MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgcdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgcdlem 16825
Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgcdlem.a 𝐴 = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}
hashgcdlem.b 𝐵 = {𝑧 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑧 gcd 𝑀) = 𝑁}
hashgcdlem.f 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
hashgcdlem ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑧,𝑀   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁,𝑦   𝑧,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem hashgcdlem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgcdlem.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥 · 𝑁))
2 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)))
32eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1 ↔ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1))
4 hashgcdlem.a . . . 4 𝐴 = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}
53, 4elrab2 3695 . . 3 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1))
6 elfzonn0 13747 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
76ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
8 nnnn0 12533 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
983ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
109adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
117, 10nn0mulcld 12592 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑥 · 𝑁) ∈ ℕ0)
12 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑀 ∈ ℕ)
13 elfzolt2 13708 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) → 𝑥 < (𝑀 / 𝑁))
1413ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑥 < (𝑀 / 𝑁))
15 elfzoelz 13699 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1615ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1716zred 12722 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18 nnre 12273 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
19183ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21 nnre 12273 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22 nngt0 12297 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
2321, 22jca 511 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
24233ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
2524adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
26 ltmuldiv 12141 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑥 · 𝑁) < 𝑀𝑥 < (𝑀 / 𝑁)))
2717, 20, 25, 26syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 · 𝑁) < 𝑀𝑥 < (𝑀 / 𝑁)))
2814, 27mpbird 257 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑥 · 𝑁) < 𝑀)
29 elfzo0 13740 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑁) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑥 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 𝑁) < 𝑀))
3011, 12, 28, 29syl3anbrc 1344 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑥 · 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
31 nncn 12274 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
32313ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
33 nncn 12274 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
34333ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
35 nnne0 12300 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
36353ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ≠ 0)
3732, 34, 36divcan1d 12044 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑀)
3837adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑀)
3938eqcomd 2743 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → 𝑀 = ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁))
4039oveq2d 7447 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 · 𝑁) gcd 𝑀) = ((𝑥 · 𝑁) gcd ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)))
41 nndivdvds 16299 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
4241biimp3a 1471 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
4342nnzd 12640 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
4443adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
45 mulgcdr 16587 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑥 · 𝑁) gcd ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))
4616, 44, 10, 45syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 · 𝑁) gcd ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) · 𝑁))
47 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
4847oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = (1 · 𝑁))
4934mullidd 11279 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
5049adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
5148, 50eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) · 𝑁) = 𝑁)
5240, 46, 513eqtrd 2781 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → ((𝑥 · 𝑁) gcd 𝑀) = 𝑁)
53 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥 · 𝑁) → (𝑧 gcd 𝑀) = ((𝑥 · 𝑁) gcd 𝑀))
5453eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝑧 gcd 𝑀) = 𝑁 ↔ ((𝑥 · 𝑁) gcd 𝑀) = 𝑁))
55 hashgcdlem.b . . . . 5 𝐵 = {𝑧 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑧 gcd 𝑀) = 𝑁}
5654, 55elrab2 3695 . . . 4 ((𝑥 · 𝑁) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑥 · 𝑁) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑥 · 𝑁) gcd 𝑀) = 𝑁))
5730, 52, 56sylanbrc 583 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ (𝑥 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)) → (𝑥 · 𝑁) ∈ 𝐵)
585, 57sylan2b 594 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 · 𝑁) ∈ 𝐵)
59 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 gcd 𝑀) = (𝑤 gcd 𝑀))
6059eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 gcd 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁))
6160, 55elrab2 3695 . . 3 (𝑤𝐵 ↔ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁))
62 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)
63 elfzoelz 13699 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (0..^𝑀) → 𝑤 ∈ ℤ)
6463ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑤 ∈ ℤ)
65 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
6665nnzd 12640 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
67 gcddvds 16540 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
6864, 66, 67syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
6968simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤)
7062, 69eqbrtrrd 5167 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁𝑤)
71 nnz 12634 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
