Theorem fiuni 9187

Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiuni	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem fiuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 9178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
2	1	unissd 4849	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (fi‘𝐴))
3		fipwuni 9185	. . . . 5 ⊢ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴
4	3	unissi 4848	. . . 4 ⊢ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝒫 ∪ 𝐴
5		unipw 5366	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
6	4, 5	sseqtri 3957	. . 3 ⊢ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝐴
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝐴)
8	2, 7	eqssd 3938	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ∪ cuni 4839  ‘cfv 6433  ficfi 9169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-fin 8737  df-fi 9170

This theorem is referenced by:  fipwss  9188  ordttopon  22344  ptbasfi  22732  xkouni  22750  alexsublem  23195  alexsub  23196  alexsubb  23197  alexsubALTlem3  23200  alexsubALTlem4  23201  ptcmplem1  23203  topjoin  34554