Theorem fodomnum 10097

Description: A version of fodom 10563 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 10499. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fodomnum	⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem fodomnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		focdmex 7980	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
2	1	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐵 ∈ V))
3		numacn 10089	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
4	2, 3	syli 39	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
5	4	com12 32	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
6		fodomacn 10096	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ AC 𝐵 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7	5, 6	syli 39	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  –onto→wfo 6559   ≼ cdom 8983  cardccrd 9975  AC wacn 9978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-card 9979  df-acn 9982

This theorem is referenced by:  fonum  10098  fodomfi2  10100  infpwfien  10102  inffien  10103  wdomnumr  10104  iunfictbso  10154  infmap2  10257  fictb  10284  cfflb  10299  cfslb2n  10308  fodomg  10562  rankcf  10817  tskuni  10823  tskurn  10829  znnen  16248  qnnen  16249  cygctb  19910  1stcrestlem  23460  2ndcctbss  23463  2ndcomap  23466  2ndcsep  23467  tx1stc  23658  tx2ndc  23659  met1stc  24534  met2ndci  24535  re2ndc  24822  uniiccdif  25613  dyadmbl  25635  opnmblALT  25638  mbfimaopnlem  25690  aannenlem3  26372  rn1st  45280