Theorem elfz1eq 13557

Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1eq	⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Proof of Theorem elfz1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 13550	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
2		elfzle1 13549	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
3		elfzelz 13546	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		elfzel2 13544	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		zre 12597	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6		zre 12597	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7		letri3 11325	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
9	3, 4, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
10	1, 2, 9	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   ≤ cle 11275  ℤcz 12593  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  fzsn  13588  fz1sbc  13622  fzm1  13629  bccl  14345  hashbc  14476  swrdccatin1  14748  sumsnf  15764  climcnds  15872  prmind2  16709  3prm  16718  vdwlem8  17013  od1  19545  gex1  19577  frgpnabllem1  19859  ply1termlem  26165  coefv0  26210  coemulc  26217  logtayl  26626  leibpilem2  26908  chp1  27134  chtub  27180  2sqlem10  27396  dchrisum0flb  27478  ostth2lem2  27602  axlowdimlem16  28941  sdclem2  37771  0prjspnrel  42617  sumsnd  45017  fourierdlem20  46123