MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagaddcl 21346
Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddcl ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12453 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
21adantl 483 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
3 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
43psrbagf 21336 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
54adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
63psrbagf 21336 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝐷 β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
76adantl 483 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
8 simpl 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
95ffnd 6670 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
108, 9fndmexd 7844 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ V)
11 inidm 4179 . . 3 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
122, 5, 7, 10, 10, 11off 7636 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0)
13 ovex 7391 . . . 4 (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V
14 fcdmnn0suppg 12476 . . . 4 (((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•))
1513, 12, 14sylancr 588 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•))
163psrbagfsupp 21338 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 finSupp 0)
1716adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 finSupp 0)
183psrbagfsupp 21338 . . . . . 6 (𝐺 ∈ 𝐷 β†’ 𝐺 finSupp 0)
1918adantl 483 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 finSupp 0)
2017, 19fsuppunfi 9330 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
21 0nn0 12433 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ β„•0)
23 00id 11335 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (0 + 0) = 0)
2510, 22, 5, 7, 24suppofssd 8135 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
2620, 25ssfid 9214 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) ∈ Fin)
2715, 26eqeltrrd 2835 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)
283psrbag 21335 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
2910, 28syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
3012, 27, 29mpbir2and 712 1 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆͺ cun 3909   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637  βŸΆwf 6493  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616   supp csupp 8093   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308  0cc0 11056   + caddc 11059  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-nn 12159  df-n0 12419
This theorem is referenced by:  mplmon2mul  21493  evlslem1  21508  tdeglem3  25438
  Copyright terms: Public domain W3C validator