Theorem fiuni 9390

Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiuni	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))

Proof of Theorem fiuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 9381	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
2	1	unissd 4886	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (fi‘𝐴))
3		fipwuni 9388	. . . . 5 ⊢ (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴
4	3	unissi 4885	. . . 4 ⊢ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝒫 ∪ 𝐴
5		unipw 5434	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
6	4, 5	sseqtri 3993	. . 3 ⊢ ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝐴
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ (fi‘𝐴) ⊆ ∪ 𝐴)
8	2, 7	eqssd 3962	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 = ∪ (fi‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567  ∪ cuni 4876  ‘cfv 6539  ficfi 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-om 7865  df-1o 8455  df-2o 8456  df-en 8946  df-fin 8949  df-fi 9373

This theorem is referenced by:  fipwss  9391  ordttopon  23321  ptbasfi  23709  xkouni  23727  alexsublem  24172  alexsub  24173  alexsubb  24174  alexsubALTlem3  24177  alexsubALTlem4  24178  ptcmplem1  24180  topjoin  36801