Theorem fodomb 10632

Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty set. Proposition 10.35 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fodomb	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 6818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	fdmd 6742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3	2	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4		dm0rn0 5913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5		forn 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
6	5	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
7	4, 6	bitrid 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
8	3, 7	bitr3d 284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
9	8	necon3bid 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
10	9	biimpac 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11		vex 3458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	dmex 7945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
13	2, 12	eqeltrrdi 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐴 ∈ V)
14		focdmex 7992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ∈ V))
15	13, 14	mpcom 39	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ∈ V)
16		0sdomg 9153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
19	10, 18	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
20	19	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21		fodomg 10627	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
22	13, 21	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
23	20, 22	jca2 523	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
24	23	exlimdv 1968	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
25	24	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))
26		sdomdomtr 9157	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
27		reldom 9007	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
28	27	brrelex2i 5712	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
29	28	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
30		0sdomg 9153	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
31	29, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
32	26, 31	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
33		fodomr 9175	. . 3 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵)
34	32, 33	jca 521	. 2 ⊢ ((∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵))
35	25, 34	impbii 212	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ran crn 5656  ⟶ontowfo 6556   ≼ cdom 8999   ≺ csdm 9000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-ac2 10568

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-card 10047  df-acn 10050  df-ac 10222

This theorem is used by: (None)