∘_r cofr 7630   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  ℂcc 11036   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  psrass1lem  21912  psrcom  21946  psropprmul  22201