MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgcdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgcdlem 16730
Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgcdlem.a ๐ด = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}
hashgcdlem.b ๐ต = {๐‘ง โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ง gcd ๐‘€) = ๐‘}
hashgcdlem.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘))
Assertion
Ref Expression
hashgcdlem ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘€   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ง,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem hashgcdlem
Dummy variable ๐‘ค is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgcdlem.f . 2 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘))
2 oveq1 7412 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)))
32eqeq1d 2728 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1 โ†” (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1))
4 hashgcdlem.a . . . 4 ๐ด = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}
53, 4elrab2 3681 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1))
6 elfzonn0 13683 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
76ad2antrl 725 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
8 nnnn0 12483 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
983ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
109adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
117, 10nn0mulcld 12541 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
12 simpl1 1188 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
13 elfzolt2 13647 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ < (๐‘€ / ๐‘))
1413ad2antrl 725 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ < (๐‘€ / ๐‘))
15 elfzoelz 13638 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
1615ad2antrl 725 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
1716zred 12670 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
18 nnre 12223 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
19183ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
2019adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
21 nnre 12223 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
22 nngt0 12247 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
2321, 22jca 511 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
24233ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
2524adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
26 ltmuldiv 12091 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) < ๐‘€ โ†” ๐‘ฅ < (๐‘€ / ๐‘)))
2717, 20, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) < ๐‘€ โ†” ๐‘ฅ < (๐‘€ / ๐‘)))
2814, 27mpbird 257 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) < ๐‘€)
29 elfzo0 13679 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘€) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘) < ๐‘€))
3011, 12, 28, 29syl3anbrc 1340 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘€))
31 nncn 12224 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
32313ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
33 nncn 12224 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
34333ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
35 nnne0 12250 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
36353ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3732, 34, 36divcan1d 11995 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘) = ๐‘€)
3837adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘) = ๐‘€)
3938eqcomd 2732 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ๐‘€ = ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘))
4039oveq2d 7421 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ๐‘€) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘)))
41 nndivdvds 16213 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•))
4241biimp3a 1465 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•)
4342nnzd 12589 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
4443adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
45 mulgcdr 16499 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘)) = ((๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) ยท ๐‘))
4616, 44, 10, 45syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ((๐‘€ / ๐‘) ยท ๐‘)) = ((๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) ยท ๐‘))
47 simprr 770 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)
4847oveq1d 7420 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) ยท ๐‘) = (1 ยท ๐‘))
4934mullidd 11236 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
5049adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
5148, 50eqtrd 2766 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) ยท ๐‘) = ๐‘)
5240, 46, 513eqtrd 2770 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ๐‘€) = ๐‘)
53 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘€) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ๐‘€))
5453eqeq1d 2728 . . . . 5 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘€) = ๐‘ โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ๐‘€) = ๐‘))
55 hashgcdlem.b . . . . 5 ๐ต = {๐‘ง โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ง gcd ๐‘€) = ๐‘}
5654, 55elrab2 3681 . . . 4 ((๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘) gcd ๐‘€) = ๐‘))
5730, 52, 56sylanbrc 582 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
585, 57sylan2b 593 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
59 oveq1 7412 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง gcd ๐‘€) = (๐‘ค gcd ๐‘€))
6059eqeq1d 2728 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘ง gcd ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘))
6160, 55elrab2 3681 . . 3 (๐‘ค โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘))
62 simprr 770 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)
63 elfzoelz 13638 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
6463ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
65 simpl1 1188 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
6665nnzd 12589 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
67 gcddvds 16451 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ค gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ค โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
6864, 66, 67syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ค gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ค โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
6968simpld 494 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ค)
