Theorem fodomb 10494

Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty set. Proposition 10.35 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fodomb	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	fdmd 6702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3	2	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4		dm0rn0 5901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5		forn 6781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
6	5	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
7	4, 6	bitrid 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
8	3, 7	bitr3d 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
9	8	necon3bid 3002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	biimpac 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11		vex 3459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	dmex 7890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
13	2, 12	eqeltrrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
14		focdmex 7937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
15	13, 14	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
16		0sdomg 9078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
19	10, 18	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
20	19	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21		fodomg 10490	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
22	13, 21	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
23	20, 22	jca2 521	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
24	23	exlimdv 1954	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
25	24	imp 410	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))
26		sdomdomtr 9082	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
27		reldom 8933	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
28	27	brrelex2i 5705	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
29	28	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
30		0sdomg 9078	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
32	26, 31	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
33		fodomr 9100	. . 3 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
34	32, 33	jca 519	. 2 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵))
35	25, 34	impbii 211	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561  ∃wex 1800   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  ∅c0 4286   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  ran crn 5649  –onto→wfo 6519   ≼ cdom 8925   ≺ csdm 8926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-ac2 10431

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-card 9909  df-acn 9912  df-ac 10084

This theorem is referenced by: (None)