Theorem fipwss 9498

Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fipwss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem fipwss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiuni 9497	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))
2	1	sseq1d 4040	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋))
3		sspwuni 5123	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑋)
4		sspwuni 5123	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋)
5	2, 3, 4	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
7		fvprc 6912	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∅)
8		0ss 4423	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
9	7, 8	eqsstrdi 4063	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
11	6, 10	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  ficfi 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-2o 8523  df-en 9004  df-fin 9007  df-fi 9480

This theorem is referenced by:  fsubbas  23896