Theorem elfz1eq 13489

Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1eq	⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Proof of Theorem elfz1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 13482	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
2		elfzle1 13481	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
3		elfzelz 13478	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		elfzel2 13476	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		zre 12528	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6		zre 12528	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7		letri3 11231	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
9	3, 4, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
10	1, 2, 9	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   ≤ cle 11180  ℤcz 12524  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  fzsn  13520  fz1sbc  13554  fzm1  13561  bccl  14284  hashbc  14415  swrdccatin1  14687  sumsnf  15705  climcnds  15816  prmind2  16654  3prm  16663  vdwlem8  16959  od1  19534  gex1  19566  frgpnabllem1  19848  ply1termlem  26168  coefv0  26213  coemulc  26220  logtayl  26624  leibpilem2  26905  chp1  27130  chtub  27175  2sqlem10  27391  dchrisum0flb  27473  ostth2lem2  27597  axlowdimlem16  29026  sdclem2  38063  0prjspnrel  43060  sumsnd  45457  fourierdlem20  46555