MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagaddcl 21944
Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddcl ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12561 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
21adantl 481 . . 3 (((𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
43psrbagf 21938 . . . 4 (𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0)
54adantr 480 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
63psrbagf 21938 . . . 4 (𝐺𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0)
76adantl 481 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
8 simpl 482 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹𝐷)
95ffnd 6737 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 Fn 𝐼)
108, 9fndmexd 7926 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐼 ∈ V)
11 inidm 4227 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
122, 5, 7, 10, 10, 11off 7715 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
13 ovex 7464 . . . 4 (𝐹f + 𝐺) ∈ V
14 fcdmnn0suppg 12585 . . . 4 (((𝐹f + 𝐺) ∈ V ∧ (𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
1513, 12, 14sylancr 587 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) = ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ))
163psrbagfsupp 21939 . . . . . 6 (𝐹𝐷𝐹 finSupp 0)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 finSupp 0)
183psrbagfsupp 21939 . . . . . 6 (𝐺𝐷𝐺 finSupp 0)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺 finSupp 0)
2017, 19fsuppunfi 9428 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
21 0nn0 12541 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
23 00id 11436 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (0 + 0) = 0)
2510, 22, 5, 7, 24suppofssd 8228 . . . 4 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
2620, 25ssfid 9301 . . 3 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) supp 0) ∈ Fin)
2715, 26eqeltrrd 2842 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
283psrbag 21937 . . 3 (𝐼 ∈ V → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
2910, 28syl 17 . 2 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
3012, 27, 29mpbir2and 713 1 ((𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  cun 3949   class class class wbr 5143  ccnv 5684  cima 5688  wf 6557  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  0cc0 11155   + caddc 11158  cn 12266  0cn0 12526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-nn 12267  df-n0 12527
This theorem is referenced by:  psrbagleadd1  21948  mplmon2mul  22093  evlslem1  22106  psdcl  22165  psdmplcl  22166  psdadd  22167  psdvsca  22168  psdmul  22170  psdmvr  22173  tdeglem3  26098
  Copyright terms: Public domain W3C validator