Theorem psrbagaddcl 22287

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 12681	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3		psrbag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4	3	psrbagf 22281	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
6	3	psrbagf 22281	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
8		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐷)
9	5	ffnd 6740	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 Fn 𝐼)
10	8, 9	fndmexd 7950	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
11		inidm 4126	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
12	2, 5, 7, 10, 10, 11	off 7743	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
13		ovex 7484	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V
14		fcdmnn0suppg 12705	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ))
15	13, 12, 14	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ))
16	3	psrbagfsupp 22282	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 finSupp 0)
18	3	psrbagfsupp 22282	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺 finSupp 0)
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺 finSupp 0)
20	17, 19	fsuppunfi 9417	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
21		0nn0 12661	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
23		00id 11524	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (0 + 0) = 0)
25	10, 22, 5, 7, 24	suppofssd 8258	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
26	20, 25	ssfid 9298	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) ∈ Fin)
27	15, 26	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
28	3	psrbag 22280	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
29	10, 28	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
30	12, 27, 29	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ∪ cun 4152   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ⟶wf 6562  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723   supp csupp 8214   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011   finSupp cfsupp 9391  0cc0 11239   + caddc 11242  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-nn 12376  df-n0 12647

This theorem is used by:  psrbagleadd1  22291  mplmon2mul  22433  evlslem1  22446  psdcl  22537  psdmplcl  22538  psdadd  22539  psdvsca  22540  psdmul  22542  psdmvr  22545  tdeglem3  26432  psrmonmul2  34294