72713ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7372adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7436adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁 ≠ 0)
75 dvdsval2 16293 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑁𝑤 ↔ (𝑤 / 𝑁) ∈ ℤ))
7673, 74, 64, 75syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁𝑤 ↔ (𝑤 / 𝑁) ∈ ℤ))
7770, 76mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 / 𝑁) ∈ ℤ)
78 elfzofz 13715 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (0..^𝑀) → 𝑤 ∈ (0...𝑀))
7978ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑤 ∈ (0...𝑀))
80 elfznn0 13660 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (0...𝑀) → 𝑤 ∈ ℕ0)
81 nn0re 12535 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)
82 nn0ge0 12551 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑤)
8381, 82jca 511 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤))
8479, 80, 833syl 18 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤))
8524adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
86 divge0 12137 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑤 / 𝑁))
8784, 85, 86syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 0 ≤ (𝑤 / 𝑁))
88 elnn0z 12626 . . . . . 6 ((𝑤 / 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑤 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑤 / 𝑁)))
8977, 87, 88sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 / 𝑁) ∈ ℕ0)
9042adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
91 elfzolt2 13708 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (0..^𝑀) → 𝑤 < 𝑀)
9291ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑤 < 𝑀)
9364zred 12722 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑤 ∈ ℝ)
9419adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
95 ltdiv1 12132 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑤 < 𝑀 ↔ (𝑤 / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
9693, 94, 85, 95syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 < 𝑀 ↔ (𝑤 / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
9792, 96mpbid 232 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁))
98 elfzo0 13740 . . . . 5 ((𝑤 / 𝑁) ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ↔ ((𝑤 / 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑤 / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
9989, 90, 97, 98syl3anbrc 1344 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 / 𝑁) ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)))
10062oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑤 gcd 𝑀) / 𝑁) = (𝑁 / 𝑁))
101 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
102 simpl3 1194 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁𝑀)
103 gcddiv 16588 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁𝑤𝑁𝑀)) → ((𝑤 gcd 𝑀) / 𝑁) = ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)))
10464, 66, 101, 70, 102, 103syl32anc 1380 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑤 gcd 𝑀) / 𝑁) = ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)))
10534, 36dividd 12041 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
106105adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
107100, 104, 1063eqtr3d 2785 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
108 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑤 / 𝑁) → (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)))
109108eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑦 = (𝑤 / 𝑁) → ((𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1 ↔ ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1))
110109, 4elrab2 3695 . . . 4 ((𝑤 / 𝑁) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑤 / 𝑁) ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ ((𝑤 / 𝑁) gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1))
11199, 107, 110sylanbrc 583 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑤 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑤 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑤 / 𝑁) ∈ 𝐴)
11261, 111sylan2b 594 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑤 / 𝑁) ∈ 𝐴)
1135simplbi 497 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)))
11461simplbi 497 . . . 4 (𝑤𝐵𝑤 ∈ (0..^𝑀))
115113, 114anim12i 613 . . 3 ((𝑥𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀)))
11663ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑤 ∈ ℤ)
117116zcnd 12723 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑤 ∈ ℂ)
11834adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑁 ∈ ℂ)
11936adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑁 ≠ 0)
120117, 118, 119divcan1d 12044 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑤 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑤)
121120eqcomd 2743 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑤 = ((𝑤 / 𝑁) · 𝑁))
122 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) → (𝑥 · 𝑁) = ((𝑤 / 𝑁) · 𝑁))
123122eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) → (𝑤 = (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝑤 = ((𝑤 / 𝑁) · 𝑁)))
124121, 123syl5ibrcom 247 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) → 𝑤 = (𝑥 · 𝑁)))
12515ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑥 ∈ ℤ)
126125zcnd 12723 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑥 ∈ ℂ)
127126, 118, 119divcan4d 12049 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑥 · 𝑁) / 𝑁) = 𝑥)
128127eqcomd 2743 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑥 = ((𝑥 · 𝑁) / 𝑁))
129 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 · 𝑁) → (𝑤 / 𝑁) = ((𝑥 · 𝑁) / 𝑁))
130129eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑤 = (𝑥 · 𝑁) → (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) ↔ 𝑥 = ((𝑥 · 𝑁) / 𝑁)))
131128, 130syl5ibrcom 247 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑤 = (𝑥 · 𝑁) → 𝑥 = (𝑤 / 𝑁)))
132124, 131impbid 212 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) ↔ 𝑤 = (𝑥 · 𝑁)))
133115, 132sylan2 593 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐵)) → (𝑥 = (𝑤 / 𝑁) ↔ 𝑤 = (𝑥 · 𝑁)))
1341, 58, 112, 133f1o2d 7687 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436   class class class wbr 5143  cmpt 5225  1-1-ontowf1o 6560  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  cdvds 16290   gcd cgcd 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532
This theorem is referenced by:  hashgcdeq  16827
  Copyright terms: Public domain W3C validator