MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgcdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgcdlem 15984
Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgcdlem.a 𝐴 = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}
hashgcdlem.b 𝐵 = {𝑧 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑧 gcd 𝑀) = 𝑁}
hashgcdlem.f 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
hashgcdlem ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑧,𝑀   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁,𝑦   𝑧,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem hashgcdlem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgcdlem.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥 · 𝑁))
2 oveq1 6985 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)))
32eqeq1d 2780 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1 ↔ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1))
4 hashgcdlem.a . . . 4 𝐴 = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}
53, 4elrab2 3599 . . 3 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1))
6 elfzonn0 12900 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
76ad2antrl 715 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
8 nnnn0 11718 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
983ad2ant2 1114 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
109adantr 473 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
117, 10nn0mulcld 11775 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑥 · 𝑁) ∈ ℕ0)
12 simpl1 1171 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑀 ∈ ℕ)
13 elfzolt2 12866 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) → 𝑥 < (𝑀 / 𝑁))
1413ad2antrl 715 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑥 < (𝑀 / 𝑁))
15 elfzoelz 12857 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1615ad2antrl 715 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1716zred 11903 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18 nnre 11449 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
19183ad2ant1 1113 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
2019adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21 nnre 11449 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22 nngt0 11474 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
2321, 22jca 504 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
24233ad2ant2 1114 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
2524adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
26 ltmuldiv 11316 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑥 · 𝑁) < 𝑀𝑥 < (𝑀 / 𝑁)))
2717, 20, 25, 26syl3anc 1351 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 · 𝑁) < 𝑀𝑥 < (𝑀 / 𝑁)))
2814, 27mpbird 249 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑥 · 𝑁) < 𝑀)
29 elfzo0 12896 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑁) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑥 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 𝑁) < 𝑀))
3011, 12, 28, 29syl3anbrc 1323 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑥 · 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
31 nncn 11450 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
32313ad2ant1 1113 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
33 nncn 11450 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
34333ad2ant2 1114 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
35 nnne0 11477 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
36353ad2ant2 1114 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ≠ 0)
3732, 34, 36divcan1d 11220 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑀)
3837adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑀)
3938eqcomd 2784 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑀 = ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁))
4039oveq2d 6994 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 · 𝑁) gcd 𝑀) = ((𝑥 · 𝑁) gcd ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)))
41 nndivdvds 15479 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
4241biimp3a 1448 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
4342nnzd 11902 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
4443adantr 473 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
45 mulgcdr 15757 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑥 · 𝑁) gcd ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))
4616, 44, 10, 45syl3anc 1351 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 · 𝑁) gcd ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))
47 simprr 760 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
4847oveq1d 6993 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = (1 · 𝑁))
4934mulid2d 10460 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
5049adantr 473 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
5148, 50eqtrd 2814 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = 𝑁)
5240, 46, 513eqtrd 2818 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 · 𝑁) gcd 𝑀) = 𝑁)
53 oveq1 6985 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥 · 𝑁) → (𝑧 gcd 𝑀) = ((𝑥 · 𝑁) gcd 𝑀))
5453eqeq1d 2780 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝑧 gcd 𝑀) = 𝑁 ↔ ((𝑥 · 𝑁) gcd 𝑀) = 𝑁))
55 hashgcdlem.b . . . . 5 𝐵 = {𝑧 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑧 gcd 𝑀) = 𝑁}
5654, 55elrab2 3599 . . . 4 ((𝑥 · 𝑁) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑥 · 𝑁) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑥 · 𝑁) gcd 𝑀) = 𝑁))
5730, 52, 56sylanbrc 575 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑥 · 𝑁) ∈ 𝐵)
585, 57sylan2b 584 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 · 𝑁) ∈ 𝐵)
59 oveq1 6985 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 gcd 𝑀) = (𝑤 gcd 𝑀))
6059eqeq1d 2780 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 gcd 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁))
6160, 55elrab2 3599 . . 3 (𝑤𝐵 ↔ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁))
62 simprr 760 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)
63 elfzoelz 12857 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (0..^𝑀) → 𝑤 ∈ ℤ)
6463ad2antrl 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑤 ∈ ℤ)
65 simpl1 1171 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6665nnzd 11902 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
67 gcddvds 15715 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
6864, 66, 67syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
6968simpld 487 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤)
7062, 69eqbrtrrd 4954 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁𝑤)
71 nnz 11820 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
