Theorem efgredlemc 19665

Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 19651 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
efgredlem.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k	⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l	⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))))
efgredlemb.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))))
efgredlemb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.6	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴‘𝐾))𝑈))
efgredlemb.7	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵‘𝐿))𝑉))
efgredlemb.8	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘𝐾) = (𝐵‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
efgredlemc	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑄) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemc

Dummy variables 𝑐 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12867	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑄) → (𝑃 = 𝑄 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))))
2		efgredlemb.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘𝐾) = (𝐵‘𝐿))
3		efgval.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4		fviss 6962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
5	3, 4	eqsstri 4011	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
6		efgredlem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
7		efgval.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
8		efgval2.m	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
9		efgval2.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
10		efgred.d	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
11		efgred.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
12	3, 7, 8, 9, 10, 11	efgsdm 19650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
13	12	simp1bi 1142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
14	6, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
15	14	eldifad 3955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
16		wrdf 14475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
18		fzossfz 13657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐴) − 1))
19		efgredlemb.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
20		efgredlem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
21		efgredlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
22		efgredlem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
23		efgredlem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
24	3, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 6, 21, 22, 23	efgredlema 19660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
25	24	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
26		fzo0end 13730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
28	19, 27	eqeltrid 2831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
29	18, 28	sselid 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
30		lencl 14489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
31	15, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 12588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
33		fzoval 13639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
35	29, 34	eleqtrrd 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
36	17, 35	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊)
37	5, 36	sselid 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o))
38		efgredlemb.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))))
39		lencl 14489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ ℕ0)
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ ℕ0)
41		nn0uz 12868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
42	40, 41	eleqtrdi 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ (ℤ≥‘0))
43		eluzfz2 13515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))))
45		ccatpfx 14657	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))) ∧ (♯‘(𝐴‘𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾)))) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((𝐴‘𝐾) prefix (♯‘(𝐴‘𝐾))))
46	37, 38, 44, 45	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((𝐴‘𝐾) prefix (♯‘(𝐴‘𝐾))))
47		pfxid 14640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴‘𝐾) prefix (♯‘(𝐴‘𝐾))) = (𝐴‘𝐾))
48	37, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) prefix (♯‘(𝐴‘𝐾))) = (𝐴‘𝐾))
49	46, 48	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝐴‘𝐾))
50	3, 7, 8, 9, 10, 11	efgsdm 19650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
51	50	simp1bi 1142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
52	21, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
53	52	eldifad 3955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑊)
54		wrdf 14475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
56		fzossfz 13657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐵) − 1))
57		efgredlemb.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
58	24	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
59		fzo0end 13730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
61	57, 60	eqeltrid 2831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
62	56, 61	sselid 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...((♯‘𝐵) − 1)))
63		lencl 14489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
64	53, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
65	64	nn0zd 12588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
66		fzoval 13639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
68	62, 67	eleqtrrd 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
69	55, 68	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊)
70	5, 69	sselid 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o))
71		efgredlemb.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))))
72		lencl 14489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵‘𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ ℕ0)
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ ℕ0)
74	73, 41	eleqtrdi 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ (ℤ≥‘0))
75		eluzfz2 13515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))))
77		ccatpfx 14657	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵‘𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))) ∧ (♯‘(𝐵‘𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿)))) → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)) = ((𝐵‘𝐿) prefix (♯‘(𝐵‘𝐿))))
78	70, 71, 76, 77	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)) = ((𝐵‘𝐿) prefix (♯‘(𝐵‘𝐿))))
79		pfxid 14640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵‘𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵‘𝐿) prefix (♯‘(𝐵‘𝐿))) = (𝐵‘𝐿))
80	70, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘𝐿) prefix (♯‘(𝐵‘𝐿))) = (𝐵‘𝐿))
81	78, 80	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)) = (𝐵‘𝐿))
82	49, 81	eqeq12d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)) ↔ (𝐴‘𝐾) = (𝐵‘𝐿)))
83	2, 82	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
84		efgredlemb.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴‘𝐾))𝑈))
85		efgredlemb.u	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
86	3, 7, 8, 9	efgtval 19643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑃(𝑇‘(𝐴‘𝐾))𝑈) = ((𝐴‘𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩⟩))
87	36, 38, 85, 86	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑇‘(𝐴‘𝐾))𝑈) = ((𝐴‘𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩⟩))
88	8	efgmf 19633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
89	88	ffvelcdmi 7079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘𝑈) ∈ (𝐼 × 2o))
90	85, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑈) ∈ (𝐼 × 2o))
91	85, 90	s2cld 14828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
92		splval 14707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))) ∧ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝐴‘𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)))
93	36, 38, 38, 91, 92	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)))
94	84, 87, 93	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)))
95		efgredlemb.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵‘𝐿))𝑉))
96		efgredlemb.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
97	3, 7, 8, 9	efgtval 19643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊 ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑄(𝑇‘(𝐵‘𝐿))𝑉) = ((𝐵‘𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩⟩))
98	69, 71, 96, 97	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝐵‘𝐿))𝑉) = ((𝐵‘𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩⟩))
99	88	ffvelcdmi 7079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑉 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘𝑉) ∈ (𝐼 × 2o))
100	96, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑉) ∈ (𝐼 × 2o))
101	96, 100	s2cld 14828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
102		splval 14707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵‘𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))) ∧ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝐵‘𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
103	69, 71, 71, 101, 102	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
104	95, 98, 103	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
105	22, 94, 104	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
107		pfxcl 14633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
108	37, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
110	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
111		ccatcl 14530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
112	109, 110, 111	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
113		swrdcl 14601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
114	37, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
116		pfxcl 14633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵‘𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
117	70, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
118	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
119	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
120		ccatcl 14530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
121	118, 119, 120	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
122		swrdcl 14601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵‘𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
123	70, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
124	123	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
125		pfxlen 14639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾)))) → (♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) = 𝑃)
126	37, 38, 125	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) = 𝑃)
127		pfxlen 14639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵‘𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿)))) → (♯‘((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄)) = 𝑄)
128	70, 71, 127	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄)) = 𝑄)
129	126, 128	eqeq12d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄)) ↔ 𝑃 = 𝑄))
130	129	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → (♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄)))
131		s2len 14846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) = 2
132		s2len 14846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) = 2
133	131, 132	eqtr4i 2757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) = (♯‘⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩)
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → (♯‘⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) = (♯‘⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩))
135	130, 134	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩)) = ((♯‘((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩)))
136		ccatlen 14531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘(((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩)) = ((♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩)))
137	109, 110, 136	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → (♯‘(((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩)) = ((♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩)))
138		ccatlen 14531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩)) = ((♯‘((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩)))
139	118, 119, 138	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → (♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩)) = ((♯‘((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩)))
140	135, 137, 139	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → (♯‘(((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩)) = (♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩)))
141		ccatopth 14672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘(((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩)) = (♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩))) → (((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ∧ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) = ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩))))
142	112, 115, 121, 124, 140, 141	syl221anc 1378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ∧ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) = ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩))))
143	106, 142	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ∧ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) = ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
144	143	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩))
145		ccatopth 14672	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄))) → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) = ((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∧ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩)))
146	109, 110, 118, 119, 130, 145	syl221anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) = ((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∧ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩)))
147	144, 146	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) = ((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∧ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩))
148	147	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) = ((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄))
149	143	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) = ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩))
150	148, 149	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
151	83, 150	mtand 813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 = 𝑄)
152	151	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 = 𝑄 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
153		uzp1 12867	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1)) → (𝑃 = (𝑄 + 1) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘((𝑄 + 1) + 1))))
154	85	s1cld 14559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
155		ccatcl 14530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
156	108, 154, 155	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
157	90	s1cld 14559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
158		ccatass 14544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩))))
159	156, 157, 114, 158	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩))))
160		ccatass 14544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩) = (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩)))
161	108, 154, 157, 160	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩) = (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩)))
162		df-s2 14805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩ = (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩)
163	162	oveq2i 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) = (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩))
164	161, 163	eqtr4di 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩) = (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩))
165	164	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)))
166	96	s1cld 14559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
167	100	s1cld 14559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
168		ccatass 14544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)))
169	117, 166, 167, 168	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)))
170		df-s2 14805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩ = (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)
171	170	oveq2i 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩))
172	169, 171	eqtr4di 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩))
173	172	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
174	105, 165, 173	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
175	159, 174	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩))) = (((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
176	175	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩))) = (((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
177	156	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
178	157	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
179	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
180		ccatcl 14530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
181	178, 179, 180	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
182		ccatcl 14530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
183	117, 166, 182	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
184	183	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
185	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
186		ccatcl 14530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
187	184, 185, 186	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
188	123	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
189		ccatlen 14531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) = ((♯‘((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉”⟩)))
190	117, 166, 189	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) = ((♯‘((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉”⟩)))
191		s1len 14562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1
192	191	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1)
193	128, 192	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘⟨“𝑉”⟩)) = (𝑄 + 1))
194	190, 193	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) = (𝑄 + 1))
195	126, 194	eqeq12d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) ↔ 𝑃 = (𝑄 + 1)))
196	195	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)))
197		s1len 14562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘⟨“𝑈”⟩) = 1
198		s1len 14562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) = 1
199	197, 198	eqtr4i 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘⟨“𝑈”⟩) = (♯‘⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)
200	199	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (♯‘⟨“𝑈”⟩) = (♯‘⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩))
201	196, 200	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈”⟩)) = ((♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) + (♯‘⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)))
202	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
203	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
