MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbagaddcl 21841
Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddcl ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)
Proof of Theorem psrbagaddcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12523 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
21adantl 481 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
3 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
43psrbagf 21831 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
54adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
63psrbagf 21831 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝐷 β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
76adantl 481 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
8 simpl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
95ffnd 6717 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
108, 9fndmexd 7904 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ V)
11 inidm 4214 . . 3 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
122, 5, 7, 10, 10, 11off 7695 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0)
13 ovex 7447 . . . 4 (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V
14 fcdmnn0suppg 12546 . . . 4 (((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•))
1513, 12, 14sylancr 586 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•))
163psrbagfsupp 21833 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 finSupp 0)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 finSupp 0)
183psrbagfsupp 21833 . . . . . 6 (𝐺 ∈ 𝐷 β†’ 𝐺 finSupp 0)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 finSupp 0)
2017, 19fsuppunfi 9397 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
21 0nn0 12503 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ β„•0)
23 00id 11405 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (0 + 0) = 0)
2510, 22, 5, 7, 24suppofssd 8200 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
2620, 25ssfid 9281 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) ∈ Fin)
2715, 26eqeltrrd 2829 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)
283psrbag 21830 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
2910, 28syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
3012, 27, 29mpbir2and 712 1 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆͺ cun 3942   class class class wbr 5142  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  (class class class)co 7414   ∘f cof 7675   supp csupp 8157   ↑m cmap 8834  Fincfn 8953   finSupp cfsupp 9375  0cc0 11124   + caddc 11127  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-nn 12229  df-n0 12489
This theorem is referenced by:  mplmon2mul  21991  evlslem1  22006  psdcl  22063  psdmplcl  22064  psdadd  22065  psdvsca  22066  tdeglem3  25967
  Copyright terms: Public domain W3C validator