MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomnum 9468
Description: A version of fodom 9930 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 9866. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomnum (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem fodomnum
StepHypRef Expression
1 fornex 7640 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
21com12 32 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐵 ∈ V))
3 numacn 9460 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴AC 𝐵))
42, 3syli 39 . . 3 (𝐹:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴AC 𝐵))
54com12 32 . 2 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐴AC 𝐵))
6 fodomacn 9467 . 2 (𝐴AC 𝐵 → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
75, 6syli 39 1 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  Vcvv 3479   class class class wbr 5047  dom cdm 5536  ontowfo 6334  cdom 8490  cardccrd 9348  AC wacn 9351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-card 9352  df-acn 9355
This theorem is referenced by:  fonum  9469  fodomfi2  9471  infpwfien  9473  inffien  9474  wdomnumr  9475  iunfictbso  9525  infmap2  9625  fictb  9652  cfflb  9666  cfslb2n  9675  fodomg  9929  rankcf  10184  tskuni  10190  tskurn  10196  znnen  15554  qnnen  15555  cygctb  19001  1stcrestlem  22046  2ndcctbss  22049  2ndcomap  22052  2ndcsep  22053  tx1stc  22244  tx2ndc  22245  met1stc  23117  met2ndci  23118  re2ndc  23395  uniiccdif  24171  dyadmbl  24193  opnmblALT  24196  mbfimaopnlem  24248  aannenlem3  24915
  Copyright terms: Public domain W3C validator