Theorem psrbagaddcl 22241

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 12648	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3		psrbag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4	3	psrbagf 22235	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
6	3	psrbagf 22235	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
8		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐷)
9	5	ffnd 6715	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 Fn 𝐼)
10	8, 9	fndmexd 7920	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
11		inidm 4122	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
12	2, 5, 7, 10, 10, 11	off 7715	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
13		ovex 7457	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V
14		fcdmnn0suppg 12672	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ))
15	13, 12, 14	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ))
16	3	psrbagfsupp 22236	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹 finSupp 0)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 finSupp 0)
18	3	psrbagfsupp 22236	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺 finSupp 0)
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺 finSupp 0)
20	17, 19	fsuppunfi 9387	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
21		0nn0 12628	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
23		00id 11492	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (0 + 0) = 0)
25	10, 22, 5, 7, 24	suppofssd 8228	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
26	20, 25	ssfid 9268	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) ∈ Fin)
27	15, 26	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
28	3	psrbag 22234	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
29	10, 28	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
30	12, 27, 29	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ∪ cun 4148   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ⟶wf 6539  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695   supp csupp 8184   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8981   finSupp cfsupp 9361  0cc0 11207   + caddc 11210  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-nn 12343  df-n0 12614

This theorem is used by:  psrbagleadd1  22245  mplmon2mul  22387  evlslem1  22400  psdcl  22491  psdmplcl  22492  psdadd  22493  psdvsca  22494  psdmul  22496  psdmvr  22499  tdeglem3  26386  psrmonmul2  34233