MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagaddcl 20153
Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddcl ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 11935 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
21adantl 484 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3 simp2 1133 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹𝐷)
4 psrbag.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
54psrbag 20147 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
653ad2ant1 1129 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
73, 6mpbid 234 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
87simpld 497 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
9 simp3 1134 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺𝐷)
104psrbag 20147 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐺𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
11103ad2ant1 1129 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
129, 11mpbid 234 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin))
1312simpld 497 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
14 simp1 1132 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐼𝑉)
15 inidm 4198 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
162, 8, 13, 14, 14, 15off 7427 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
17 frnnn0supp 11956 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
1814, 16, 17syl2anc 586 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
19 fvexd 6688 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
20 fvexd 6688 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
218feqmptd 6736 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
2213feqmptd 6736 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
2314, 19, 20, 21, 22offval2 7429 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
2423oveq1d 7174 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0))
2518, 24eqtr3d 2861 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0))
26 frnnn0supp 11956 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
2714, 8, 26syl2anc 586 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
287simprd 498 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
2927, 28eqeltrd 2916 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
30 frnnn0supp 11956 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐺:𝐼⟶ℕ0) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
3114, 13, 30syl2anc 586 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
3212simprd 498 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)
3331, 32eqeltrd 2916 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
34 unfi 8788 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
3529, 33, 34syl2anc 586 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
36 ssun1 4151 . . . . . . . . 9 (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
38 c0ex 10638 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 0 ∈ V)
408, 37, 14, 39suppssr 7864 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝑥) = 0)
41 ssun2 4152 . . . . . . . . 9 (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
4313, 42, 14, 39suppssr 7864 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝑥) = 0)
4440, 43oveq12d 7177 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) = (0 + 0))
45 00id 10818 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4644, 45syl6eq 2875 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) = 0)
4746, 14suppss2 7867 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
4835, 47ssfid 8744 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ∈ Fin)
4925, 48eqeltrd 2916 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
504psrbag 20147 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
51503ad2ant1 1129 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
5216, 49, 51mpbir2and 711 1 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  {crab 3145  Vcvv 3497  cdif 3936  cun 3937  wss 3939  cmpt 5149  ccnv 5557  cima 5561  wf 6354  cfv 6358  (class class class)co 7159  f cof 7410   supp csupp 7833  m cmap 8409  Fincfn 8512  0cc0 10540   + caddc 10543  cn 11641  0cn0 11900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-nn 11642  df-n0 11901
This theorem is referenced by:  mplmon2mul  20284  evlslem1  20298  tdeglem3  24656
  Copyright terms: Public domain W3C validator