MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomnum 9200
Description: A version of fodom 9666 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 9603. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomnum (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem fodomnum
StepHypRef Expression
1 fornex 7402 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
21com12 32 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐵 ∈ V))
3 numacn 9192 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴AC 𝐵))
42, 3syli 39 . . 3 (𝐹:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴AC 𝐵))
54com12 32 . 2 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐴AC 𝐵))
6 fodomacn 9199 . 2 (𝐴AC 𝐵 → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
75, 6syli 39 1 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2164  Vcvv 3414   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  ontowfo 6125  cdom 8226  cardccrd 9081  AC wacn 9084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-card 9085  df-acn 9088
This theorem is referenced by:  fonum  9201  fodomfi2  9203  infpwfien  9205  inffien  9206  wdomnumr  9207  iunfictbso  9257  infmap2  9362  fictb  9389  cfflb  9403  cfslb2n  9412  fodom  9666  rankcf  9921  tskuni  9927  tskurn  9933  znnen  15322  qnnen  15323  cygctb  18653  1stcrestlem  21633  2ndcctbss  21636  2ndcomap  21639  2ndcsep  21640  tx1stc  21831  tx2ndc  21832  met1stc  22703  met2ndci  22704  re2ndc  22981  uniiccdif  23751  dyadmbl  23773  opnmblALT  23776  mbfimaopnlem  23828  aannenlem3  24491
  Copyright terms: Public domain W3C validator