Theorem fz1sbc 13503

Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fz1sbc	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ [𝑁 / 𝑘]𝜑))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem fz1sbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc6g 3772	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ([𝑁 / 𝑘]𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → 𝜑)))
2		df-ral 3045	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑))
3		elfz1eq 13438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
4		elfz3 13437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))
5		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁)))
6	4, 5	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑁 → 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)))
7	3, 6	impbid2 226	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
8	7	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ (𝑘 = 𝑁 → 𝜑)))
9	8	albidv 1920	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → 𝜑)))
10	2, 9	bitr2id 284	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → 𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑))
11	1, 10	bitr2d 280	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ [𝑁 / 𝑘]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  [wsbc 3742  (class class class)co 7349  ℤcz 12471  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by: (None)