Theorem fsuppun 9350

Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppun	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvun 6141	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∪ 𝐺) = (◡𝐹 ∪ ◡𝐺)
2	1	imaeq1i 6061	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 ∪ ◡𝐺) “ (V ∖ {𝑍}))
3		imaundir 6150	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∪ ◡𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
4	2, 3	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
5		unexb 7750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
6		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
7	5, 6	sylbir 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V → 𝐹 ∈ V)
8		suppimacnv 8172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
9	7, 8	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
10	9	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
12		fsuppun.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
13	12	fsuppimpd 9332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
15	11, 14	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
17	5, 16	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
18		suppimacnv 8172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 supp 𝑍) = (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
19	18	eqcomd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
20	17, 19	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
22		fsuppun.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
23	22	fsuppimpd 9332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
24	23	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
25	21, 24	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
26		unfi 9158	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin ∧ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
27	15, 25, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
28	4, 27	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
29		suppimacnv 8172	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
30	29	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
32	28, 31	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
33	32	ex 418	. 2 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
34		supp0prc 8161	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = ∅)
35		0fi 9042	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
36	34, 35	eqeltrdi 2873	. . 3 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
37	36	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
38	33, 37	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  (class class class)co 7416   supp csupp 8158  Fincfn 8945   finSupp cfsupp 9324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-supp 8159  df-en 8946  df-fin 8949  df-fsupp 9325

This theorem is used by:  fsuppunbi  9352  gsumzaddlem  20014  mptiffisupp  33067  elrspunidl  33759  evlselvlem  43353  evlselv  43354