Theorem fipwss 9399

Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fipwss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem fipwss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiuni 9398	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))
2	1	sseq1d 3962	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋))
3		sspwuni 5060	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑋)
4		sspwuni 5060	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋)
5	2, 3, 4	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋))
6	5	biimpa 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
7		fvprc 6870	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∅)
8		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
9	7, 8	eqsstrdi 3975	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
10	9	adantr 486	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
11	6, 10	pm2.61ian 824	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6533  ficfi 9380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7863  df-1o 8455  df-2o 8456  df-en 8953  df-fin 8956  df-fi 9381

This theorem is used by:  fsubbas  24093