MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomnum 9994
Description: A version of fodom 10460 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 10396. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomnum (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem fodomnum
StepHypRef Expression
1 focdmex 7889 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
21com12 32 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐵 ∈ V))
3 numacn 9986 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴AC 𝐵))
42, 3syli 39 . . 3 (𝐹:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴AC 𝐵))
54com12 32 . 2 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐴AC 𝐵))
6 fodomacn 9993 . 2 (𝐴AC 𝐵 → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
75, 6syli 39 1 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  Vcvv 3446   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  ontowfo 6495  cdom 8882  cardccrd 9872  AC wacn 9875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-card 9876  df-acn 9879
This theorem is referenced by:  fonum  9995  fodomfi2  9997  infpwfien  9999  inffien  10000  wdomnumr  10001  iunfictbso  10051  infmap2  10155  fictb  10182  cfflb  10196  cfslb2n  10205  fodomg  10459  rankcf  10714  tskuni  10720  tskurn  10726  znnen  16095  qnnen  16096  cygctb  19670  1stcrestlem  22806  2ndcctbss  22809  2ndcomap  22812  2ndcsep  22813  tx1stc  23004  tx2ndc  23005  met1stc  23880  met2ndci  23881  re2ndc  24167  uniiccdif  24945  dyadmbl  24967  opnmblALT  24970  mbfimaopnlem  25022  aannenlem3  25693  rn1st  43509
  Copyright terms: Public domain W3C validator