Theorem hspmbllem3 47732

Description: Any half-space of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31. This proof handles the non-trivial cases (nonzero dimension and finite outer measure). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hspmbllem3.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘 ∈ 𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
hspmbllem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hspmbllem3.i	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
hspmbllem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
hspmbllem3.a	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
hspmbllem3.s	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
hspmbllem3.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑙‘𝑗))‘𝑘)})
hspmbllem3.l	⊢ 𝐿 = (ℎ ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ ℎ)‘𝑘)))
hspmbllem3.d	⊢ 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +e 𝑟)}))
hspmbllem3.10	⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ (1st ‘((𝑖‘𝑗)‘𝑘))))
hspmbllem3.11	⊢ 𝑇 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ (2nd ‘((𝑖‘𝑗)‘𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
hspmbllem3	⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐴,𝑟,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗   𝐵,𝑎,ℎ,𝑘,𝑙   𝐶,𝑎,ℎ,𝑖,𝑟   𝐷,𝑎,ℎ,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐷,𝑟   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘   𝐾,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,ℎ,𝑖,𝑟   𝑇,𝑎,ℎ,𝑗,𝑘,𝑙   𝑋,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟   𝑌,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑖, 𝑗, 𝑟)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑗, 𝑘, 𝑙)   𝐷(𝑖)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑖, 𝑟)   𝐻(𝑥, 𝑦, ℎ, 𝑟, 𝑎, 𝑙)   𝐾(𝑟)   𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑗, 𝑘, 𝑙)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem hspmbllem3

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hspmbllem3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
2		hspmbllem3.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		inss1 4133	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴
4		hspmbllem3.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
5	3, 4	sstrid 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
6	2, 5	ovncl 47671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ (0[,]+∞))
7	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴)
8	2, 7, 4	ovnssle 47665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
9	1, 6, 8	ge0lere 46638	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
10	4	ssdifssd 4083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
11	2, 10	ovncl 47671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ (0[,]+∞))
12		difssd 4073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴)
13	2, 12, 4	ovnssle 47665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
14	1, 11, 13	ge0lere 46638	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
15		rexadd 13366	. . 3 ⊢ ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ ∧ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) = (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))))
16	9, 14, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) = (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))))
17	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Fin)
18		hspmbllem3.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
19	18	ne0d 4287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ≠ ∅)
21	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
22		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
23		hspmbllem3.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑙‘𝑗))‘𝑘)})
24		hspmbllem3.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℎ ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ ℎ)‘𝑘)))
25		hspmbllem3.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +e 𝑟)}))
26	17, 20, 21, 22, 23, 24, 25	ovncvrrp 47668	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒))
27		hspmbllem3.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘 ∈ 𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
28	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝑋 ∈ Fin)
29	18	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝐾 ∈ 𝑋)
30		hspmbllem3.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
31	30	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝑌 ∈ ℝ)
32	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
33	21	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
34		fveq1 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = ℎ → (𝑖‘𝑗) = (ℎ‘𝑗))
35	34	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = ℎ → (𝐿‘(𝑖‘𝑗)) = (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))
36	35	mpteq2dv 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = ℎ → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗))))
37	36	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = ℎ → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))))
38	37	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = ℎ → ((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +e 𝑟) ↔ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +e 𝑟)))
39	38	cbvrabv 3422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑖 ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +e 𝑟)} = {ℎ ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +e 𝑟)}
40	39	mpteq2i 5200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +e 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {ℎ ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +e 𝑟)})
41	40	mpteq2i 5200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +e 𝑟)})) = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {ℎ ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +e 𝑟)}))
42	25, 41	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {ℎ ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +e 𝑟)}))
43		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒))
44		hspmbllem3.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ (1st ‘((𝑖‘𝑗)‘𝑘))))
45		hspmbllem3.11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ (2nd ‘((𝑖‘𝑗)‘𝑘))))
46	28, 33, 32, 23, 24, 42, 43, 44, 45	ovncvr2 47715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (((𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇‘𝑗)‘𝑘))) ∧ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝐵‘𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇‘𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝑒)))
47	46	simplld 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋)))
48	47	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋))
49	47	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋))
50	46	simplrd 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇‘𝑗)‘𝑘)))
51	46	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝐵‘𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇‘𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝑒))
52	1	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
53	22	rpred 13168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ)
54	52, 53	rexaddd 13368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝑒) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +e 𝑒) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
56	51, 55	breqtrd 5130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝐵‘𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇‘𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
57	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
58	9	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
59	14	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
60		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
61		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ ∈ (𝑋 ∖ {𝐾}), (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑦, (𝑐‘ℎ), 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ ∈ (𝑋 ∖ {𝐾}), (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑦, (𝑐‘ℎ), 𝑦)))))
62		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐‘ℎ), (𝑐‘ℎ), 𝑥), (𝑐‘ℎ))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐‘ℎ), (𝑐‘ℎ), 𝑥), (𝑐‘ℎ)))))
63	27, 28, 29, 31, 32, 48, 49, 50, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62	hspmbllem2 47731	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
64	63	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
65	64	exlimdv 1965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
66	26, 65	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
67	66	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
68	9, 14	readdcld 11342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ∈ ℝ)
69		alrple 13340	. . . 4 ⊢ (((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ∈ ℝ ∧ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ) → ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
70	68, 1, 69	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
71	67, 70	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
72	16, 71	eqbrtrd 5126	1 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) +e ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ∪ ciun 4950   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  1^st c1st 8000  2^nd c2nd 8001   ↑_m cmap 8851  Xcixp 8929  Fincfn 8977  ℝcr 11203  0cc0 11204   + caddc 11207  -∞cmnf 11345   ≤ cle 11348  ℕcn 12339  ℝ⁺crp 13124   +_e cxad 13243  (,)cioo 13480  [,)cico 13482  ∏cprod 16078  volcvol 25790  Σ^{^}csumge0 47466  voln*covoln 47640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-prod 16079  df-rest 17599  df-topgen 17620  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-top 23218  df-topon 23235  df-bases 23270  df-cmp 23711  df-ovol 25791  df-vol 25792  df-sumge0 47467  df-ovoln 47641

This theorem is used by:  hspmbl  47733