Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ge0lere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0lere 41960
Description: A nonnegative extended Real number smaller than or equal to a Real number, is a Real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ge0lere.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ge0lere.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
ge0lere.l (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
ge0lere (𝜑𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0lere
StepHypRef Expression
1 ge0lere.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2 iccssxr 12799 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32, 1sseldi 3944 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10673 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 ge0lere.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76rexrd 10669 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
8 ge0lere.l . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
96ltpnfd 12495 . . . 4 (𝜑𝐴 < +∞)
103, 7, 5, 8, 9xrlelttrd 12532 . . 3 (𝜑𝐵 < +∞)
113, 5, 10xrltned 41779 . 2 (𝜑𝐵 ≠ +∞)
12 ge0xrre 41959 . 2 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
131, 11, 12syl2anc 586 1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114  wne 3006   class class class wbr 5042  (class class class)co 7133  cr 10514  0cc0 10515  +∞cpnf 10650  *cxr 10652  cle 10654  [,]cicc 12720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-addrcl 10576  ax-rnegex 10586  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-ico 12723  df-icc 12724
This theorem is referenced by:  hspmbllem2  43057  hspmbllem3  43058
  Copyright terms: Public domain W3C validator