MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1sbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1sbc 12799
Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fz1sbc (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem fz1sbc
StepHypRef Expression
1 sbc6g 3708 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ([𝑁 / 𝑘]𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑)))
2 df-ral 3094 . . 3 (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑))
3 elfz1eq 12734 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
4 elfz3 12733 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))
5 eleq1 2854 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁)))
64, 5syl5ibrcom 239 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑁𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)))
73, 6impbid2 218 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
87imbi1d 334 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ (𝑘 = 𝑁𝜑)))
98albidv 1879 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑)))
102, 9syl5rbb 276 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑))
111, 10bitr2d 272 1 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wal 1505   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3089  [wsbc 3682  (class class class)co 6976  cz 11793  ...cfz 12708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-neg 10673  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator