Theorem fodomnum 10175

Description: A version of fodom 10640 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 10576. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fodomnum	⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem fodomnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		focdmex 8002	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ∈ V))
2	1	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐵 ∈ V))
3		numacn 10167	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
4	2, 3	syli 40	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
5	4	com12 33	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
6		fodomacn 10174	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ AC 𝐵 → (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7	5, 6	syli 40	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  ⟶ontowfo 6564   ≼ cdom 9009  cardccrd 10053  AC wacn 10056

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-card 10057  df-acn 10060

This theorem is used by:  fonum  10176  fodomfi2  10178  infpwfien  10180  inffien  10181  wdomnumr  10182  iunfictbso  10232  infmap2  10334  fictb  10361  cfflb  10376  cfslb2n  10385  fodomg  10639  dmct  10641  imadomnum  10653  fnrndomnum  10656  rankcf  10901  tskuni  10907  tskurn  10913  znnen  16424  qnnen  16425  cygctb  20157  1stcrestlem  23825  2ndcctbss  23829  2ndcomap  23832  2ndcsep  23833  tx1stc  24024  tx2ndc  24025  met1stc  24895  met2ndci  24896  re2ndc  25175  uniiccdif  25954  dyadmbl  25976  opnmblALT  25979  mbfimaopnlem  26031  aannenlem3  26714  rn1st  46558