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Theorem efgredlemc 18598
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18584 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
efgredlemb.8 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
Assertion
Ref Expression
efgredlemc (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ𝑄) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemc
Dummy variables 𝑐 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzp1 12128 . 2 (𝑃 ∈ (ℤ𝑄) → (𝑃 = 𝑄𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))))
2 efgredlemb.8 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
3 efgval.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4 fviss 6611 . . . . . . . . . . 11 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
53, 4eqsstri 3924 . . . . . . . . . 10 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
6 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
7 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 = ( ~FG𝐼)
8 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
9 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
10 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
11 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
123, 7, 8, 9, 10, 11efgsdm 18583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1312simp1bi 1138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
146, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
15 eldifi 4026 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
16 wrdf 13712 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
18 fzossfz 12906 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐴) − 1))
19 efgredlemb.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
20 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
21 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
22 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
23 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
243, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 6, 21, 22, 23efgredlema 18593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2524simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
26 fzo0end 12979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
2819, 27syl5eqel 2886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
2918, 28sseldi 3889 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
30 lencl 13729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3114, 15, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3231nn0zd 11935 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
33 fzoval 12889 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
3529, 34eleqtrrd 2885 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
3617, 35ffvelrnd 6720 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
375, 36sseldi 3889 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o))
38 efgredlemb.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
39 lencl 13729 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
41 nn0uz 12129 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
4240, 41syl6eleq 2892 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘0))
43 eluzfz2 12765 . . . . . . . . . 10 ((♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
45 ccatpfx 13899 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))))
4637, 38, 44, 45syl3anc 1364 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))))
47 pfxid 13882 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))) = (𝐴𝐾))
4837, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))) = (𝐴𝐾))
4946, 48eqtrd 2830 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝐴𝐾))
503, 7, 8, 9, 10, 11efgsdm 18583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
5150simp1bi 1138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
5221, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
53 eldifi 4026 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐵 ∈ Word 𝑊)
54 wrdf 13712 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
56 fzossfz 12906 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐵) − 1))
57 efgredlemb.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
5824simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
59 fzo0end 12979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
6157, 60syl5eqel 2886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
6256, 61sseldi 3889 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (0...((♯‘𝐵) − 1)))
63 lencl 13729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6452, 53, 633syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6564nn0zd 11935 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
66 fzoval 12889 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
6862, 67eleqtrrd 2885 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
6955, 68ffvelrnd 6720 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
705, 69sseldi 3889 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o))
71 efgredlemb.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
72 lencl 13729 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
7473, 41syl6eleq 2892 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘0))
75 eluzfz2 12765 . . . . . . . . . 10 ((♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
77 ccatpfx 13899 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))))
7870, 71, 76, 77syl3anc 1364 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))))
79 pfxid 13882 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))) = (𝐵𝐿))
8070, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))) = (𝐵𝐿))
8178, 80eqtrd 2830 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (𝐵𝐿))
8249, 81eqeq12d 2809 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿)))
832, 82mtbird 326 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
84 efgredlemb.6 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
85 efgredlemb.u . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
863, 7, 8, 9efgtval 18576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈) = ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
8736, 38, 85, 86syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈) = ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
888efgmf 18566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
8988ffvelrni 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀𝑈) ∈ (𝐼 × 2o))
9085, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀𝑈) ∈ (𝐼 × 2o))
9185, 90s2cld 14069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
92 splval 13949 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
9336, 38, 38, 91, 92syl13anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
9484, 87, 933eqtrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐴) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
95 efgredlemb.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
96 efgredlemb.v . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
973, 7, 8, 9efgtval 18576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉) = ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
9869, 71, 96, 97syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉) = ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
9988ffvelrni 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2o))
10096, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2o))
10196, 100s2cld 14069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
102 splval 13949 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
10369, 71, 71, 101, 102syl13anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
10495, 98, 1033eqtrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐵) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
10522, 94, 1043eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
106105adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
107 pfxcl 13875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
10837, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
11091adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
111 ccatcl 13772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
112109, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
113 swrdcl 13843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
11437, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
115114adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
