Theorem fsuppun 9372

Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppun	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvun 6133	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∪ 𝐺) = (◡𝐹 ∪ ◡𝐺)
2	1	imaeq1i 6049	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 ∪ ◡𝐺) “ (V ∖ {𝑍}))
3		imaundir 6142	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∪ ◡𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
4	2, 3	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
5		unexb 7761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
6		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
7	5, 6	sylbir 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V → 𝐹 ∈ V)
8		suppimacnv 8184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
9	7, 8	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
10	9	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
12		fsuppun.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
13	12	fsuppimpd 9354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
15	11, 14	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
17	5, 16	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
18		suppimacnv 8184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 supp 𝑍) = (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
19	18	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
20	17, 19	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
22		fsuppun.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
23	22	fsuppimpd 9354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
24	23	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
25	21, 24	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
26		unfi 9179	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin ∧ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
27	15, 25, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
28	4, 27	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
29		suppimacnv 8184	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
30	29	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
32	28, 31	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
33	32	ex 418	. 2 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
34		supp0prc 8173	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = ∅)
35		0fi 9063	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
36	34, 35	eqeltrdi 2869	. . 3 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
37	36	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
38	33, 37	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  (class class class)co 7418   supp csupp 8170  Fincfn 8966   finSupp cfsupp 9346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-supp 8171  df-en 8967  df-fin 8970  df-fsupp 9347

This theorem is used by:  fsuppunbi  9374  gsumzaddlem  20128  mptiffisupp  33279  elrspunidl  33971  evlselvlem  43596  evlselv  43597