Theorem frgr0vb 30354

Description: Any null graph (without vertices and edges) is a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
frgr0vb	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )

Proof of Theorem frgr0vb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgr0v 30353	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
2	1	biimp3ar 1474	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ FriendGraph )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1543   ∈ wcel 2115  ∅c0 4264  ‘cfv 6488  Vtxcvtx 29086  iEdgciedg 29087   FriendGraph cfrgr 30349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-2 12238  df-uhgr 29148  df-upgr 29172  df-uspgr 29240  df-usgr 29241  df-frgr 30350

This theorem is referenced by:  frgruhgr0v  30355