204		ccatlen 14531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘(((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = ((♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈”⟩)))
205	202, 203, 204	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (♯‘(((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = ((♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) + (♯‘⟨“𝑈”⟩)))
206		ccatlen 14531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)) = ((♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) + (♯‘⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)))
207	184, 185, 206	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (♯‘((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)) = ((♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩)) + (♯‘⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)))
208	201, 205, 207	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (♯‘(((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = (♯‘((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)))
209		ccatopth 14672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘(((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = (♯‘((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩))) → (((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩))) = (((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ∧ (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩))))
210	177, 181, 187, 188, 208, 209	syl221anc 1378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩))) = (((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ∧ (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩))))
211	176, 210	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ∧ (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
212	211	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩))
213		ccatopth 14672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃)) = (♯‘(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩))) → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∧ ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)))
214	202, 203, 184, 185, 196, 213	syl221anc 1378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∧ ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)))
215	212, 214	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∧ ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩))
216	215	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩))
217	216	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)))
218	117	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
219	166	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
220		ccatass 14544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩))))
221	218, 219, 179, 220	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩))))
222	215	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩)
223		s111 14571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝐼 × 2o) ∧ (𝑀‘𝑉) ∈ (𝐼 × 2o)) → (⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩ ↔ 𝑈 = (𝑀‘𝑉)))
224	85, 100, 223	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩ ↔ 𝑈 = (𝑀‘𝑉)))
225	224	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀‘𝑉)”⟩ ↔ 𝑈 = (𝑀‘𝑉)))
226	222, 225	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → 𝑈 = (𝑀‘𝑉))
227	226	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (𝑀‘𝑈) = (𝑀‘(𝑀‘𝑉)))
228	8	efgmnvl 19634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝑀‘𝑉)) = 𝑉)
229	96, 228	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝑉)) = 𝑉)
230	229	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (𝑀‘(𝑀‘𝑉)) = 𝑉)
231	227, 230	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (𝑀‘𝑈) = 𝑉)
232	231	s1eqd 14557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉”⟩)
233	232	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)))
234	211	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“(𝑀‘𝑈)”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩))
235	233, 234	eqtr3d 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩))
236	235	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩))) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
237	217, 221, 236	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴‘𝐾) prefix 𝑃) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵‘𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵‘𝐿))⟩)))
238	83, 237	mtand 813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 = (𝑄 + 1))
239	238	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 = (𝑄 + 1) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
240	71	elfzelzd 13508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
241	240	zcnd 12671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
242		1cnd 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
243	241, 242, 242	addassd 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) = (𝑄 + (1 + 1)))
244		df-2 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
245	244	oveq2i 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 + 2) = (𝑄 + (1 + 1))
246	243, 245	eqtr4di 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) = (𝑄 + 2))
247	246	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑄 + 1) + 1)) = (ℤ≥‘(𝑄 + 2)))
248	247	eleq2d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘((𝑄 + 1) + 1)) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))))
249	3, 7, 8, 9, 10, 11	efgsfo 19659	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆:dom 𝑆–onto→𝑊
250		swrdcl 14601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴‘𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
251	37, 250	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
252		ccatcl 14530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
253	117, 251, 252	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
254	3	efgrcl 19635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴‘𝐾) ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
255	36, 254	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
256	255	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
257	253, 256	eleqtrrd 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) ∈ 𝑊)
258		foelrn 7102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆:dom 𝑆–onto→𝑊 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) ∈ 𝑊) → ∃𝑐 ∈ dom 𝑆(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))
259	249, 257, 258	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ dom 𝑆(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))
260	259	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) → ∃𝑐 ∈ dom 𝑆(((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))
261	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
262	6	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
263	21	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
264	22	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
265	23	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
266	38	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘𝐾))))
267	71	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘𝐿))))
268	85	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
269	96	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
270	84	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → (𝑆‘𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴‘𝐾))𝑈))
271	95	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → (𝑆‘𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵‘𝐿))𝑉))
272	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → ¬ (𝐴‘𝐾) = (𝐵‘𝐿))
273		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2)))
274		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → 𝑐 ∈ dom 𝑆)
275		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))
276	275	eqcomd 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → (𝑆‘𝑐) = (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)))
277	3, 7, 8, 9, 10, 11, 261, 262, 263, 264, 265, 19, 57, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 276	efgredlemd 19664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵‘𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴‘𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴‘𝐾))⟩)) = (𝑆‘𝑐))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
278	260, 277	rexlimddv 3155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
279	278	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 2)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
280	248, 279	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘((𝑄 + 1) + 1)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
281	239, 280	jaod 856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 = (𝑄 + 1) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘((𝑄 + 1) + 1))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
282	153, 281	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
283	152, 282	jaod 856	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 = 𝑄 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
284	1, 283	syl5 34	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘𝑄) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   ∖ cdif 3940  ∅c0 4317  {csn 4623  ⟨cop 4629  ⟨cotp 4631  ∪ ciun 4990   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   × cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1_oc1o 8460  2_oc2o 8461  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   − cmin 11448  ℕcn 12216  2c2 12271  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  ♯chash 14295  Word cword 14470   ++ cconcat 14526  ⟨“cs1 14551   substr csubstr 14596   prefix cpfx 14626   splice csplice 14705  ⟨“cs2 14798   ~_FG cefg 19626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-s2 14805

This theorem is referenced by:  efgredlemb  19666