Theorem fodomnum 10094

Description: A version of fodom 10560 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 10496. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fodomnum	⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem fodomnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		focdmex 7978	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
2	1	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐵 ∈ V))
3		numacn 10086	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
4	2, 3	syli 39	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
5	4	com12 32	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
6		fodomacn 10093	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ AC 𝐵 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7	5, 6	syli 39	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  –onto→wfo 6560   ≼ cdom 8981  cardccrd 9972  AC wacn 9975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-card 9976  df-acn 9979

This theorem is referenced by:  fonum  10095  fodomfi2  10097  infpwfien  10099  inffien  10100  wdomnumr  10101  iunfictbso  10151  infmap2  10254  fictb  10281  cfflb  10296  cfslb2n  10305  fodomg  10559  rankcf  10814  tskuni  10820  tskurn  10826  znnen  16244  qnnen  16245  cygctb  19924  1stcrestlem  23475  2ndcctbss  23478  2ndcomap  23481  2ndcsep  23482  tx1stc  23673  tx2ndc  23674  met1stc  24549  met2ndci  24550  re2ndc  24836  uniiccdif  25626  dyadmbl  25648  opnmblALT  25651  mbfimaopnlem  25703  aannenlem3  26386  rn1st  45218