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Theorem fourierdlem64 40860
Description: The partition 𝑉 is finer than 𝑄, when 𝑄 is moved on the same interval where 𝑉 lies. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem64.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem64.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem64.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem64.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem64.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem64.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem64.cltd (𝜑𝐶 < 𝐷)
fourierdlem64.h 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem64.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem64.v 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem64.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem64.l 𝐿 = sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < )
fourierdlem64.i 𝐼 = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem64 (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝐶,𝑚,𝑝   𝑦,𝐶   𝐷,𝑚,𝑝   𝑦,𝐷   𝑓,𝐻   𝑗,𝐻   𝑦,𝐻   𝑖,𝐼,𝑘,𝑦   𝑗,𝐼,𝑘   𝐼,𝑙,𝑖   𝑗,𝐽,𝑘   𝑖,𝐽,𝑙   𝑗,𝐿,𝑘   𝐿,𝑙   𝑦,𝐿   𝑗,𝑀,𝑘   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑓,𝑁   𝑖,𝑁,𝑚,𝑝   𝑗,𝑁   𝑦,𝑁   𝑄,𝑗,𝑘   𝑄,𝑖,𝑦   𝑄,𝑙   𝑄,𝑝   𝑇,𝑗,𝑘   𝑇,𝑖,𝑦   𝑇,𝑙   𝑗,𝑉,𝑘   𝑓,𝑉   𝑖,𝑉,𝑦   𝑉,𝑙   𝑉,𝑝   𝜑,𝑓   𝜑,𝑖,𝑘   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑚,𝑝,𝑙)   𝐴(𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑙)   𝐵(𝑦,𝑓,𝑗,𝑘,𝑙)   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙)   𝐷(𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙)   𝑃(𝑦,𝑓,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝,𝑙)   𝑄(𝑓,𝑚)   𝑇(𝑓,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝,𝑙)   𝐼(𝑓,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑦,𝑓,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑓,𝑙)   𝑁(𝑘,𝑙)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem64
Dummy variables 𝑥 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem64.i . . 3 𝐼 = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < )
2 ssrab2 3878 . . . 4 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ (0..^𝑀)
3 fzossfz 12706 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
4 fzssz 12560 . . . . . . . 8 (0...𝑀) ⊆ ℤ
53, 4sstri 3801 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ⊆ ℤ
62, 5sstri 3801 . . . . . 6 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℤ
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℤ)
8 0zd 11649 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
9 fourierdlem64.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 11741 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
119nngt0d 11344 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑀)
12 fzolb 12694 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
138, 10, 11, 12syl3anbrc 1436 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
14 fourierdlem64.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < )
15 ssrab2 3878 . . . . . . . . . . . 12 {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℤ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℤ)
17 fourierdlem64.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
18 fourierdlem64.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
19 fourierdlem64.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
20 prssi 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → {𝐶, 𝐷} ⊆ ℝ)
2118, 19, 20syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → {𝐶, 𝐷} ⊆ ℝ)
22 ssrab2 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} ⊆ (𝐶[,]𝐷)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} ⊆ (𝐶[,]𝐷))
2418, 19iccssred 40205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
2523, 24sstrd 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} ⊆ ℝ)
2621, 25unssd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) ⊆ ℝ)
2717, 26syl5eqss 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
28 fourierdlem64.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑇 = (𝐵𝐴)
29 fourierdlem64.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
30 fourierdlem64.q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
31 fourierdlem64.cltd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐶 < 𝐷)
32 eqid 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
33 fourierdlem64.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
34 fourierdlem64.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
3528, 29, 9, 30, 18, 19, 31, 32, 17, 33, 34fourierdlem54 40850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑁)) ∧ 𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
3635simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
37 isof1o 6791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) → 𝑉:(0...𝑁)–1-1-onto𝐻)
38 f1of 6347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑉:(0...𝑁)–1-1-onto𝐻𝑉:(0...𝑁)⟶𝐻)
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑉:(0...𝑁)⟶𝐻)
40 fourierdlem64.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
41 elfzofz 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
4339, 42ffvelrnd 6576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑉𝐽) ∈ 𝐻)
4427, 43sseldd 3793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑉𝐽) ∈ ℝ)
4529fourierdlem2 40799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
469, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
4730, 46mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
4847simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
49 elmapi 8108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
519nnnn0d 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
52 nn0uz 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 = (ℤ‘0)
5351, 52syl6eleq 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
54 eluzfz1 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
5650, 55ffvelrnd 6576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
5744, 56resubcld 10737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) ∈ ℝ)
5829, 9, 30fourierdlem11 40808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
5958simp2d 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6058simp1d 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6159, 60resubcld 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
6228, 61syl5eqel 2885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
6358simp3d 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6460, 59posdifd 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
6563, 64mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
6665, 28syl6breqr 4879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < 𝑇)
6766gt0ne0d 10871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑇 ≠ 0)
6857, 62, 67redivcld 11132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) ∈ ℝ)
69 btwnz 11739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) ∈ ℝ → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) < 𝑧))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) < 𝑧))