116 pfxcl 13875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
11770, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
118117adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
119101adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
120 ccatcl 13772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
121118, 119, 120syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
122 swrdcl 13843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
12370, 122syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
124123adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
125 pfxlen 13881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) = 𝑃)
12637, 38, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) = 𝑃)
127 pfxlen 13881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) = 𝑄)
12870, 71, 127syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) = 𝑄)
129126, 128eqeq12d 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) ↔ 𝑃 = 𝑄))
130129biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)))
131 s2len 14087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = 2
132 s2len 14087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) = 2
133131, 132eqtr4i 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
135130, 134oveq12d 7037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)) = ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
136 ccatlen 13773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘(((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)) = ((♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)))
137109, 110, 136syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (♯‘(((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)) = ((♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)))
138 ccatlen 13773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)) = ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
139118, 119, 138syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)) = ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
140135, 137, 1393eqtr4d 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (♯‘(((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)) = (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
141 ccatopth 13914 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘(((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)) = (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))) → (((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
142112, 115, 121, 124, 140, 141syl221anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
143106, 142mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
144143simpld 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
145 ccatopth 13914 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄))) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
146109, 110, 118, 119, 130, 145syl221anc 1374 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
147144, 146mpbid 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
148147simpld 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐴𝐾) prefix 𝑃) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄))
149143simprd 496 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
150148, 149oveq12d 7037 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
15183, 150mtand 812 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 𝑄)
152151pm2.21d 121 . . 3 (𝜑 → (𝑃 = 𝑄 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
153 uzp1 12128 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1)) → (𝑃 = (𝑄 + 1) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘((𝑄 + 1) + 1))))
15485s1cld 13801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
155 ccatcl 13772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
156108, 154, 155syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
15790s1cld 13801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
158 ccatass 13786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
159156, 157, 114, 158syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
160 ccatass 13786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩)))
161108, 154, 157, 160syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩)))
162 df-s2 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩)
163162oveq2i 7030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩))
164161, 163syl6eqr 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩))
165164oveq1d 7034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
16696s1cld 13801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
167100s1cld 13801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
168 ccatass 13786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
169117, 166, 167, 168syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
170 df-s2 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ = (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)
171170oveq2i 7030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩))
172169, 171syl6eqr 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
173172oveq1d 7034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
174105, 165, 1733eqtr4d 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
175159, 174eqtr3d 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
176175adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
177156adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
178157adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
179114adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
180 ccatcl 13772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
181178, 179, 180syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
182 ccatcl 13772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
183117, 166, 182syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
184183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
185167adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
186 ccatcl 13772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
187184, 185, 186syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
188123adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
189 ccatlen 13773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) = ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉”⟩)))
190117, 166, 189syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) = ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉”⟩)))
191 s1len 13804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1)
193128, 192oveq12d 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉”⟩)) = (𝑄 + 1))
194190, 193eqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) = (𝑄 + 1))
195126, 194eqeq12d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) ↔ 𝑃 = (𝑄 + 1)))
196195biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)))
197 s1len 13804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘⟨“𝑈”⟩) = 1
198 s1len 13804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩) = 1
199197, 198eqtr4i 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (♯‘⟨“𝑈”⟩) = (♯‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩)
200199a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (♯‘⟨“𝑈”⟩) = (♯‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩))
201196, 200oveq12d 7037 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈”⟩)) = ((♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) + (♯‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
202108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
203154adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
204 ccatlen 13773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘(((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = ((♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈”⟩)))
205202, 203, 204syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (♯‘(((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = ((♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈”⟩)))
206 ccatlen 13773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)) = ((♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) + (♯‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
207184, 185, 206syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (♯‘((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)) = ((♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) + (♯‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
