MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1sbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1sbc 13518
Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fz1sbc (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem fz1sbc
StepHypRef Expression
1 sbc6g 3770 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ([𝑁 / 𝑘]𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑)))
2 df-ral 3066 . . 3 (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑))
3 elfz1eq 13453 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
4 elfz3 13452 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))
5 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁)))
64, 5syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑁𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)))
73, 6impbid2 225 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
87imbi1d 342 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ (𝑘 = 𝑁𝜑)))
98albidv 1924 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑)))
102, 9bitr2id 284 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑))
111, 10bitr2d 280 1 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  [wsbc 3740  (class class class)co 7358  cz 12500  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-neg 11389  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator