MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagaddcl 21962
Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddcl ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12559 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
21adantl 481 . . 3 (((𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
43psrbagf 21956 . . . 4 (𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0)
54adantr 480 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
63psrbagf 21956 . . . 4 (𝐺𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0)
76adantl 481 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
8 simpl 482 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹𝐷)
95ffnd 6738 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 Fn 𝐼)
108, 9fndmexd 7927 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐼 ∈ V)
11 inidm 4235 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
122, 5, 7, 10, 10, 11off 7715 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
13 ovex 7464 . . . 4 (𝐹f + 𝐺) ∈ V
14 fcdmnn0suppg 12583 . . . 4 (((𝐹f + 𝐺) ∈ V ∧ (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
1513, 12, 14sylancr 587 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
163psrbagfsupp 21957 . . . . . 6 (𝐹𝐷𝐹 finSupp 0)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 finSupp 0)
183psrbagfsupp 21957 . . . . . 6 (𝐺𝐷𝐺 finSupp 0)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺 finSupp 0)
2017, 19fsuppunfi 9426 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
21 0nn0 12539 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
23 00id 11434 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (0 + 0) = 0)
2510, 22, 5, 7, 24suppofssd 8227 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
2620, 25ssfid 9299 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) ∈ Fin)
2715, 26eqeltrrd 2840 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
283psrbag 21955 . . 3 (𝐼 ∈ V → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
2910, 28syl 17 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
3012, 27, 29mpbir2and 713 1 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  cun 3961   class class class wbr 5148  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8184  m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  0cc0 11153   + caddc 11156  cn 12264  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-nn 12265  df-n0 12525
This theorem is referenced by:  psrbagleadd1  21966  mplmon2mul  22111  evlslem1  22124  psdcl  22183  psdmplcl  22184  psdadd  22185  psdvsca  22186  psdmul  22188  tdeglem3  26113
  Copyright terms: Public domain W3C validator