Theorem fipwss 9444

Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fipwss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem fipwss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiuni 9443	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))
2	1	sseq1d 4009	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋))
3		sspwuni 5097	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑋)
4		sspwuni 5097	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋)
5	2, 3, 4	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋))
6	5	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
7		fvprc 6883	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∅)
8		0ss 4392	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
9	7, 8	eqsstrdi 4032	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
11	6, 10	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598  ∪ cuni 4903  ‘cfv 6542  ficfi 9425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-fin 8959  df-fi 9426

This theorem is referenced by:  fsubbas  23758