MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fipwss 9373
Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwss (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem fipwss
StepHypRef Expression
1 fiuni 9372 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (fi‘𝐴))
21sseq1d 3979 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ( 𝐴𝑋 (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋))
3 sspwuni 5064 . . . 4 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 𝐴𝑋)
4 sspwuni 5064 . . . 4 ((fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋 (fi‘𝐴) ⊆ 𝑋)
52, 3, 43bitr4g 314 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋))
65biimpa 478 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
7 fvprc 6838 . . . 4 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∅)
8 0ss 4360 . . . 4 ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
97, 8eqsstrdi 4002 . . 3 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
109adantr 482 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
116, 10pm2.61ian 811 1 (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋 → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2107  Vcvv 3447  wss 3914  c0 4286  𝒫 cpw 4564   cuni 4869  cfv 6500  ficfi 9354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7807  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-fin 8893  df-fi 9355
This theorem is referenced by:  fsubbas  23241
  Copyright terms: Public domain W3C validator