208201, 205, 2073eqtr4d 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (♯‘(((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = (♯‘((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
209 ccatopth 13914 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘(((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = (♯‘((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩))) → (((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∧ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
210177, 181, 187, 188, 208, 209syl221anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∧ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
211176, 210mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∧ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
212211simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩))
213 ccatopth 13914 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩))) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∧ ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
214202, 203, 184, 185, 196, 213syl221anc 1374 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∧ ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
215212, 214mpbid 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∧ ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩))
216215simpld 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐴𝐾) prefix 𝑃) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩))
217216oveq1d 7034 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
218117adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
219166adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
220 ccatass 13786 . . . . . . . . 9 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
221218, 219, 179, 220syl3anc 1364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
222215simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)
223 s111 13813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2o)) → (⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ↔ 𝑈 = (𝑀𝑉)))
22485, 100, 223syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ↔ 𝑈 = (𝑀𝑉)))
225224adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ↔ 𝑈 = (𝑀𝑉)))
226222, 225mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → 𝑈 = (𝑀𝑉))
227226fveq2d 6545 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (𝑀𝑈) = (𝑀‘(𝑀𝑉)))
2288efgmnvl 18567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝑀𝑉)) = 𝑉)
22996, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑉)) = 𝑉)
230229adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (𝑀‘(𝑀𝑉)) = 𝑉)
231227, 230eqtrd 2830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (𝑀𝑈) = 𝑉)
232231s1eqd 13799 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“(𝑀𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉”⟩)
233232oveq1d 7034 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
234211simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
235233, 234eqtr3d 2832 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
236235oveq2d 7035 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
237217, 221, 2363eqtrd 2834 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
23883, 237mtand 812 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 = (𝑄 + 1))
239238pm2.21d 121 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 = (𝑄 + 1) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
240 elfzelz 12758 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) → 𝑄 ∈ ℤ)
24171, 240syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
242241zcnd 11938 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
243 1cnd 10485 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
244242, 243, 243addassd 10512 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) = (𝑄 + (1 + 1)))
245 df-2 11550 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
246245oveq2i 7030 . . . . . . . . 9 (𝑄 + 2) = (𝑄 + (1 + 1))
247244, 246syl6eqr 2848 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) = (𝑄 + 2))
248247fveq2d 6545 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘((𝑄 + 1) + 1)) = (ℤ‘(𝑄 + 2)))
249248eleq2d 2867 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘((𝑄 + 1) + 1)) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))))
2503, 7, 8, 9, 10, 11efgsfo 18592 . . . . . . . . . 10 𝑆:dom 𝑆onto𝑊
251 swrdcl 13843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
25237, 251syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
253 ccatcl 13772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
254117, 252, 253syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
2553efgrcl 18568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
25636, 255syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
257256simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
258254, 257eleqtrrd 2885 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ 𝑊)
259 foelrn 6738 . . . . . . . . . 10 ((𝑆:dom 𝑆onto𝑊 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ 𝑊) → ∃𝑐 ∈ dom 𝑆(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))
260250, 258, 259sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ dom 𝑆(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))
261260adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) → ∃𝑐 ∈ dom 𝑆(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))
26220ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
2636ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
26421ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
26522ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
26623ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
26738ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
26871ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
26985ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
27096ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
27184ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
27295ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
2732ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
274 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
275 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑐 ∈ dom 𝑆)
276 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))
277276eqcomd 2800 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (𝑆𝑐) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
2783, 7, 8, 9, 10, 11, 262, 263, 264, 265, 266, 19, 57, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 277efgredlemd 18597 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
279261, 278rexlimddv 3253 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
280279ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
281249, 280sylbid 241 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘((𝑄 + 1) + 1)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
282239, 281jaod 854 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 = (𝑄 + 1) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘((𝑄 + 1) + 1))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
283153, 282syl5 34 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
284152, 283jaod 854 . 2 (𝜑 → ((𝑃 = 𝑄𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
2851, 284syl5 34 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ𝑄) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  ∀wral 3104  ∃wrex 3105  {crab 3108  Vcvv 3436   ∖ cdif 3858  ∅c0 4213  {csn 4474  ⟨cop 4480  ⟨cotp 4482  ∪ ciun 4827   class class class wbr 4964   ↦ cmpt 5043   I cid 5350   × cxp 5444  dom cdm 5446  ran crn 5447  ⟶wf 6224  –onto→wfo 6226  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019   ∈ cmpo 7021  1oc1o 7949  2oc2o 7950  0cc0 10386  1c1 10387   + caddc 10389   < clt 10524   − cmin 10719  ℕcn 11488  2c2 11542  ℕ0cn0 11747  ℤcz 11831  ℤ≥cuz 12093  ...cfz 12742  ..^cfzo 12883  ♯chash 13540  Word cword 13707   ++ cconcat 13768  ⟨“cs1 13793   substr csubstr 13838   prefix cpfx 13868   splice csplice 13947  ⟨“cs2 14039   ~FG cefg 18559 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-ot 4483  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708  df-concat 13769  df-s1 13794  df-substr 13839  df-pfx 13869  df-splice 13948  df-s2 14046 This theorem is referenced by:  efgredlemb  18599
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