MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1sbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1sbc 13580
Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fz1sbc (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem fz1sbc
StepHypRef Expression
1 sbc6g 3802 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ([𝑁 / 𝑘]𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑)))
2 df-ral 3056 . . 3 (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑))
3 elfz1eq 13515 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
4 elfz3 13514 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))
5 eleq1 2815 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁)))
64, 5syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑁𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)))
73, 6impbid2 225 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
87imbi1d 341 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ (𝑘 = 𝑁𝜑)))
98albidv 1915 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑)))
102, 9bitr2id 284 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑))
111, 10bitr2d 280 1 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  [wsbc 3772  (class class class)co 7404  cz 12559  ...cfz 13487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-neg 11448  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator