Theorem fodomb 10545

Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty set. Proposition 10.35 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fodomb	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	fdmd 6721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3	2	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4		dm0rn0 5909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5		forn 6798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
6	5	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
7	4, 6	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
8	3, 7	bitr3d 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
9	8	necon3bid 2977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	biimpac 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11		vex 3468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	dmex 7910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
13	2, 12	eqeltrrdi 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
14		focdmex 7959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
15	13, 14	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
16		0sdomg 9123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
19	10, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
20	19	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21		fodomg 10541	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
22	13, 21	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
23	20, 22	jca2 513	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
24	23	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
25	24	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))
26		sdomdomtr 9129	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
27		reldom 8970	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
28	27	brrelex2i 5716	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
29	28	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
30		0sdomg 9123	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
32	26, 31	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
33		fodomr 9147	. . 3 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
34	32, 33	jca 511	. 2 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵))
35	25, 34	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  Vcvv 3464  ∅c0 4313   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ran crn 5660  –onto→wfo 6534   ≼ cdom 8962   ≺ csdm 8963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-ac2 10482

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-card 9958  df-acn 9961  df-ac 10135

This theorem is referenced by: (None)