Theorem fsuppun 9382

Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppun	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvun 6143	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∪ 𝐺) = (◡𝐹 ∪ ◡𝐺)
2	1	imaeq1i 6057	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 ∪ ◡𝐺) “ (V ∖ {𝑍}))
3		imaundir 6151	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∪ ◡𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
4	2, 3	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
5		unexb 7735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
6		simpl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
7	5, 6	sylbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V → 𝐹 ∈ V)
8		suppimacnv 8159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
9	7, 8	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
10	9	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
11	10	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
12		fsuppun.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
13	12	fsuppimpd 9369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
14	13	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
15	11, 14	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
17	5, 16	sylbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
18		suppimacnv 8159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 supp 𝑍) = (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
19	18	eqcomd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
20	17, 19	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
21	20	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
22		fsuppun.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
23	22	fsuppimpd 9369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
24	23	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
25	21, 24	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
26		unfi 9172	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin ∧ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
27	15, 25, 26	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (◡𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
28	4, 27	eqeltrid 2838	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
29		suppimacnv 8159	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
30	29	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
31	30	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (◡(𝐹 ∪ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
32	28, 31	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
33	32	ex 414	. 2 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
34		supp0prc 8149	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = ∅)
35		0fin 9171	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
36	34, 35	eqeltrdi 2842	. . 3 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
37	36	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
38	33, 37	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947  ∅c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  ^◡ccnv 5676   “ cima 5680  (class class class)co 7409   supp csupp 8146  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-supp 8147  df-en 8940  df-fin 8943  df-fsupp 9362

This theorem is referenced by:  fsuppunbi  9384  gsumzaddlem  19789  mptiffisupp  31915  elrspunidl  32546  evlselvlem  41158  evlselv  41159