7170simpld 484 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇))
72 zre 11641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
7356ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
74 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7562ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
7773, 76readdcld 10348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7844ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → (𝑉𝐽) ∈ ℝ)
79 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇))
8057ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → ((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) ∈ ℝ)
8162, 66elrpd 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
8281ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
8374, 80, 82ltmuldivd 12127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → ((𝑘 · 𝑇) < ((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) ↔ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)))
8479, 83mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) < ((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)))
8556adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
86 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
8762adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
8886, 87remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
8944adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (𝑉𝐽) ∈ ℝ)
9085, 88, 89ltaddsub2d 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑉𝐽) ↔ (𝑘 · 𝑇) < ((𝑉𝐽) − (𝑄‘0))))
9190adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → (((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑉𝐽) ↔ (𝑘 · 𝑇) < ((𝑉𝐽) − (𝑄‘0))))
9284, 91mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑉𝐽))
9377, 78, 92ltled 10464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
9493ex 399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) → ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
9572, 94sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) → ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
9695reximdva 3200 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝑘 < (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
9771, 96mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
98 rabn0 4152 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
9997, 98sylibr 225 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ≠ ∅)
100 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}) → 𝜑)
10116sselda 3792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}) → 𝑗 ∈ ℤ)
102 oveq1 6875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
103102oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)))
104103breq1d 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽) ↔ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
105104elrab 3555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
106105simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} → ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
107106adantl 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}) → ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
108 zre 11641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
109 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
11056ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
111 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
11262adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
113111, 112remulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
114113adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
11544ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (𝑉𝐽) ∈ ℝ)
116110, 114, 115leaddsub2d 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽) ↔ (𝑗 · 𝑇) ≤ ((𝑉𝐽) − (𝑄‘0))))
117109, 116mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (𝑗 · 𝑇) ≤ ((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)))
118 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → 𝑗 ∈ ℝ)
11957ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → ((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) ∈ ℝ)
12081ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
121118, 119, 120lemuldivd 12129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → ((𝑗 · 𝑇) ≤ ((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) ↔ 𝑗 ≤ (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)))
122117, 121mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → 𝑗 ≤ (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇))
123108, 122sylanl2 663 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ ((𝑄‘0) + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → 𝑗 ≤ (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇))
124100, 101, 107, 123syl21anc 857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}) → 𝑗 ≤ (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇))
125124ralrimiva 3150 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑗 ≤ (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇))
126 breq2 4841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) → (𝑗𝑏𝑗 ≤ (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)))
127126ralbidv 3170 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) → (∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑗𝑏 ↔ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑗 ≤ (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)))
128127rspcev 3498 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑗 ≤ (((𝑉𝐽) − (𝑄‘0)) / 𝑇)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑗𝑏)
12968, 125, 128syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑗𝑏)
130 suprzcl 11717 . . . . . . . . . . 11 (({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℤ ∧ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑗𝑏) → sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)})
13116, 99, 129, 130syl3anc 1483 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)})
13214, 131syl5eqel 2885 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)})
133 oveq1 6875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐿 → (𝑘 · 𝑇) = (𝐿 · 𝑇))
134133oveq2d 6884 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐿 → ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘0) + (𝐿 · 𝑇)))
135134breq1d 4847 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐿 → (((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽) ↔ ((𝑄‘0) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
136135elrab 3555 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ ((𝑄‘0) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
137132, 136sylib 209 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℤ ∧ ((𝑄‘0) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
138137simprd 485 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄‘0) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
139 fveq2 6402 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 0 → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
