Theorem fiuni 9345

Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiuni	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem fiuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 9336	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
2	1	unissd 4875	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (fi‘𝐴))
3		fipwuni 9343	. . . . 5 ⊢ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴
4	3	unissi 4874	. . . 4 ⊢ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝒫 ∪ 𝐴
5		unipw 5407	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
6	4, 5	sseqtri 3984	. . 3 ⊢ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝐴
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝐴)
8	2, 7	eqssd 3953	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6502  ficfi 9327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-om 7821  df-1o 8409  df-2o 8410  df-en 8898  df-fin 8901  df-fi 9328

This theorem is referenced by:  fipwss  9346  ordttopon  23154  ptbasfi  23542  xkouni  23560  alexsublem  24005  alexsub  24006  alexsubb  24007  alexsubALTlem3  24010  alexsubALTlem4  24011  ptcmplem1  24013  topjoin  36587