72713ad2ant2 1114 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7372adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7436adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁 ≠ 0)
75 dvdsval2 15473 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑁𝑤 ↔ (𝑤 / 𝑁) ∈ ℤ))
7673, 74, 64, 75syl3anc 1351 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁𝑤 ↔ (𝑤 / 𝑁) ∈ ℤ))
7770, 76mpbid 224 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 / 𝑁) ∈ ℤ)
78 elfzofz 12872 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (0..^𝑀) → 𝑤 ∈ (0...𝑀))
7978ad2antrl 715 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑤 ∈ (0...𝑀))
80 elfznn0 12819 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (0...𝑀) → 𝑤 ∈ ℕ0)
81 nn0re 11720 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)
82 nn0ge0 11737 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑤)
8381, 82jca 504 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤))
8479, 80, 833syl 18 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤))
8524adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
86 divge0 11312 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑤 / 𝑁))
8784, 85, 86syl2anc 576 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 0 ≤ (𝑤 / 𝑁))
88 elnn0z 11809 . . . . . 6 ((𝑤 / 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑤 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑤 / 𝑁)))
8977, 87, 88sylanbrc 575 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 / 𝑁) ∈ ℕ0)
9042adantr 473 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
91 elfzolt2 12866 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (0..^𝑀) → 𝑤 < 𝑀)
9291ad2antrl 715 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑤 < 𝑀)
9364zred 11903 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑤 ∈ ℝ)
9419adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
95 ltdiv1 11307 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑤 < 𝑀 ↔ (𝑤 / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
9693, 94, 85, 95syl3anc 1351 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 < 𝑀 ↔ (𝑤 / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
9792, 96mpbid 224 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁))
98 elfzo0 12896 . . . . 5 ((𝑤 / 𝑁) ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ↔ ((𝑤 / 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑤 / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
9989, 90, 97, 98syl3anbrc 1323 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 / 𝑁) ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)))
10062oveq1d 6993 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑤 gcd 𝑀) / 𝑁) = (𝑁 / 𝑁))
101 simpl2 1172 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
102 simpl3 1173 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁𝑀)
103 gcddiv 15758 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁𝑤𝑁𝑀)) → ((𝑤 gcd 𝑀) / 𝑁) = ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)))
10464, 66, 101, 70, 102, 103syl32anc 1358 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑤 gcd 𝑀) / 𝑁) = ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)))
10534, 36dividd 11217 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
106105adantr 473 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
107100, 104, 1063eqtr3d 2822 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
108 oveq1 6985 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑤 / 𝑁) → (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)))
109108eqeq1d 2780 . . . . 5 (𝑦 = (𝑤 / 𝑁) → ((𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1 ↔ ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1))
110109, 4elrab2 3599 . . . 4 ((𝑤 / 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑤 / 𝑁) ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1))
11199, 107, 110sylanbrc 575 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 / 𝑁) ∈ 𝐴)
11261, 111sylan2b 584 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑤 / 𝑁) ∈ 𝐴)
1135simplbi 490 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)))
11461simplbi 490 . . . 4 (𝑤𝐵𝑤 ∈ (0..^𝑀))
115113, 114anim12i 603 . . 3 ((𝑥𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀)))
11663ad2antll 716 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑤 ∈ ℤ)
117116zcnd 11904 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑤 ∈ ℂ)
11834adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑁 ∈ ℂ)
11936adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑁 ≠ 0)
120117, 118, 119divcan1d 11220 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑤 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑤)
121120eqcomd 2784 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑤 = ((𝑤 / 𝑁) · 𝑁))
122 oveq1 6985 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) → (𝑥 · 𝑁) = ((𝑤 / 𝑁) · 𝑁))
123122eqeq2d 2788 . . . . 5 (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) → (𝑤 = (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝑤 = ((𝑤 / 𝑁) · 𝑁)))
124121, 123syl5ibrcom 239 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) → 𝑤 = (𝑥 · 𝑁)))
12515ad2antrl 715 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑥 ∈ ℤ)
126125zcnd 11904 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑥 ∈ ℂ)
127126, 118, 119divcan4d 11225 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑥 · 𝑁) / 𝑁) = 𝑥)
128127eqcomd 2784 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑥 = ((𝑥 · 𝑁) / 𝑁))
129 oveq1 6985 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 · 𝑁) → (𝑤 / 𝑁) = ((𝑥 · 𝑁) / 𝑁))
130129eqeq2d 2788 . . . . 5 (𝑤 = (𝑥 · 𝑁) → (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) ↔ 𝑥 = ((𝑥 · 𝑁) / 𝑁)))
131128, 130syl5ibrcom 239 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑤 = (𝑥 · 𝑁) → 𝑥 = (𝑤 / 𝑁)))
132124, 131impbid 204 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) ↔ 𝑤 = (𝑥 · 𝑁)))
133115, 132sylan2 583 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐵)) → (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) ↔ 𝑤 = (𝑥 · 𝑁)))
1341, 58, 112, 133f1o2d 7219 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  {crab 3092   class class class wbr 4930  cmpt 5009  1-1-ontowf1o 6189  (class class class)co 6978  cc 10335  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   · cmul 10342   < clt 10476  cle 10477   / cdiv 11100  cn 11441  0cn0 11710  cz 11796  ...cfz 12711  ..^cfzo 12852  cdvds 15470   gcd cgcd 15706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-fl 12980  df-mod 13056  df-seq 13188  df-exp 13248  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-dvds 15471  df-gcd 15707
This theorem is referenced by:  hashgcdeq  15985
  Copyright terms: Public domain W3C validator