Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hspmbllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hspmbllem3 42776
Description: Any half-space of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31. This proof handles the non-trivial cases (nonzero dimension and finite outer measure) (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hspmbllem3.h 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
hspmbllem3.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hspmbllem3.i (𝜑𝐾𝑋)
hspmbllem3.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
hspmbllem3.a (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
hspmbllem3.s (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
hspmbllem3.c 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
hspmbllem3.l 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
hspmbllem3.d 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
hspmbllem3.10 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (1st ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
hspmbllem3.11 𝑇 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
Assertion
Ref Expression
hspmbllem3 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐴,𝑟,𝑎,,𝑖,𝑗   𝐵,𝑎,,𝑘,𝑙   𝐶,𝑎,,𝑖,𝑟   𝐷,𝑎,,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐷,𝑟   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘   𝐾,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,,𝑖,𝑟   𝑇,𝑎,,𝑗,𝑘,𝑙   𝑋,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟   𝑌,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑙)   𝐷(𝑖)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,,𝑟,𝑎,𝑙)   𝐾(𝑟)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑙)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem hspmbllem3
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hspmbllem3.a . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
2 hspmbllem3.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
3 inss1 4209 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴
4 hspmbllem3.s . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
53, 4sstrid 3982 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
62, 5ovncl 42715 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ (0[,]+∞))
73a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴)
82, 7, 4ovnssle 42709 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
91, 6, 8ge0lere 41673 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
104ssdifssd 4123 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
112, 10ovncl 42715 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ (0[,]+∞))
12 difssd 4113 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴)
132, 12, 4ovnssle 42709 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
141, 11, 13ge0lere 41673 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
15 rexadd 12615 . . 3 ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ ∧ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) = (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))))
169, 14, 15syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) = (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))))
172adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Fin)
18 hspmbllem3.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐾𝑋)
1918ne0d 4305 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ≠ ∅)
214adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
22 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
23 hspmbllem3.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
24 hspmbllem3.l . . . . . 6 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
25 hspmbllem3.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
2617, 20, 21, 22, 23, 24, 25ovncvrrp 42712 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒))
27 hspmbllem3.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
2817adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑋 ∈ Fin)
2918ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐾𝑋)
30 hspmbllem3.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3130ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑌 ∈ ℝ)
3222adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
3321adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
34 fveq1 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = → (𝑖𝑗) = (𝑗))
3534fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = → (𝐿‘(𝑖𝑗)) = (𝐿‘(𝑗)))
3635mpteq2dv 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗))))
3736fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))))
3837breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → ((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟) ↔ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)))
3938cbvrabv 3497 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)} = { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}
4039mpteq2i 5155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)})
4140mpteq2i 5155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)})) = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
4225, 41eqtri 2849 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
43 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒))
44 hspmbllem3.10 . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (1st ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
45 hspmbllem3.11 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
4628, 33, 32, 23, 24, 42, 43, 44, 45ovncvr2 42759 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (((𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))) ∧ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒)))
4746simplld 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋)))
4847simpld 495 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋))
4947simprd 496 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋))
5046simplrd 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘)))
5146simprd 496 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒))
521adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
5322rpred 12421 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ)
5452, 53rexaddd 12617 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
5651, 55breqtrd 5089 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
571ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
589ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
5914ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
60 eqid 2826 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
61 eqid 2826 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( ∈ (𝑋 ∖ {𝐾}), (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑦, (𝑐), 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( ∈ (𝑋 ∖ {𝐾}), (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑦, (𝑐), 𝑦)))))
62 eqid 2826 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐), (𝑐), 𝑥), (𝑐))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐), (𝑐), 𝑥), (𝑐)))))
6327, 28, 29, 31, 32, 48, 49, 50, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62hspmbllem2 42775 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
6463ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
6564exlimdv 1927 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
6626, 65mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
6766ralrimiva 3187 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
689, 14readdcld 10659 . . . 4 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ∈ ℝ)
69 alrple 12589 . . . 4 (((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ∈ ℝ ∧ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ) → ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
7068, 1, 69syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
7167, 70mpbird 258 . 2 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
7216, 71eqbrtrd 5085 1 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  {crab 3147  cdif 3937  cin 3939  wss 3940  c0 4295  ifcif 4470  𝒫 cpw 4542  {csn 4564   ciun 4917   class class class wbr 5063  cmpt 5143   × cxp 5552  ccom 5558  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  cmpo 7150  1st c1st 7678  2nd c2nd 7679  m cmap 8396  Xcixp 8450  Fincfn 8498  cr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529  -∞cmnf 10662  cle 10665  cn 11627  +crp 12379   +𝑒 cxad 12495  (,)cioo 12728  [,)cico 12730  cprod 15249  volcvol 23979  Σ^csumge0 42510  voln*covoln 42684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-prod 15250  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-rest 16686  df-0g 16705  df-topgen 16707  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-subg 18206  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-cring 19220  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342  df-dvr 19353  df-drng 19424  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-bases 21470  df-cmp 21911  df-ovol 23980  df-vol 23981  df-sumge0 42511  df-ovoln 42685
This theorem is referenced by:  hspmbl  42777
  Copyright terms: Public domain W3C validator