Theorem psrbagaddcl 20608

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddcl	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 11920	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ 𝐷)
4		psrbag.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5	4	psrbag 20602	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
6	5	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
7	3, 6	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
8	7	simpld 498	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
9		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ 𝐷)
10	4	psrbag 20602	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ 𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
11	10	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐺 ∈ 𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
12	9, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin))
13	12	simpld 498	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
14		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15		inidm 4145	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16	2, 8, 13, 14, 14, 15	off 7404	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
17		frnnn0supp 11941	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ))
18	14, 16, 17	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ))
19		fvexd 6660	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
20		fvexd 6660	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
21	8	feqmptd 6708	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
22	13	feqmptd 6708	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
23	14, 19, 20, 21, 22	offval2 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
24	23	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) supp 0))
25	18, 24	eqtr3d 2835	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) supp 0))
26		frnnn0supp 11941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ℕ))
27	14, 8, 26	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ℕ))
28	7	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
29	27, 28	eqeltrd 2890	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
30		frnnn0supp 11941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺:𝐼⟶ℕ0) → (𝐺 supp 0) = (◡𝐺 “ ℕ))
31	14, 13, 30	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐺 supp 0) = (◡𝐺 “ ℕ))
32	12	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (◡𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)
33	31, 32	eqeltrd 2890	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
34		unfi 8769	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
35	29, 33, 34	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
36		ssun1 4099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
38		c0ex 10624	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
40	8, 37, 14, 39	suppssr 7844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹‘𝑥) = 0)
41		ssun2 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
43	13, 42, 14, 39	suppssr 7844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺‘𝑥) = 0)
44	40, 43	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) = (0 + 0))
45		00id 10804	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
46	44, 45	eqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) = 0)
47	46, 14	suppss2 7847	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
48	35, 47	ssfid 8725	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) supp 0) ∈ Fin)
49	25, 48	eqeltrd 2890	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
50	4	psrbag 20602	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
51	50	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
52	16, 49, 51	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387   supp csupp 7813   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492  0cc0 10526   + caddc 10529  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-nn 11626  df-n0 11886

This theorem is referenced by:  mplmon2mul  20740  evlslem1  20754  tdeglem3  24660