Theorem ge0lere 41801

Description: A nonnegative extended Real number smaller than or equal to a Real number, is a Real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ge0lere.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ge0lere.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
ge0lere.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ge0lere	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0lere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0lere.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2		iccssxr 12813	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3	2, 1	sseldi 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 10689	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6		ge0lere.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 10685	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ge0lere.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
9	6	ltpnfd 12510	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)
10	3, 7, 5, 8, 9	xrlelttrd 12547	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < +∞)
11	3, 5, 10	xrltned 41618	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ +∞)
12		ge0xrre 41800	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	1, 11, 12	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670  [,]cicc 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ico 12738  df-icc 12739

This theorem is referenced by:  hspmbllem2  42903  hspmbllem3  42904