Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ge0lere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0lere 43777
Description: A nonnegative extended Real number smaller than or equal to a Real number, is a Real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ge0lere.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ge0lere.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
ge0lere.l (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
ge0lere (𝜑𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0lere
StepHypRef Expression
1 ge0lere.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2 iccssxr 13348 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32, 1sselid 3943 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11210 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 ge0lere.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76rexrd 11206 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
8 ge0lere.l . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
96ltpnfd 13043 . . . 4 (𝜑𝐴 < +∞)
103, 7, 5, 8, 9xrlelttrd 13080 . . 3 (𝜑𝐵 < +∞)
113, 5, 10xrltned 43598 . 2 (𝜑𝐵 ≠ +∞)
12 ge0xrre 43776 . 2 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
131, 11, 12syl2anc 585 1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  0cc0 11052  +∞cpnf 11187  *cxr 11189  cle 11191  [,]cicc 13268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-addrcl 11113  ax-rnegex 11123  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-ico 13271  df-icc 13272
This theorem is referenced by:  hspmbllem2  44875  hspmbllem3  44876
  Copyright terms: Public domain W3C validator