Theorem fiuni 9420

Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiuni	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem fiuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 9411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
2	1	unissd 4876	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (fi‘𝐴))
3		fipwuni 9418	. . . . 5 ⊢ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴
4	3	unissi 4875	. . . 4 ⊢ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝒫 ∪ 𝐴
5		unipw 5417	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
6	4, 5	sseqtri 3956	. . 3 ⊢ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝐴
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝐴)
8	2, 7	eqssd 3925	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6538  ficfi 9402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8476  df-2o 8477  df-en 8974  df-fin 8977  df-fi 9403

This theorem is used by:  fipwss  9421  ordttopon  23511  ptbasfi  23900  xkouni  23918  alexsublem  24363  alexsub  24364  alexsubb  24365  alexsubALTlem3  24368  alexsubALTlem4  24369  ptcmplem1  24371  topjoin  37153