MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbagaddcl 21472
Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddcl ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)
Proof of Theorem psrbagaddcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12503 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
21adantl 482 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
3 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
43psrbagf 21462 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
54adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
63psrbagf 21462 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝐷 β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
76adantl 482 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
8 simpl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
95ffnd 6715 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
108, 9fndmexd 7893 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ V)
11 inidm 4217 . . 3 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
122, 5, 7, 10, 10, 11off 7684 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0)
13 ovex 7438 . . . 4 (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V
14 fcdmnn0suppg 12526 . . . 4 (((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•))
1513, 12, 14sylancr 587 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•))
163psrbagfsupp 21464 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 finSupp 0)
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 finSupp 0)
183psrbagfsupp 21464 . . . . . 6 (𝐺 ∈ 𝐷 β†’ 𝐺 finSupp 0)
1918adantl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 finSupp 0)
2017, 19fsuppunfi 9379 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
21 0nn0 12483 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ β„•0)
23 00id 11385 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (0 + 0) = 0)
2510, 22, 5, 7, 24suppofssd 8184 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
2620, 25ssfid 9263 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) ∈ Fin)
2715, 26eqeltrrd 2834 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)
283psrbag 21461 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
2910, 28syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
3012, 27, 29mpbir2and 711 1 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  0cc0 11106   + caddc 11109  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-nn 12209  df-n0 12469
This theorem is referenced by:  mplmon2mul  21621  evlslem1  21636  tdeglem3  25566
  Copyright terms: Public domain W3C validator