Theorem fz1sbc 13758

Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fz1sbc	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ [𝑁 / 𝑘]𝜑))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem fz1sbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc6g 3772	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ([𝑁 / 𝑘]𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → 𝜑)))
2		df-ral 3081	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑))
3		elfz1eq 13692	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
4		elfz3 13691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))
5		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁)))
6	4, 5	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑁 → 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)))
7	3, 6	impbid2 229	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
8	7	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ (𝑘 = 𝑁 → 𝜑)))
9	8	albidv 1955	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → 𝜑)))
10	2, 9	bitr2id 287	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 = 𝑁 → 𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑))
11	1, 10	bitr2d 283	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ [𝑁 / 𝑘]𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  [wsbc 3742  (class class class)co 7440  ℤcz 12717  ...cfz 13663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-neg 11568  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664

This theorem is used by: (None)