MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagaddcl 20900
Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddcl ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12138 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
21adantl 485 . . 3 (((𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
43psrbagf 20890 . . . 4 (𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0)
54adantr 484 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
63psrbagf 20890 . . . 4 (𝐺𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0)
76adantl 485 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
8 simpl 486 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹𝐷)
95ffnd 6555 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 Fn 𝐼)
108, 9fndmexd 7693 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐼 ∈ V)
11 inidm 4142 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
122, 5, 7, 10, 10, 11off 7495 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
13 ovex 7255 . . . 4 (𝐹f + 𝐺) ∈ V
14 frnnn0suppg 12161 . . . 4 (((𝐹f + 𝐺) ∈ V ∧ (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
1513, 12, 14sylancr 590 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
163psrbagfsupp 20892 . . . . . 6 (𝐹𝐷𝐹 finSupp 0)
1716adantr 484 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 finSupp 0)
183psrbagfsupp 20892 . . . . . 6 (𝐺𝐷𝐺 finSupp 0)
1918adantl 485 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺 finSupp 0)
2017, 19fsuppunfi 9018 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
21 0nn0 12118 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
23 00id 11020 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (0 + 0) = 0)
2510, 22, 5, 7, 24suppofssd 7954 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
2620, 25ssfid 8911 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) ∈ Fin)
2715, 26eqeltrrd 2840 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
283psrbag 20889 . . 3 (𝐼 ∈ V → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
2910, 28syl 17 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
3012, 27, 29mpbir2and 713 1 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  {crab 3066  Vcvv 3415  cun 3873   class class class wbr 5062  ccnv 5559  cima 5563  wf 6385  (class class class)co 7222  f cof 7476   supp csupp 7912  m cmap 8517  Fincfn 8635   finSupp cfsupp 8998  0cc0 10742   + caddc 10745  cn 11843  0cn0 12103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5188  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532  ax-cnex 10798  ax-resscn 10799  ax-1cn 10800  ax-icn 10801  ax-addcl 10802  ax-addrcl 10803  ax-mulcl 10804  ax-mulrcl 10805  ax-mulcom 10806  ax-addass 10807  ax-mulass 10808  ax-distr 10809  ax-i2m1 10810  ax-1ne0 10811  ax-1rid 10812  ax-rnegex 10813  ax-rrecex 10814  ax-cnre 10815  ax-pre-lttri 10816  ax-pre-lttrn 10817  ax-pre-ltadd 10818
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-pss 3894  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4829  df-iun 4915  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-tr 5171  df-id 5464  df-eprel 5469  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5518  df-we 5520  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-pred 6169  df-ord 6225  df-on 6226  df-lim 6227  df-suc 6228  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-mpo 7227  df-of 7478  df-om 7654  df-1st 7770  df-2nd 7771  df-supp 7913  df-wrecs 8056  df-recs 8117  df-rdg 8155  df-1o 8211  df-er 8400  df-map 8519  df-en 8636  df-dom 8637  df-sdom 8638  df-fin 8639  df-fsupp 8999  df-pnf 10882  df-mnf 10883  df-xr 10884  df-ltxr 10885  df-le 10886  df-nn 11844  df-n0 12104
This theorem is referenced by:  mplmon2mul  21040  evlslem1  21055  tdeglem3  24968
  Copyright terms: Public domain W3C validator