Theorem fodomnum 10042

Description: A version of fodom 10508 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 10444. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fodomnum	⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem fodomnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		focdmex 7954	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
2	1	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐵 ∈ V))
3		numacn 10034	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
4	2, 3	syli 40	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
5	4	com12 33	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
6		fodomacn 10041	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ AC 𝐵 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7	5, 6	syli 40	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  –onto→wfo 6536   ≼ cdom 8942  cardccrd 9922  AC wacn 9925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-card 9926  df-acn 9929

This theorem is referenced by:  fonum  10043  fodomfi2  10045  infpwfien  10047  inffien  10048  wdomnumr  10049  iunfictbso  10099  infmap2  10201  fictb  10228  cfflb  10244  cfslb2n  10253  fodomg  10507  rankcf  10763  tskuni  10769  tskurn  10775  znnen  16269  qnnen  16270  cygctb  19963  1stcrestlem  23590  2ndcctbss  23593  2ndcomap  23596  2ndcsep  23597  tx1stc  23788  tx2ndc  23789  met1stc  24659  met2ndci  24660  re2ndc  24939  uniiccdif  25718  dyadmbl  25740  opnmblALT  25743  mbfimaopnlem  25795  aannenlem3  26474  rn1st  45971