MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppun 9427
Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppun.f (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppun (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppun
StepHypRef Expression
1 cnvun 6162 . . . . . . 7 (𝐹𝐺) = (𝐹𝐺)
21imaeq1i 6075 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍}))
3 imaundir 6170 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
42, 3eqtri 2765 . . . . 5 ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
5 unexb 7767 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹𝐺) ∈ V)
6 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
75, 6sylbir 235 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐺) ∈ V → 𝐹 ∈ V)
8 suppimacnv 8199 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
97, 8sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
109eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
12 fsuppun.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
1312fsuppimpd 9409 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
1511, 14eqeltrd 2841 . . . . . 6 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
175, 16sylbir 235 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐺) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
18 suppimacnv 8199 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 supp 𝑍) = (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
1918eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
2017, 19sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
22 fsuppun.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
2322fsuppimpd 9409 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2423adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2521, 24eqeltrd 2841 . . . . . 6 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
26 unfi 9211 . . . . . 6 (((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
2715, 25, 26syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
284, 27eqeltrid 2845 . . . 4 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
29 suppimacnv 8199 . . . . . 6 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
3029eleq1d 2826 . . . . 5 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
3130adantr 480 . . . 4 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
3228, 31mpbird 257 . . 3 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
3332ex 412 . 2 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
34 supp0prc 8188 . . . 4 (¬ ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ∅)
35 0fi 9082 . . . 4 ∅ ∈ Fin
3634, 35eqeltrdi 2849 . . 3 (¬ ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
3736a1d 25 . 2 (¬ ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
3833, 37pm2.61i 182 1 (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  ccnv 5684  cima 5688  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-supp 8186  df-en 8986  df-fin 8989  df-fsupp 9402
This theorem is referenced by:  fsuppunbi  9429  gsumzaddlem  19939  mptiffisupp  32702  elrspunidl  33456  evlselvlem  42596  evlselv  42597
  Copyright terms: Public domain W3C validator