Theorem fodomb 10557

Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty set. Proposition 10.35 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fodomb	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	fdmd 6738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3	2	eqeq1d 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4		dm0rn0 5931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5		forn 6819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
6	5	eqeq1d 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
7	4, 6	bitrid 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
8	3, 7	bitr3d 280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
9	8	necon3bid 2982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	biimpac 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11		vex 3477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	dmex 7923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
13	2, 12	eqeltrrdi 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
14		focdmex 7965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
15	13, 14	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
16		0sdomg 9135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
19	10, 18	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
20	19	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21		fodomg 10553	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
22	13, 21	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
23	20, 22	jca2 512	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
24	23	exlimdv 1928	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
25	24	imp 405	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))
26		sdomdomtr 9141	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
27		reldom 8976	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
28	27	brrelex2i 5739	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
29	28	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
30		0sdomg 9135	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
32	26, 31	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
33		fodomr 9159	. . 3 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
34	32, 33	jca 510	. 2 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵))
35	25, 34	impbii 208	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  Vcvv 3473  ∅c0 4326   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  ran crn 5683  –onto→wfo 6551   ≼ cdom 8968   ≺ csdm 8969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-ac2 10494

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-card 9970  df-acn 9973  df-ac 10147

This theorem is referenced by: (None)