Theorem fsuppun 9357

Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppun	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvun 6133	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∪ 𝐺) = (◡𝐹 ∪ ◡𝐺)
2	1	imaeq1i 6053	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 ∪ ◡𝐺) “ (V ∖ {𝑍}))
3		imaundir 6142	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∪ ◡𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
4	2, 3	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
5		unexb 7748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
6		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
7	5, 6	sylbir 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V → 𝐹 ∈ V)
8		suppimacnv 8172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
9	7, 8	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
10	9	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
12		fsuppun.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
13	12	fsuppimpd 9339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
15	11, 14	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
17	5, 16	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
18		suppimacnv 8172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 supp 𝑍) = (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
19	18	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
20	17, 19	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
22		fsuppun.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
23	22	fsuppimpd 9339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
24	23	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
25	21, 24	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
26		unfi 9165	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin ∧ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
27	15, 25, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
28	4, 27	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
29		suppimacnv 8172	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
30	29	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
32	28, 31	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
33	32	ex 418	. 2 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
34		supp0prc 8161	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = ∅)
35		0fi 9049	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
36	34, 35	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
37	36	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
38	33, 37	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  (class class class)co 7413   supp csupp 8158  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-supp 8159  df-en 8953  df-fin 8956  df-fsupp 9332

This theorem is used by:  fsuppunbi  9359  gsumzaddlem  20048  mptiffisupp  33165  elrspunidl  33856  evlselvlem  43434  evlselv  43435