MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagaddcl 21925
Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddcl ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12559 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
21adantl 480 . . 3 (((𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
43psrbagf 21915 . . . 4 (𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0)
54adantr 479 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
63psrbagf 21915 . . . 4 (𝐺𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0)
76adantl 480 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
8 simpl 481 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹𝐷)
95ffnd 6729 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 Fn 𝐼)
108, 9fndmexd 7917 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐼 ∈ V)
11 inidm 4220 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
122, 5, 7, 10, 10, 11off 7708 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
13 ovex 7457 . . . 4 (𝐹f + 𝐺) ∈ V
14 fcdmnn0suppg 12582 . . . 4 (((𝐹f + 𝐺) ∈ V ∧ (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
1513, 12, 14sylancr 585 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
163psrbagfsupp 21917 . . . . . 6 (𝐹𝐷𝐹 finSupp 0)
1716adantr 479 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 finSupp 0)
183psrbagfsupp 21917 . . . . . 6 (𝐺𝐷𝐺 finSupp 0)
1918adantl 480 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺 finSupp 0)
2017, 19fsuppunfi 9431 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
21 0nn0 12539 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
23 00id 11439 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (0 + 0) = 0)
2510, 22, 5, 7, 24suppofssd 8218 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
2620, 25ssfid 9301 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) ∈ Fin)
2715, 26eqeltrrd 2827 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
283psrbag 21914 . . 3 (𝐼 ∈ V → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
2910, 28syl 17 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
3012, 27, 29mpbir2and 711 1 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419  Vcvv 3462  cun 3945   class class class wbr 5153  ccnv 5681  cima 5685  wf 6550  (class class class)co 7424  f cof 7688   supp csupp 8174  m cmap 8855  Fincfn 8974   finSupp cfsupp 9405  0cc0 11158   + caddc 11161  cn 12264  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-nn 12265  df-n0 12525
This theorem is referenced by:  psrbagleadd1  21933  mplmon2mul  22082  evlslem1  22097  psdcl  22155  psdmplcl  22156  psdadd  22157  psdvsca  22158  psdmul  22160  tdeglem3  26084
  Copyright terms: Public domain W3C validator