MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fipwss 9423
Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwss (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem fipwss
StepHypRef Expression
1 fiuni 9422 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (fi‘𝐴))
21sseq1d 4013 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ( 𝐴𝑋 (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋))
3 sspwuni 5103 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 𝐴𝑋)
4 sspwuni 5103 . . . 4 ((fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋 (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋)
52, 3, 43bitr4g 313 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋))
65biimpa 477 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
7 fvprc 6883 . . . 4 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∅)
8 0ss 4396 . . . 4 ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
97, 8eqsstrdi 4036 . . 3 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
109adantr 481 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
116, 10pm2.61ian 810 1 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2106  Vcvv 3474  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602   cuni 4908  cfv 6543  ficfi 9404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405
This theorem is referenced by:  fsubbas  23370
  Copyright terms: Public domain W3C validator