Theorem ge0lere 45545

Description: A nonnegative extended Real number smaller than or equal to a Real number, is a Real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ge0lere.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ge0lere.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
ge0lere.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ge0lere	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0lere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0lere.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2		iccssxr 13470	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3	2, 1	sselid 3981	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11315	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6		ge0lere.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ge0lere.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
9	6	ltpnfd 13163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)
10	3, 7, 5, 8, 9	xrlelttrd 13202	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < +∞)
11	3, 5, 10	xrltned 45368	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ +∞)
12		ge0xrre 45544	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	1, 11, 12	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296  [,]cicc 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ico 13393  df-icc 13394

This theorem is referenced by:  hspmbllem2  46642  hspmbllem3  46643