MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgcdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgcdlem 16754
Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgcdlem.a ๐ด = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}
hashgcdlem.b ๐ต = {๐‘ง โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ง gcd ๐‘€) = ๐‘}
hashgcdlem.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘))
Assertion
Ref Expression
hashgcdlem ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘€   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ง,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem hashgcdlem
Dummy variable ๐‘ค is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgcdlem.f . 2 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘))
2 oveq1 7422 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)))
32eqeq1d 2727 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1 โ†” (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1))
4 hashgcdlem.a . . . 4 ๐ด = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}
53, 4elrab2 3678 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1))
6 elfzonn0 13707 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
76ad2antrl 726 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
8 nnnn0 12507 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
983ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
109adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
117, 10nn0mulcld 12565 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
12 simpl1 1188 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
13 elfzolt2 13671 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ < (๐‘€ / ๐‘))
1413ad2antrl 726 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ < (๐‘€ / ๐‘))
15 elfzoelz 13662 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
1615ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
1716zred 12694 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
18 nnre 12247 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
19183ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
2019adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
21 nnre 12247 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
22 nngt0 12271 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
2321, 22jca 510 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
24233ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
2524adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
26 ltmuldiv 12115 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) < ๐‘€ โ†” ๐‘ฅ < (๐‘€ / ๐‘)))
2717, 20, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) < ๐‘€ โ†” ๐‘ฅ < (๐‘€ / ๐‘)))
2814, 27mpbird 256 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) < ๐‘€)
29 elfzo0 13703 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘€) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘) < ๐‘€))
3011, 12, 28, 29syl3anbrc 1340 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘€))
31 nncn 12248 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
32313ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
33 nncn 12248 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
34333ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
35 nnne0 12274 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
36353ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3732, 34, 36divcan1d 12019 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘) = ๐‘€)
3837adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘) = ๐‘€)
3938eqcomd 2731 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘€ = ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘))
4039oveq2d 7431 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ๐‘€) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘)))
41 nndivdvds 16237 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•))
4241biimp3a 1465 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•)
4342nnzd 12613 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
4443adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
45 mulgcdr 16523 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘)) = ((๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) ยท ๐‘))
4616, 44, 10, 45syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘)) = ((๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) ยท ๐‘))
47 simprr 771 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)
4847oveq1d 7430 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) ยท ๐‘) = (1 ยท ๐‘))
4934mullidd 11260 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
5049adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
5148, 50eqtrd 2765 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) ยท ๐‘) = ๐‘)
5240, 46, 513eqtrd 2769 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ๐‘€) = ๐‘)
53 oveq1 7422 . . . . . 6 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘€) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ๐‘€))
5453eqeq1d 2727 . . . . 5 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘€) = ๐‘ โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ๐‘€) = ๐‘))
55 hashgcdlem.b . . . . 5 ๐ต = {๐‘ง โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ง gcd ๐‘€) = ๐‘}
5654, 55elrab2 3678 . . . 4 ((๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ๐‘€) = ๐‘))
5730, 52, 56sylanbrc 581 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
585, 57sylan2b 592 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
59 oveq1 7422 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘€) = (๐‘ค gcd ๐‘€))
6059eqeq1d 2727 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘))
6160, 55elrab2 3678 . . 3 (๐‘ค โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘))
62 simprr 771 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)
63 elfzoelz 13662 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
6463ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
65 simpl1 1188 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
6665nnzd 12613 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
67 gcddvds 16475 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ค gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ค โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
6864, 66, 67syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ค gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ค โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
