Theorem fodomnum 9967

Description: A version of fodom 10433 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 10369. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fodomnum	⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem fodomnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		focdmex 7900	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))
2	1	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐵 ∈ V))
3		numacn 9959	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
4	2, 3	syli 39	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
5	4	com12 32	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐴 ∈ AC 𝐵))
6		fodomacn 9966	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ AC 𝐵 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7	5, 6	syli 39	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  –onto→wfo 6490   ≼ cdom 8881  cardccrd 9847  AC wacn 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-card 9851  df-acn 9854

This theorem is referenced by:  fonum  9968  fodomfi2  9970  infpwfien  9972  inffien  9973  wdomnumr  9974  iunfictbso  10024  infmap2  10127  fictb  10154  cfflb  10169  cfslb2n  10178  fodomg  10432  rankcf  10688  tskuni  10694  tskurn  10700  znnen  16137  qnnen  16138  cygctb  19821  1stcrestlem  23396  2ndcctbss  23399  2ndcomap  23402  2ndcsep  23403  tx1stc  23594  tx2ndc  23595  met1stc  24465  met2ndci  24466  re2ndc  24745  uniiccdif  25535  dyadmbl  25557  opnmblALT  25560  mbfimaopnlem  25612  aannenlem3  26294  rn1st  45517