Theorem fiuni 9469

Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiuni	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem fiuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 9460	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
2	1	unissd 4916	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (fi‘𝐴))
3		fipwuni 9467	. . . . 5 ⊢ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴
4	3	unissi 4915	. . . 4 ⊢ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝒫 ∪ 𝐴
5		unipw 5454	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
6	4, 5	sseqtri 4031	. . 3 ⊢ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝐴
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝐴)
8	2, 7	eqssd 4000	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  𝒫 cpw 4599  ∪ cuni 4906  ‘cfv 6560  ficfi 9451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-2o 8508  df-en 8987  df-fin 8990  df-fi 9452

This theorem is referenced by:  fipwss  9470  ordttopon  23202  ptbasfi  23590  xkouni  23608  alexsublem  24053  alexsub  24054  alexsubb  24055  alexsubALTlem3  24058  alexsubALTlem4  24059  ptcmplem1  24061  topjoin  36367