Theorem ge0lere 45530

Description: A nonnegative extended Real number smaller than or equal to a Real number, is a Real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ge0lere.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ge0lere.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
ge0lere.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ge0lere	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0lere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0lere.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2		iccssxr 13391	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3	2, 1	sselid 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11228	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6		ge0lere.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ge0lere.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
9	6	ltpnfd 13081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)
10	3, 7, 5, 8, 9	xrlelttrd 13120	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < +∞)
11	3, 5, 10	xrltned 45353	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ +∞)
12		ge0xrre 45529	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	1, 11, 12	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   ≤ cle 11209  [,]cicc 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ico 13312  df-icc 13313

This theorem is referenced by:  hspmbllem2  46625  hspmbllem3  46626