6968simpld 493 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ค)
7062, 69eqbrtrrd 5167 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘ค)
71 nnz 12607 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
72713ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7372adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7436adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
75 dvdsval2 16231 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0 โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
7673, 74, 64, 75syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
7770, 76mpbid 231 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
78 elfzofz 13678 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (0...๐‘€))
7978ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (0...๐‘€))
80 elfznn0 13624 . . . . . . . 8 (๐‘ค โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•0)
81 nn0re 12509 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
82 nn0ge0 12525 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ค)
8381, 82jca 510 . . . . . . . 8 (๐‘ค โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ค))
8479, 80, 833syl 18 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ค))
8524adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
86 divge0 12111 . . . . . . 7 (((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ค / ๐‘))
8784, 85, 86syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ค / ๐‘))
88 elnn0z 12599 . . . . . 6 ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (๐‘ค / ๐‘)))
8977, 87, 88sylanbrc 581 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„•0)
9042adantr 479 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•)
91 elfzolt2 13671 . . . . . . 7 (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ๐‘ค < ๐‘€)
9291ad2antrl 726 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ค < ๐‘€)
9364zred 12694 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
9419adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
95 ltdiv1 12106 . . . . . . 7 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (๐‘ค < ๐‘€ โ†” (๐‘ค / ๐‘) < (๐‘€ / ๐‘)))
9693, 94, 85, 95syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค < ๐‘€ โ†” (๐‘ค / ๐‘) < (๐‘€ / ๐‘)))
9792, 96mpbid 231 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) < (๐‘€ / ๐‘))
98 elfzo0 13703 . . . . 5 ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โ†” ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ค / ๐‘) < (๐‘€ / ๐‘)))
9989, 90, 97, 98syl3anbrc 1340 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)))
10062oveq1d 7430 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ค gcd ๐‘€) / ๐‘) = (๐‘ / ๐‘))
101 simpl2 1189 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
102 simpl3 1190 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€)
103 gcddiv 16524 . . . . . 6 (((๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘ค โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ค gcd ๐‘€) / ๐‘) = ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)))
10464, 66, 101, 70, 102, 103syl32anc 1375 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ค gcd ๐‘€) / ๐‘) = ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)))
10534, 36dividd 12016 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ / ๐‘) = 1)
106105adantr 479 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘) = 1)
107100, 104, 1063eqtr3d 2773 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)
108 oveq1 7422 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐‘ค / ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)))
109108eqeq1d 2727 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐‘ค / ๐‘) โ†’ ((๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1 โ†” ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1))
110109, 4elrab2 3678 . . . 4 ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ ๐ด โ†” ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1))
11199, 107, 110sylanbrc 581 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ ๐ด)
11261, 111sylan2b 592 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ ๐ด)
1135simplbi 496 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)))
11461simplbi 496 . . . 4 (๐‘ค โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))
115113, 114anim12i 611 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€)))
11663ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
117116zcnd 12695 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
11834adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
11936adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
120117, 118, 119divcan1d 12019 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ((๐‘ค / ๐‘) ยท ๐‘) = ๐‘ค)
121120eqcomd 2731 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ค = ((๐‘ค / ๐‘) ยท ๐‘))
122 oveq1 7422 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) = ((๐‘ค / ๐‘) ยท ๐‘))
123122eqeq2d 2736 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†” ๐‘ค = ((๐‘ค / ๐‘) ยท ๐‘)))
124121, 123syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†’ ๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘)))
12515ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
126125zcnd 12695 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
127126, 118, 119divcan4d 12024 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) / ๐‘) = ๐‘ฅ)
128127eqcomd 2731 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ฅ = ((๐‘ฅ ยท ๐‘) / ๐‘))
129 oveq1 7422 . . . . . 6 (๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘) / ๐‘))
130129eqeq2d 2736 . . . . 5 (๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†” ๐‘ฅ = ((๐‘ฅ ยท ๐‘) / ๐‘)))
131128, 130syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘)))
132124, 131impbid 211 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†” ๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘)))
133115, 132sylan2 591 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†” ๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘)))
1341, 58, 112, 133f1o2d 7671 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  {crab 3419   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   ยท cmul 11141   < clt 11276   โ‰ค cle 11277   / cdiv 11899  โ„•cn 12240  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657   โˆฅ cdvds 16228   gcd cgcd 16466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467
This theorem is referenced by:  hashgcdeq  16755
  Copyright terms: Public domain W3C validator