Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppun 8854
 Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppun.f (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppun (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppun
StepHypRef Expression
1 cnvun 5972 . . . . . . 7 (𝐹𝐺) = (𝐹𝐺)
21imaeq1i 5897 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍}))
3 imaundir 5980 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
42, 3eqtri 2821 . . . . 5 ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
5 unexb 7464 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹𝐺) ∈ V)
6 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
75, 6sylbir 238 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐺) ∈ V → 𝐹 ∈ V)
8 suppimacnv 7839 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
97, 8sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
109eqcomd 2804 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
1110adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
12 fsuppun.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
1312fsuppimpd 8842 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
1413adantl 485 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
1511, 14eqeltrd 2890 . . . . . 6 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
175, 16sylbir 238 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐺) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
18 suppimacnv 7839 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 supp 𝑍) = (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
1918eqcomd 2804 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
2017, 19sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
2120adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
22 fsuppun.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
2322fsuppimpd 8842 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2423adantl 485 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2521, 24eqeltrd 2890 . . . . . 6 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
26 unfi 8787 . . . . . 6 (((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
2715, 25, 26syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
284, 27eqeltrid 2894 . . . 4 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
29 suppimacnv 7839 . . . . . 6 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
3029eleq1d 2874 . . . . 5 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
3130adantr 484 . . . 4 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
3228, 31mpbird 260 . . 3 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
3332ex 416 . 2 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
34 supp0prc 7829 . . . 4 (¬ ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ∅)
35 0fin 8748 . . . 4 ∅ ∈ Fin
3634, 35eqeltrdi 2898 . . 3 (¬ ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
3736a1d 25 . 2 (¬ ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
3833, 37pm2.61i 185 1 (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881  ∅c0 4246  {csn 4528   class class class wbr 5034  ◡ccnv 5522   “ cima 5526  (class class class)co 7145   supp csupp 7826  Fincfn 8510   finSupp cfsupp 8835 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-fin 8514  df-fsupp 8836 This theorem is referenced by:  fsuppunbi  8856  gsumzaddlem  19055  elrspunidl  31075
 Copyright terms: Public domain W3C validator