Theorem fodomb 9937

Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty set. Proposition 10.35 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fodomb	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	fdmd 6497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3	2	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4		dm0rn0 5759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5		forn 6568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
6	5	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
7	4, 6	syl5bb 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
8	3, 7	bitr3d 284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
9	8	necon3bid 3031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	biimpac 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11		vex 3444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	dmex 7598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
13	2, 12	eqeltrrdi 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
14		fornex 7639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
15	13, 14	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
16		0sdomg 8630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
19	10, 18	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
20	19	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21		fodomg 9933	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
22	13, 21	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
23	20, 22	jca2 517	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
24	23	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
25	24	imp 410	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))
26		sdomdomtr 8634	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
27		reldom 8498	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
28	27	brrelex2i 5573	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
29	28	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
30		0sdomg 8630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
32	26, 31	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
33		fodomr 8652	. . 3 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
34	32, 33	jca 515	. 2 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵))
35	25, 34	impbii 212	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ran crn 5520  –onto→wfo 6322   ≼ cdom 8490   ≺ csdm 8491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-ac2 9874

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527

This theorem is referenced by: (None)