Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hspmbllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hspmbllem3 46643
Description: Any half-space of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31. This proof handles the non-trivial cases (nonzero dimension and finite outer measure). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hspmbllem3.h 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
hspmbllem3.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hspmbllem3.i (𝜑𝐾𝑋)
hspmbllem3.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
hspmbllem3.a (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
hspmbllem3.s (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
hspmbllem3.c 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
hspmbllem3.l 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
hspmbllem3.d 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
hspmbllem3.10 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (1st ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
hspmbllem3.11 𝑇 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
Assertion
Ref Expression
hspmbllem3 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐴,𝑟,𝑎,,𝑖,𝑗   𝐵,𝑎,,𝑘,𝑙   𝐶,𝑎,,𝑖,𝑟   𝐷,𝑎,,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐷,𝑟   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘   𝐾,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,,𝑖,𝑟   𝑇,𝑎,,𝑗,𝑘,𝑙   𝑋,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟   𝑌,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑙)   𝐷(𝑖)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,,𝑟,𝑎,𝑙)   𝐾(𝑟)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑙)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem hspmbllem3
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hspmbllem3.a . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
2 hspmbllem3.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
3 inss1 4237 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴
4 hspmbllem3.s . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
53, 4sstrid 3995 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
62, 5ovncl 46582 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ (0[,]+∞))
73a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴)
82, 7, 4ovnssle 46576 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
91, 6, 8ge0lere 45545 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
104ssdifssd 4147 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
112, 10ovncl 46582 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ (0[,]+∞))
12 difssd 4137 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴)
132, 12, 4ovnssle 46576 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
141, 11, 13ge0lere 45545 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
15 rexadd 13274 . . 3 ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ ∧ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) = (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))))
169, 14, 15syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) = (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))))
172adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Fin)
18 hspmbllem3.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐾𝑋)
1918ne0d 4342 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ≠ ∅)
214adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
22 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
23 hspmbllem3.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑙𝑗))‘𝑘)})
24 hspmbllem3.l . . . . . 6 𝐿 = ( ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ )‘𝑘)))
25 hspmbllem3.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
2617, 20, 21, 22, 23, 24, 25ovncvrrp 46579 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒))
27 hspmbllem3.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
2817adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑋 ∈ Fin)
2918ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐾𝑋)
30 hspmbllem3.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3130ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑌 ∈ ℝ)
3222adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
3321adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
34 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = → (𝑖𝑗) = (𝑗))
3534fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = → (𝐿‘(𝑖𝑗)) = (𝐿‘(𝑗)))
3635mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗))))
3736fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))))
3837breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → ((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟) ↔ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)))
3938cbvrabv 3447 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)} = { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}
4039mpteq2i 5247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)})
4140mpteq2i 5247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)})) = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
4225, 41eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ { ∈ (𝐶𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
43 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒))
44 hspmbllem3.10 . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (1st ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
45 hspmbllem3.11 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ (2nd ‘((𝑖𝑗)‘𝑘))))
4628, 33, 32, 23, 24, 42, 43, 44, 45ovncvr2 46626 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (((𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))) ∧ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒)))
4746simplld 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋)))
4847simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋))
4947simprd 495 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋))
5046simplrd 770 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → 𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘)))
5146simprd 495 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒))
521adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
5322rpred 13077 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ)
5452, 53rexaddd 13276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
5554adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
5651, 55breqtrd 5169 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(((𝐵𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
571ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
589ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
5914ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
60 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
61 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( ∈ (𝑋 ∖ {𝐾}), (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑦, (𝑐), 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( ∈ (𝑋 ∖ {𝐾}), (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑦, (𝑐), 𝑦)))))
62 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐), (𝑐), 𝑥), (𝑐))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐), (𝑐), 𝑥), (𝑐)))))
6327, 28, 29, 31, 32, 48, 49, 50, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62hspmbllem2 46642 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒)) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
6463ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
6564exlimdv 1933 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷𝐴)‘𝑒) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
6626, 65mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
6766ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
689, 14readdcld 11290 . . . 4 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ∈ ℝ)
69 alrple 13248 . . . 4 (((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ∈ ℝ ∧ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ) → ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
7068, 1, 69syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
7167, 70mpbird 257 . 2 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
7216, 71eqbrtrd 5165 1 (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  m cmap 8866  Xcixp 8937  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  -∞cmnf 11293  cle 11296  cn 12266  +crp 13034   +𝑒 cxad 13152  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  cprod 15939  volcvol 25498  Σ^csumge0 46377  voln*covoln 46551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-sumge0 46378  df-ovoln 46552
This theorem is referenced by:  hspmbl  46644
  Copyright terms: Public domain W3C validator