Theorem fsuppun 8582

Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppun	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvun 5792	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∪ 𝐺) = (◡𝐹 ∪ ◡𝐺)
2	1	imaeq1i 5717	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 ∪ ◡𝐺) “ (V ∖ {𝑍}))
3		imaundir 5800	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∪ ◡𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
4	2, 3	eqtri 2802	. . . . 5 ⊢ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
5		unexb 7235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
6		simpl 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
7	5, 6	sylbir 227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V → 𝐹 ∈ V)
8		suppimacnv 7587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
9	7, 8	sylan 575	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
10	9	eqcomd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
11	10	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
12		fsuppun.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
13	12	fsuppimpd 8570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
14	13	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
15	11, 14	eqeltrd 2859	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16		simpr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
17	5, 16	sylbir 227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
18		suppimacnv 7587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 supp 𝑍) = (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
19	18	eqcomd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
20	17, 19	sylan 575	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
21	20	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
22		fsuppun.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
23	22	fsuppimpd 8570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
24	23	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
25	21, 24	eqeltrd 2859	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
26		unfi 8515	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin ∧ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
27	15, 25, 26	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
28	4, 27	syl5eqel 2863	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
29		suppimacnv 7587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
30	29	eleq1d 2844	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
31	30	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
32	28, 31	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
33	32	ex 403	. 2 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
34		supp0prc 7579	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = ∅)
35		0fin 8476	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
36	34, 35	syl6eqel 2867	. . 3 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
37	36	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
38	33, 37	pm2.61i 177	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   ∪ cun 3790  ∅c0 4141  {csn 4398   class class class wbr 4886  ^◡ccnv 5354   “ cima 5358  (class class class)co 6922   supp csupp 7576  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-fin 8245  df-fsupp 8564

This theorem is referenced by:  fsuppunbi  8584  gsumzaddlem  18707