Theorem fz1sbc 13640

Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fz1sbc	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ [𝑁 / 𝑘]𝜑))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem fz1sbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc6g 3818	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ([𝑁 / 𝑘]𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → 𝜑)))
2		df-ral 3062	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑))
3		elfz1eq 13575	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
4		elfz3 13574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))
5		eleq1 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁)))
6	4, 5	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑁 → 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)))
7	3, 6	impbid2 226	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
8	7	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ (𝑘 = 𝑁 → 𝜑)))
9	8	albidv 1920	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → 𝜑)))
10	2, 9	bitr2id 284	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → 𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑))
11	1, 10	bitr2d 280	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ [𝑁 / 𝑘]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  [wsbc 3788  (class class class)co 7431  ℤcz 12613  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by: (None)