MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomb 10567
Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty set. Proposition 10.35 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
fodomb ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomb
StepHypRef Expression
1 fof 6819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
21fdmd 6745 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
32eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
4 dm0rn0 5934 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
5 forn 6822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
65eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
74, 6bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
83, 7bitr3d 281 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
98necon3bid 2984 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
109biimpac 478 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
11 vex 3483 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
1211dmex 7932 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑓 ∈ V
132, 12eqeltrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐴 ∈ V)
14 focdmex 7981 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
1513, 14mpcom 38 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V)
16 0sdomg 9145 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1910, 18mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
2019ex 412 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴onto𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
21 fodomg 10563 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2213, 21mpcom 38 . . . . 5 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴)
2320, 22jca2 513 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2423exlimdv 1932 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2524imp 406 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
26 sdomdomtr 9151 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
27 reldom 8992 . . . . . . 7 Rel ≼
2827brrelex2i 5741 . . . . . 6 (𝐵𝐴𝐴 ∈ V)
2928adantl 481 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ V)
30 0sdomg 9145 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3226, 31mpbid 232 . . 3 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
33 fodomr 9169 . . 3 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)
3432, 33jca 511 . 2 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵))
3525, 34impbii 209 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  c0 4332   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ran crn 5685  ontowfo 6558  cdom 8984  csdm 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-ac2 10504
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-card 9980  df-acn 9983  df-ac 10157
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator