Theorem elfz3 13551

Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))

Proof of Theorem elfz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 12867	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
2		eluzfz1 13548	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-neg 11469  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  fzsn  13583  fz1sbc  13617  prinfzo0  13715  seqf1o  14061  hashbc  14471  vdwlem8  17008  vdwlem13  17013  coefv0  26205  coemulc  26212  0pthon  30108  metakunt15  42232  metakunt16  42233