Theorem fseq1m1p1 13646

Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
fseq1m1p1.1	⊢ 𝐻 = {⟨𝑁, 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
fseq1m1p1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ 𝐻)) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴 ∧ (𝐺‘𝑁) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))

Proof of Theorem fseq1m1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnm1nn0 12562	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩} = {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩}
3	2	fseq1p1m1 13645	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩})) ↔ (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴 ∧ (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩})) ↔ (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴 ∧ (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
5		nncn 12258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6		ax-1cn 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		npcan 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8	5, 6, 7	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
9	8	opeq1d 4846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩ = ⟨𝑁, 𝐵⟩)
10	9	sneqd 4603	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩} = {⟨𝑁, 𝐵⟩})
11		fseq1m1p1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = {⟨𝑁, 𝐵⟩}
12	10, 11	eqtr4di 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩} = 𝐻)
13	12	uneq2d 4122	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩}) = (𝐹 ∪ 𝐻))
14	13	eqeq2d 2776	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩}) ↔ 𝐺 = (𝐹 ∪ 𝐻)))
15	14	3anbi3d 1470	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨((𝑁 − 1) + 1), 𝐵⟩})) ↔ (𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ 𝐻))))
16	8	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
17	16	feq2d 6693	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴 ↔ 𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴))
18	8	fveqeq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵 ↔ (𝐺‘𝑁) = 𝐵))
19	17, 18	3anbi12d 1465	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐺:(1...((𝑁 − 1) + 1))⟶𝐴 ∧ (𝐺‘((𝑁 − 1) + 1)) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1)))) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴 ∧ (𝐺‘𝑁) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))
20	4, 15, 19	3bitr3d 312	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹:(1...(𝑁 − 1))⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 = (𝐹 ∪ 𝐻)) ↔ (𝐺:(1...𝑁)⟶𝐴 ∧ (𝐺‘𝑁) = 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝐺 ↾ (1...(𝑁 − 1))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904  {csn 4591  ⟨cop 4597   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  1c1 11118   + caddc 11120   − cmin 11458  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ...cfz 13553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554

This theorem is used by: (None)