Theorem elfz1eq 13455

Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1eq	⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Proof of Theorem elfz1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 13448	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
2		elfzle1 13447	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
3		elfzelz 13444	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		elfzel2 13442	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		zre 12496	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6		zre 12496	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7		letri3 11222	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
9	3, 4, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
10	1, 2, 9	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029   ≤ cle 11171  ℤcz 12492  ...cfz 13427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-neg 11371  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428

This theorem is referenced by:  fzsn  13486  fz1sbc  13520  fzm1  13527  bccl  14249  hashbc  14380  swrdccatin1  14652  sumsnf  15670  climcnds  15778  prmind2  16616  3prm  16625  vdwlem8  16920  od1  19492  gex1  19524  frgpnabllem1  19806  ply1termlem  26168  coefv0  26213  coemulc  26220  logtayl  26629  leibpilem2  26911  chp1  27137  chtub  27183  2sqlem10  27399  dchrisum0flb  27481  ostth2lem2  27605  axlowdimlem16  29013  sdclem2  37914  0prjspnrel  42906  sumsnd  45307  fourierdlem20  46407