140139oveq1d 6883 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 → ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) = ((𝑄‘0) + (𝐿 · 𝑇)))
141140breq1d 4847 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → (((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽) ↔ ((𝑄‘0) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
142141elrab 3555 . . . . . . 7 (0 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑄‘0) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
14313, 138, 142sylanbrc 574 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)})
144 ne0i 4116 . . . . . 6 (0 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ≠ ∅)
145143, 144syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ≠ ∅)
1469nnred 11314 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1472a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ (0..^𝑀))
148147sselda 3792 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
149 elfzoelz 12688 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
150149zred 11742 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
151150adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
152146adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
153 elfzolt2 12697 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑀) → 𝑘 < 𝑀)
154153adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑘 < 𝑀)
155151, 152, 154ltled 10464 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑘𝑀)
156148, 155syldan 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}) → 𝑘𝑀)
157156ralrimiva 3150 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑘𝑀)
158 breq2 4841 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑀 → (𝑘𝑏𝑘𝑀))
159158ralbidv 3170 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑘𝑏 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑘𝑀))
160159rspcev 3498 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑘𝑀) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑘𝑏)
161146, 157, 160syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑘𝑏)
162 suprzcl 11717 . . . . 5 (({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℤ ∧ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑘𝑏) → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)})
1637, 145, 161, 162syl3anc 1483 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)})
1642, 163sseldi 3790 . . 3 (𝜑 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
1651, 164syl5eqel 2885 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
16615, 131sseldi 3790 . . 3 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
16714, 166syl5eqel 2885 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
1683, 165sseldi 3790 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
16950, 168ffvelrnd 6576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
170167zred 11742 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
171170, 62remulcld 10349 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿 · 𝑇) ∈ ℝ)
172169, 171readdcld 10348 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ)
173172rexrd 10368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
174173adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
175 fzofzp1 12783 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
176165, 175syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
17750, 176ffvelrnd 6576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
178177, 171readdcld 10348 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ)
179178rexrd 10368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
180179adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
181 elioore 12417 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
182181adantl 469 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
183172adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ)
18444adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑉𝐽) ∈ ℝ)
1851, 163syl5eqel 2885 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)})
186 fveq2 6402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐼 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝐼))
187186oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐼 → ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) = ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)))
188187breq1d 4847 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐼 → (((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽) ↔ ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
189188elrab 3555 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
190185, 189sylib 209 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
191190simprd 485 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
192191adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
193184rexrd 10368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑉𝐽) ∈ ℝ*)
194 fzofzp1 12783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
19540, 194syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
19639, 195ffvelrnd 6576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∈ 𝐻)
19727, 196sseldd 3793 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
198197rexrd 10368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
199198adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
200 simpr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))))
201 ioogtlb 40195 . . . . . . . 8 (((𝑉𝐽) ∈ ℝ* ∧ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑉𝐽) < 𝑥)
202193, 199, 200, 201syl3anc 1483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑉𝐽) < 𝑥)
203183, 184, 182, 192, 202lelttrd 10474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝑥)
204 zssre 11644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ ⊆ ℝ
20515, 204sstri 3801 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℝ
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℝ)
20799ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ≠ ∅)
208129ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑗𝑏)
209167peano2zd 11745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℤ)
210209ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (𝐿 + 1) ∈ ℤ)
211 oveq1 6875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼 = (𝑀 − 1) → (𝐼 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
212146recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
213 1cnd 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
214212, 213npcand 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
215211, 214sylan9eqr 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) → (𝐼 + 1) = 𝑀)
216215fveq2d 6406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑄𝑀))
21747simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
218217simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
219218simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
220219adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) → (𝑄𝑀) = 𝐵)
22159recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
22260recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
