Theorem psrbagaddcl 21917

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 12466	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3		psrbag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4	3	psrbagf 21911	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
6	3	psrbagf 21911	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐷)
9	5	ffnd 6664	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 Fn 𝐼)
10	8, 9	fndmexd 7849	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
11		inidm 4168	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
12	2, 5, 7, 10, 10, 11	off 7643	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
13		ovex 7394	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V
14		fcdmnn0suppg 12490	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ))
15	13, 12, 14	sylancr 588	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ))
16	3	psrbagfsupp 21912	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 finSupp 0)
18	3	psrbagfsupp 21912	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺 finSupp 0)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺 finSupp 0)
20	17, 19	fsuppunfi 9295	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
21		0nn0 12446	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
23		00id 11315	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (0 + 0) = 0)
25	10, 22, 5, 7, 24	suppofssd 8147	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
26	20, 25	ssfid 9173	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) ∈ Fin)
27	15, 26	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
28	3	psrbag 21910	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
29	10, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
30	12, 27, 29	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6489  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623   supp csupp 8104   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  0cc0 11032   + caddc 11035  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-nn 12169  df-n0 12432

This theorem is referenced by:  psrbagleadd1  21921  mplmon2mul  22060  evlslem1  22073  psdcl  22140  psdmplcl  22141  psdadd  22142  psdvsca  22143  psdmul  22145  psdmvr  22148  tdeglem3  26037  psrmonmul2  33713