MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbagaddcl 21863
Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddcl ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)
Proof of Theorem psrbagaddcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12535 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
21adantl 480 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
3 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
43psrbagf 21853 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
54adantr 479 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
63psrbagf 21853 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝐷 β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
76adantl 480 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
8 simpl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
95ffnd 6717 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
108, 9fndmexd 7908 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ V)
11 inidm 4213 . . 3 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
122, 5, 7, 10, 10, 11off 7699 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0)
13 ovex 7448 . . . 4 (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V
14 fcdmnn0suppg 12558 . . . 4 (((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ V ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•))
1513, 12, 14sylancr 585 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•))
163psrbagfsupp 21855 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 finSupp 0)
1716adantr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 finSupp 0)
183psrbagfsupp 21855 . . . . . 6 (𝐺 ∈ 𝐷 β†’ 𝐺 finSupp 0)
1918adantl 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 finSupp 0)
2017, 19fsuppunfi 9409 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
21 0nn0 12515 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ β„•0)
23 00id 11417 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (0 + 0) = 0)
2510, 22, 5, 7, 24suppofssd 8205 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
2620, 25ssfid 9288 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) supp 0) ∈ Fin)
2715, 26eqeltrrd 2826 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)
283psrbag 21852 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
2910, 28syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ β„•) ∈ Fin)))
3012, 27, 29mpbir2and 711 1 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆͺ cun 3938   class class class wbr 5143  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  (class class class)co 7415   ∘f cof 7679   supp csupp 8161   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383  0cc0 11136   + caddc 11139  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-nn 12241  df-n0 12501
This theorem is referenced by:  psrbagleadd1  21871  mplmon2mul  22018  evlslem1  22033  psdcl  22091  psdmplcl  22092  psdadd  22093  psdvsca  22094  psdmul  22096  tdeglem3  26009
  Copyright terms: Public domain W3C validator