223221, 222npcand 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
224223eqcomd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 = ((𝐵𝐴) + 𝐴))
22528eqcomi 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵𝐴) = 𝑇
226225a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
227226oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = (𝑇 + 𝐴))
228218simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
229228eqcomd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
230229oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑇 + 𝐴) = (𝑇 + (𝑄‘0)))
231224, 227, 2303eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐵 = (𝑇 + (𝑄‘0)))
232231adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) → 𝐵 = (𝑇 + (𝑄‘0)))
233216, 220, 2323eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑇 + (𝑄‘0)))
23462recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
235228, 222eqeltrd 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℂ)
236234, 235addcomd 10517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑇 + (𝑄‘0)) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
237236adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) → (𝑇 + (𝑄‘0)) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
238233, 237eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = ((𝑄‘0) + 𝑇))
239238oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) = (((𝑄‘0) + 𝑇) + (𝐿 · 𝑇)))
240171recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 · 𝑇) ∈ ℂ)
241235, 234, 240addassd 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝑄‘0) + 𝑇) + (𝐿 · 𝑇)) = ((𝑄‘0) + (𝑇 + (𝐿 · 𝑇))))
242234mulid2d 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (1 · 𝑇) = 𝑇)
243242, 234eqeltrd 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 · 𝑇) ∈ ℂ)
244243, 240addcomd 10517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((1 · 𝑇) + (𝐿 · 𝑇)) = ((𝐿 · 𝑇) + (1 · 𝑇)))
245242eqcomd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑇 = (1 · 𝑇))
246245oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑇 + (𝐿 · 𝑇)) = ((1 · 𝑇) + (𝐿 · 𝑇)))
247170recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
248247, 213, 234adddird 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐿 + 1) · 𝑇) = ((𝐿 · 𝑇) + (1 · 𝑇)))
249244, 246, 2483eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑇 + (𝐿 · 𝑇)) = ((𝐿 + 1) · 𝑇))
250249oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑄‘0) + (𝑇 + (𝐿 · 𝑇))) = ((𝑄‘0) + ((𝐿 + 1) · 𝑇)))
251241, 250eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑄‘0) + 𝑇) + (𝐿 · 𝑇)) = ((𝑄‘0) + ((𝐿 + 1) · 𝑇)))
252251adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) → (((𝑄‘0) + 𝑇) + (𝐿 · 𝑇)) = ((𝑄‘0) + ((𝐿 + 1) · 𝑇)))
253239, 252eqtr2d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) → ((𝑄‘0) + ((𝐿 + 1) · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
254253adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → ((𝑄‘0) + ((𝐿 + 1) · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
255 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
256254, 255eqbrtrd 4859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → ((𝑄‘0) + ((𝐿 + 1) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
257 oveq1 6875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝐿 + 1) → (𝑘 · 𝑇) = ((𝐿 + 1) · 𝑇))
258257oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝐿 + 1) → ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘0) + ((𝐿 + 1) · 𝑇)))
259258breq1d 4847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝐿 + 1) → (((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽) ↔ ((𝑄‘0) + ((𝐿 + 1) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
260259elrab 3555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 + 1) ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ↔ ((𝐿 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑄‘0) + ((𝐿 + 1) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
261210, 256, 260sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (𝐿 + 1) ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)})
262 suprub 11263 . . . . . . . . . . . . . 14 ((({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℝ ∧ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑗𝑏) ∧ (𝐿 + 1) ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}) → (𝐿 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ))
263206, 207, 208, 261, 262syl31anc 1485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (𝐿 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ))
264263, 14syl6breqr 4879 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (𝐿 + 1) ≤ 𝐿)
265170ltp1d 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 < (𝐿 + 1))
266 peano2re 10488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ ℝ → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
267170, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
268170, 267ltnled 10463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿 < (𝐿 + 1) ↔ ¬ (𝐿 + 1) ≤ 𝐿))
269265, 268mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ (𝐿 + 1) ≤ 𝐿)
270269ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → ¬ (𝐿 + 1) ≤ 𝐿)
271264, 270pm2.65da 842 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐼 = (𝑀 − 1)) → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
2725, 165sseldi 3790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
273272zred 11742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
274273adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = (𝑀 − 1)) → 𝐼 ∈ ℝ)
275 peano2rem 10627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
276146, 275syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
277276adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
278 elfzolt2 12697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 < 𝑀)
279 elfzoelz 12688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
280 elfzoel2 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
281 zltlem1 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑀𝐼 ≤ (𝑀 − 1)))
282279, 280, 281syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 < 𝑀𝐼 ≤ (𝑀 − 1)))
283278, 282mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ≤ (𝑀 − 1))
284165, 283syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ≤ (𝑀 − 1))
285284adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = (𝑀 − 1)) → 𝐼 ≤ (𝑀 − 1))
286 neqne 2982 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐼 = (𝑀 − 1) → 𝐼 ≠ (𝑀 − 1))
287286necomd 3029 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (𝑀 − 1) → (𝑀 − 1) ≠ 𝐼)
288287adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≠ 𝐼)
289274, 277, 285, 288leneltd 10470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = (𝑀 − 1)) → 𝐼 < (𝑀 − 1))
2906, 204sstri 3801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℝ
291290a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℝ)
292145ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ≠ ∅)
293161ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑘𝑏)
294176adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
295273adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) → 𝐼 ∈ ℝ)
296276adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
297 1red 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
298 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) → 𝐼 < (𝑀 − 1))
299295, 296, 297, 298ltadd1dd 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) → (𝐼 + 1) < ((𝑀 − 1) + 1))
300214adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
301299, 300breqtrd 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) → (𝐼 + 1) < 𝑀)
302 elfzfzo 39964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) < 𝑀))
303294, 301, 302sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
304303anim1i 604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
305 fveq2 6402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
306305oveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
307306breq1d 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝐼 + 1) → (((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽) ↔ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
308307elrab 3555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 + 1) ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
309304, 308sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)})
310 suprub 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ⊆ ℝ ∧ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}𝑘𝑏) ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ))
311291, 292, 293, 309, 310syl31anc 1485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ))
312311, 1syl6breqr 4879 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
313273ltp1d 11233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 < (𝐼 + 1))
314 peano2re 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
315273, 314syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
316273, 315ltnled 10463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐼 < (𝐼 + 1) ↔ ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼))
317313, 316mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
318317ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)) → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
319312, 318pm2.65da 842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐼 < (𝑀 − 1)) → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
320289, 319syldan 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = (𝑀 − 1)) → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
321271, 320pm2.61dan 838 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽))
32244, 178ltnled 10463 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ↔ ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
323321, 322mpbird 248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
324197adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
32519adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝐷 ∈ ℝ)
326178adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ)
32718rexrd 10368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
32819rexrd 10368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
32918, 19, 31ltled 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐶𝐷)
330 lbicc2 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷))
331327, 328, 329, 330syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷))
332 ubicc2 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷))
333327, 328, 329, 332syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷))
334331, 333jca 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∧ 𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷)))
335 prssg 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∧ 𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷)) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐶[,]𝐷)))
33618, 19, 335syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∧ 𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷)) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐶[,]𝐷)))
337334, 336mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐶[,]𝐷))
338337, 23unssd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) ⊆ (𝐶[,]𝐷))
33917, 338syl5eqss 3840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻 ⊆ (𝐶[,]𝐷))
340339, 196sseldd 3793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
341 iccleub 12441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐶[,]𝐷)) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐷)
342327, 328, 340, 341syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐷)
343342adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐷)
344 simpr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
345324, 325, 326, 343, 344letrd 10473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
346345adantlr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ 𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
347 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ¬ 𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
348178adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ)
34919adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝐷 ∈ ℝ)
350348, 349ltnled 10463 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))))
351347, 350mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷)
352351adantlr 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷)
353 simpll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) ∧ ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))))
354 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
355178adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ)
356197adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
357355, 356ltnled 10463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))))
358354, 357mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1)))
359358ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) ∧ ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1)))
36018ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ)
36119ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
362178ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ)
36318adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝐶 ∈ ℝ)
364178adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ)
36544adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉𝐽) ∈ ℝ)
366339, 43sseldd 3793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑉𝐽) ∈ (𝐶[,]𝐷))
367 iccgelb 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ* ∧ (𝑉𝐽) ∈ (𝐶[,]𝐷)) → 𝐶 ≤ (𝑉𝐽))
368327, 328, 366, 367syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐶 ≤ (𝑉𝐽))
369368adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝐶 ≤ (𝑉𝐽))
370 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
371363, 365, 364, 369, 370lelttrd 10474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝐶 < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
372363, 364, 371ltled 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝐶 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
373372adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → 𝐶 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
374178adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ)
37519adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
376 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷)
377374, 375, 376ltled 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ 𝐷)
378377adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ≤ 𝐷)
379360, 361, 362, 373, 378eliccd 40204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
380167znegcld 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → -𝐿 ∈ ℤ)
381247, 234mulneg1d 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (-𝐿 · 𝑇) = -(𝐿 · 𝑇))
382381oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (-𝐿 · 𝑇)) = (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + -(𝐿 · 𝑇)))
383178recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℂ)
384383, 240negsubd 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + -(𝐿 · 𝑇)) = (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) − (𝐿 · 𝑇)))
385177recnd 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℂ)
386385, 240pncand 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) − (𝐿 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
387382, 384, 3863eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (-𝐿 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
388 ffn 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
38950, 388syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
390 fnfvelrn 6572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
391389, 176, 390syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
392387, 391eqeltrd 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (-𝐿 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
393 oveq1 6875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = -𝐿 → (𝑘 · 𝑇) = (-𝐿 · 𝑇))
394393oveq2d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = -𝐿 → (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (-𝐿 · 𝑇)))
395394eleq1d 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = -𝐿 → ((((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (-𝐿 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
396395rspcev 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-𝐿 ∈ ℤ ∧ (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (-𝐿 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
397380, 392, 396syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
398397ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
399 oveq1 6875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
400399eleq1d 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
401400rexbidv 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
402401elrab 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} ↔ (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ (𝐶[,]𝐷) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
403379, 398, 402sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
404 elun2 3974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
405403, 404syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
40617eqcomi 2811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = 𝐻
407405, 406syl6eleq 2891 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ 𝐻)
408407adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) ∧ ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ 𝐻)
409 f1ofo 6354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉:(0...𝑁)–1-1-onto𝐻𝑉:(0...𝑁)–onto𝐻)
41036, 37, 4093syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉:(0...𝑁)–onto𝐻)
411 foelrn 6594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑉:(0...𝑁)–onto𝐻 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ 𝐻) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) = (𝑉𝑗))
412410, 411sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ 𝐻) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) = (𝑉𝑗))
413 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) = (𝑉𝑗) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) = (𝑉𝑗))
414413eqcomd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) = (𝑉𝑗) → (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
415414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ 𝐻) → (((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) = (𝑉𝑗) → (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))))
416415reximdv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ 𝐻) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) = (𝑉𝑗) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))))
417412, 416mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ 𝐻) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
418417ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ 𝐻) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
419 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
420413eqcoms 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) = (𝑉𝑗))
421420adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) = (𝑉𝑗))
422419, 421breqtrd 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉𝐽) < (𝑉𝑗))
423422adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉𝐽) < (𝑉𝑗))
424423adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉𝐽) < (𝑉𝑗))
42536ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
42642ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
427 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
428 isorel 6794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑉𝐽) < (𝑉𝑗)))
429425, 426, 427, 428syl12anc 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑉𝐽) < (𝑉𝑗)))
430424, 429mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝐽 < 𝑗)
431430adantllr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝐽 < 𝑗)
432 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
433 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1)))
434432, 433eqbrtrd 4859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉𝑗) < (𝑉‘(𝐽 + 1)))
435434adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉𝑗) < (𝑉‘(𝐽 + 1)))
436435adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉𝑗) < (𝑉‘(𝐽 + 1)))
43736ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
438 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
439195ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
440 isorel 6794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑉𝑗) < (𝑉‘(𝐽 + 1))))
441437, 438, 439, 440syl12anc 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑉𝑗) < (𝑉‘(𝐽 + 1))))
442436, 441mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
443442adantl3r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
444431, 443jca 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
445444ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) → (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
446445adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ 𝐻) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) → (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
