MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomb 9940
Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty set. Proposition 10.35 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
fodomb ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomb
StepHypRef Expression
1 fof 6583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
21fdmd 6516 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
32eqeq1d 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4 dm0rn0 5788 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5 forn 6586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
65eqeq1d 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
74, 6syl5bb 285 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
83, 7bitr3d 283 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
98necon3bid 3058 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
109biimpac 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11 vex 3496 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
1211dmex 7608 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑓 ∈ V
132, 12eqeltrrdi 2920 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐴 ∈ V)
14 fornex 7649 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
1513, 14mpcom 38 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V)
16 0sdomg 8638 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1817adantl 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1910, 18mpbird 259 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
2019ex 415 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴onto𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21 fodomg 9937 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2213, 21mpcom 38 . . . . 5 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴)
2320, 22jca2 516 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2423exlimdv 1927 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2524imp 409 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
26 sdomdomtr 8642 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
27 reldom 8507 . . . . . . 7 Rel ≼
2827brrelex2i 5602 . . . . . 6 (𝐵𝐴𝐴 ∈ V)
2928adantl 484 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ V)
30 0sdomg 8638 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3226, 31mpbid 234 . . 3 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
33 fodomr 8660 . . 3 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)
3432, 33jca 514 . 2 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵))
3525, 34impbii 211 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3014  Vcvv 3493  c0 4289   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ran crn 5549  ontowfo 6346  cdom 8499  csdm 8500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-ac2 9877
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator