Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hspmbllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hspmbllem3 46584
Description: Any half-space of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31. This proof handles the non-trivial cases (nonzero dimension and finite outer measure). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hspmbllem3.h 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
hspmbllem3.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hspmbllem3.i (𝜑𝐾𝑋)
hspmbllem3.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
hspmbllem3.a (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
hspmbllem3.s (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
hspmbllem3.c 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
hspmbllem3.l 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
hspmbllem3.d 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
hspmbllem3.10 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (1st ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
hspmbllem3.11 𝑇 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
Assertion
Ref Expression
hspmbllem3 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐴,𝑟,𝑎,,𝑖,𝑗   𝐵,𝑎,,𝑘,𝑙   𝐶,𝑎,,𝑖,𝑟   𝐷,𝑎,,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐷,𝑟   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘   𝐾,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,,𝑖,𝑟   𝑇,𝑎,,𝑗,𝑘,𝑙   𝑋,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟   𝑌,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑙)   𝐷(𝑖)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,,𝑟,𝑎,𝑙)   𝐾(𝑟)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑙)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem hspmbllem3
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hspmbllem3.a . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
2 hspmbllem3.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
3 inss1 4245 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴
4 hspmbllem3.s . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
53, 4sstrid 4007 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
62, 5ovncl 46523 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ (0[,]+∞))
73a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴)
82, 7, 4ovnssle 46517 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
91, 6, 8ge0lere 45485 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
104ssdifssd 4157 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
112, 10ovncl 46523 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ (0[,]+∞))
12 difssd 4147 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴)
132, 12, 4ovnssle 46517 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
141, 11, 13ge0lere 45485 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
15 rexadd 13271 . . 3 ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ ∧ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) = (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))))
169, 14, 15syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) = (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))))
172adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Fin)
18 hspmbllem3.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐾𝑋)
1918ne0d 4348 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ≠ ∅)
214adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
22 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
23 hspmbllem3.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
24 hspmbllem3.l . . . . . 6 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
25 hspmbllem3.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
2617, 20, 21, 22, 23, 24, 25ovncvrrp 46520 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒))
27 hspmbllem3.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
2817adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑋 ∈ Fin)
2918ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐾𝑋)
30 hspmbllem3.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3130ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑌 ∈ ℝ)
3222adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
3321adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
34 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = → (𝑖𝑗) = (𝑗))
3534fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = → (𝐿‘(𝑖𝑗)) = (𝐿‘(𝑗)))
3635mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗))))
3736fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))))
3837breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → ((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟) ↔ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)))
3938cbvrabv 3444 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)} = { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}
4039mpteq2i 5253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)})
4140mpteq2i 5253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)})) = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
4225, 41eqtri 2763 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
43 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒))
44 hspmbllem3.10 . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (1st ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
45 hspmbllem3.11 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
4628, 33, 32, 23, 24, 42, 43, 44, 45ovncvr2 46567 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (((𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))) ∧ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒)))
4746simplld 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋)))
4847simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋))
4947simprd 495 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋))
5046simplrd 770 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘)))
5146simprd 495 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒))
521adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
5322rpred 13075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ)
5452, 53rexaddd 13273 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
5554adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
5651, 55breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
571ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
589ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
5914ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
60 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
61 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( ∈ (𝑋 ∖ {𝐾}), (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑦, (𝑐), 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( ∈ (𝑋 ∖ {𝐾}), (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑦, (𝑐), 𝑦)))))
62 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐), (𝑐), 𝑥), (𝑐))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐), (𝑐), 𝑥), (𝑐)))))
6327, 28, 29, 31, 32, 48, 49, 50, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62hspmbllem2 46583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
6463ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
6564exlimdv 1931 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
6626, 65mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
6766ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
689, 14readdcld 11288 . . . 4 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ∈ ℝ)
69 alrple 13245 . . . 4 (((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ∈ ℝ ∧ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ) → ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
7068, 1, 69syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
7167, 70mpbird 257 . 2 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
7216, 71eqbrtrd 5170 1 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1st c1st 8011  2nd c2nd 8012  m cmap 8865  Xcixp 8936  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  -∞cmnf 11291  cle 11294  cn 12264  +crp 13032   +𝑒 cxad 13150  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  cprod 15936  volcvol 25512  Σ^csumge0 46318  voln*covoln 46492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-sumge0 46319  df-ovoln 46493
This theorem is referenced by:  hspmbl  46585
  Copyright terms: Public domain W3C validator