Theorem fipwss 9380

Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fipwss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem fipwss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiuni 9379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))
2	1	sseq1d 3978	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋))
3		sspwuni 5064	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑋)
4		sspwuni 5064	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋)
5	2, 3, 4	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
7		fvprc 6850	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∅)
8		0ss 4363	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
9	7, 8	eqsstrdi 3991	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
11	6, 10	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6511  ficfi 9361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-2o 8435  df-en 8919  df-fin 8922  df-fi 9362

This theorem is referenced by:  fsubbas  23754