MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz1eq 12912
Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1eq (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Proof of Theorem elfz1eq
StepHypRef Expression
1 elfzle2 12905 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾𝑁)
2 elfzle1 12904 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁𝐾)
3 elfzelz 12902 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 elfzel2 12900 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 zre 11979 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6 zre 11979 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7 letri3 10720 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
85, 6, 7syl2an 597 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
93, 4, 8syl2anc 586 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
101, 2, 9mpbir2and 711 1 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  cr 10530  cle 10670  cz 11975  ...cfz 12886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-neg 10867  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887
This theorem is referenced by:  fzsn  12943  fz1sbc  12977  fzm1  12981  bccl  13676  hashbc  13805  swrdccatin1  14081  sumsnf  15093  climcnds  15200  prmind2  16023  3prm  16032  vdwlem8  16318  od1  18680  gex1  18710  frgpnabllem1  18987  ply1termlem  24787  coefv0  24832  coemulc  24839  logtayl  25237  leibpilem2  25513  chp1  25738  chtub  25782  2sqlem10  25998  dchrisum0flb  26080  ostth2lem2  26204  axlowdimlem16  26737  sdclem2  35011  0prjspnrel  39262  sumsnd  41276  fourierdlem20  42406
  Copyright terms: Public domain W3C validator