7062, 69eqbrtrrd 5165 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘ค)
71 nnz 12583 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
72713ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7372adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7436adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
75 dvdsval2 16207 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0 โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
7673, 74, 64, 75syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
7770, 76mpbid 231 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
78 elfzofz 13654 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (0...๐‘€))
7978ad2antrl 725 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (0...๐‘€))
80 elfznn0 13600 . . . . . . . 8 (๐‘ค โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•0)
81 nn0re 12485 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
82 nn0ge0 12501 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ค)
8381, 82jca 511 . . . . . . . 8 (๐‘ค โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ค))
8479, 80, 833syl 18 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ค))
8524adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
86 divge0 12087 . . . . . . 7 (((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ค / ๐‘))
8784, 85, 86syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ค / ๐‘))
88 elnn0z 12575 . . . . . 6 ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (๐‘ค / ๐‘)))
8977, 87, 88sylanbrc 582 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„•0)
9042adantr 480 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•)
91 elfzolt2 13647 . . . . . . 7 (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ๐‘ค < ๐‘€)
9291ad2antrl 725 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ค < ๐‘€)
9364zred 12670 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
9419adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
95 ltdiv1 12082 . . . . . . 7 ((๐‘ค โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (๐‘ค < ๐‘€ โ†” (๐‘ค / ๐‘) < (๐‘€ / ๐‘)))
9693, 94, 85, 95syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค < ๐‘€ โ†” (๐‘ค / ๐‘) < (๐‘€ / ๐‘)))
9792, 96mpbid 231 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) < (๐‘€ / ๐‘))
98 elfzo0 13679 . . . . 5 ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โ†” ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ค / ๐‘) < (๐‘€ / ๐‘)))
9989, 90, 97, 98syl3anbrc 1340 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)))
10062oveq1d 7420 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ค gcd ๐‘€) / ๐‘) = (๐‘ / ๐‘))
101 simpl2 1189 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
102 simpl3 1190 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€)
103 gcddiv 16500 . . . . . 6 (((๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘ค โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ค gcd ๐‘€) / ๐‘) = ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)))
10464, 66, 101, 70, 102, 103syl32anc 1375 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ค gcd ๐‘€) / ๐‘) = ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)))
10534, 36dividd 11992 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ / ๐‘) = 1)
106105adantr 480 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘) = 1)
107100, 104, 1063eqtr3d 2774 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1)
108 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐‘ค / ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)))
109108eqeq1d 2728 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐‘ค / ๐‘) โ†’ ((๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1 โ†” ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1))
110109, 4elrab2 3681 . . . 4 ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ ๐ด โ†” ((๐‘ค / ๐‘) โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ((๐‘ค / ๐‘) gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1))
11199, 107, 110sylanbrc 582 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ค gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ ๐ด)
11261, 111sylan2b 593 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) โˆˆ ๐ด)
1135simplbi 497 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)))
11461simplbi 497 . . . 4 (๐‘ค โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))
115113, 114anim12i 612 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€)))
11663ad2antll 726 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
117116zcnd 12671 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
11834adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
11936adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
120117, 118, 119divcan1d 11995 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ((๐‘ค / ๐‘) ยท ๐‘) = ๐‘ค)
121120eqcomd 2732 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ค = ((๐‘ค / ๐‘) ยท ๐‘))
122 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘) = ((๐‘ค / ๐‘) ยท ๐‘))
123122eqeq2d 2737 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†” ๐‘ค = ((๐‘ค / ๐‘) ยท ๐‘)))
124121, 123syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†’ ๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘)))
12515ad2antrl 725 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
126125zcnd 12671 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
127126, 118, 119divcan4d 12000 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘) / ๐‘) = ๐‘ฅ)
128127eqcomd 2732 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ ๐‘ฅ = ((๐‘ฅ ยท ๐‘) / ๐‘))
129 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ค / ๐‘) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘) / ๐‘))
130129eqeq2d 2737 . . . . 5 (๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†” ๐‘ฅ = ((๐‘ฅ ยท ๐‘) / ๐‘)))
131128, 130syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ (๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘)))
132124, 131impbid 211 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (0..^๐‘€))) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†” ๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘)))
133115, 132sylan2 592 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ค / ๐‘) โ†” ๐‘ค = (๐‘ฅ ยท ๐‘)))
1341, 58, 112, 133f1o2d 7657 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  {crab 3426   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633   โˆฅ cdvds 16204   gcd cgcd 16442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443
This theorem is referenced by:  hashgcdeq  16731
  Copyright terms: Public domain W3C validator