Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ge0lere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0lere 43052
Description: A nonnegative extended Real number smaller than or equal to a Real number, is a Real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ge0lere.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ge0lere.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
ge0lere.l (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
ge0lere (𝜑𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0lere
StepHypRef Expression
1 ge0lere.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2 iccssxr 13173 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32, 1sselid 3924 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11040 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 ge0lere.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76rexrd 11036 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
8 ge0lere.l . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
96ltpnfd 12868 . . . 4 (𝜑𝐴 < +∞)
103, 7, 5, 8, 9xrlelttrd 12905 . . 3 (𝜑𝐵 < +∞)
113, 5, 10xrltned 42878 . 2 (𝜑𝐵 ≠ +∞)
12 ge0xrre 43051 . 2 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
131, 11, 12syl2anc 584 1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  wne 2945   class class class wbr 5079  (class class class)co 7272  cr 10881  0cc0 10882  +∞cpnf 11017  *cxr 11019  cle 11021  [,]cicc 13093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-addrcl 10943  ax-rnegex 10953  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-ico 13096  df-icc 13097
This theorem is referenced by:  hspmbllem2  44147  hspmbllem3  44148
  Copyright terms: Public domain W3C validator