447446reximdva 3200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ 𝐻) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑉𝑗) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
448418, 447mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < (𝑉‘(𝐽 + 1))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ 𝐻) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
449353, 359, 408, 448syl21anc 857 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) ∧ ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
450 elfzelz 12559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
451450ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
452 elfzelz 12559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 ∈ (0...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
45342, 452syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
454453ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
455 simprl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑗)
456 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
457 btwnnz 11713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
458454, 455, 456, 457syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
459451, 458pm2.65da 842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
460459nrexdv 3184 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
461460ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) ∧ ¬ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ¬ ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
462449, 461condan 843 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) < 𝐷) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
463352, 462syldan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝐷 ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
464346, 463pm2.61dan 838 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑉𝐽) < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
465323, 464mpdan 670 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
466465adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
467182adantr 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∧ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
468197ad2antrr 708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∧ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
469178ad2antrr 708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∧ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)) ∈ ℝ)
470 iooltub 40211 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝐽) ∈ ℝ* ∧ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑥 < (𝑉‘(𝐽 + 1)))
471193, 199, 200, 470syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑥 < (𝑉‘(𝐽 + 1)))
472471adantr 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∧ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝑥 < (𝑉‘(𝐽 + 1)))
473 simpr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∧ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
474467, 468, 469, 472, 473ltletrd 10476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∧ (𝑉‘(𝐽 + 1)) ≤ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
475466, 474mpdan 670 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
476174, 180, 182, 203, 475eliood 40198 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))))
477476ralrimiva 3150 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))𝑥 ∈ (((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))))
478 dfss3 3781 . . . 4 (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))𝑥 ∈ (((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))))
479477, 478sylibr 225 . . 3 (𝜑 → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))))
480 fveq2 6402 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝐼))
481480oveq1d 6883 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) = ((𝑄𝐼) + (𝑙 · 𝑇)))
482 oveq1 6875 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 + 1) = (𝐼 + 1))
483482fveq2d 6406 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
484483oveq1d 6883 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))
485481, 484oveq12d 6886 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))) = (((𝑄𝐼) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
486485sseq2d 3824 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 → (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))) ↔ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝐼) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))))
487 oveq1 6875 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑙 · 𝑇) = (𝐿 · 𝑇))
488487oveq2d 6884 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑄𝐼) + (𝑙 · 𝑇)) = ((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇)))
489487oveq2d 6884 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))
490488, 489oveq12d 6886 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑄𝐼) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))) = (((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇))))
491490sseq2d 3824 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝐼) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))) ↔ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))))
492486, 491rspc2ev 3513 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝐼) + (𝐿 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝐼 + 1)) + (𝐿 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
493165, 167, 479, 492syl3anc 1483 . 2 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
494165, 167, 493jca31 506 1 (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  wne 2974  wral 3092  wrex 3093  {crab 3096  cun 3761  wss 3763  c0 4110  {cpr 4366   class class class wbr 4837  cmpt 4916  ran crn 5306  cio 6056   Fn wfn 6090  wf 6091  ontowfo 6093  1-1-ontowf1o 6094  cfv 6095   Isom wiso 6096  (class class class)co 6868  𝑚 cmap 8086  supcsup 8579  cc 10213  cr 10214  0cc0 10215  1c1 10216   + caddc 10218   · cmul 10220  *cxr 10352   < clt 10353  cle 10354  cmin 10545  -cneg 10546   / cdiv 10963  cn 11299  0cn0 11553  cz 11637  cuz 11898  +crp 12040  (,)cioo 12387  [,]cicc 12390  ...cfz 12543  ..^cfzo 12683  chash 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-inf2 8779  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-iin 4708  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-fi 8550  df-sup 8581  df-inf 8582  df-oi 8648  df-card 9042  df-cda 9269  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-n0 11554  df-xnn0 11624  df-z 11638  df-uz 11899  df-q 12002  df-rp 12041  df-xneg 12156  df-xadd 12157  df-xmul 12158  df-ioo 12391  df-icc 12394  df-fz 12544  df-fzo 12684  df-seq 13019  df-exp 13078  df-hash 13332  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-rest 16282  df-topgen 16303  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20906  df-topon 20923  df-bases 20958  df-cld 21031  df-ntr 21032  df-cls 21033  df-nei 21110  df-lp 21148  df-cmp 21398
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