Theorem hspmbllem3 47375

Description: Any half-space of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31. This proof handles the non-trivial cases (nonzero dimension and finite outer measure). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hspmbllem3.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘 ∈ 𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
hspmbllem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hspmbllem3.i	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
hspmbllem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
hspmbllem3.a	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
hspmbllem3.s	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
hspmbllem3.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑙‘𝑗))‘𝑘)})
hspmbllem3.l	⊢ 𝐿 = (ℎ ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ ℎ)‘𝑘)))
hspmbllem3.d	⊢ 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
hspmbllem3.10	⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ (1st ‘((𝑖‘𝑗)‘𝑘))))
hspmbllem3.11	⊢ 𝑇 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ (2nd ‘((𝑖‘𝑗)‘𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
hspmbllem3	⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐴,𝑟,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗   𝐵,𝑎,ℎ,𝑘,𝑙   𝐶,𝑎,ℎ,𝑖,𝑟   𝐷,𝑎,ℎ,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐷,𝑟   𝑖,𝐻,𝑗,𝑘   𝐾,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,ℎ,𝑖,𝑟   𝑇,𝑎,ℎ,𝑗,𝑘,𝑙   𝑋,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟   𝑌,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑖, 𝑗, 𝑟)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑗, 𝑘, 𝑙)   𝐷(𝑖)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑖, 𝑟)   𝐻(𝑥, 𝑦, ℎ, 𝑟, 𝑎, 𝑙)   𝐾(𝑟)   𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑗, 𝑘, 𝑙)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem hspmbllem3

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hspmbllem3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
2		hspmbllem3.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		inss1 4189	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴
4		hspmbllem3.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
5	3, 4	sstrid 3949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
6	2, 5	ovncl 47314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ (0[,]+∞))
7	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴)
8	2, 7, 4	ovnssle 47308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
9	1, 6, 8	ge0lere 46281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
10	4	ssdifssd 4101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
11	2, 10	ovncl 47314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ (0[,]+∞))
12		difssd 4091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)) ⊆ 𝐴)
13	2, 12, 4	ovnssle 47308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
14	1, 11, 13	ge0lere 46281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
15		rexadd 13269	. . 3 ⊢ ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ ∧ ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) = (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))))
16	9, 14, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) = (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))))
17	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Fin)
18		hspmbllem3.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
19	18	ne0d 4295	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ≠ ∅)
21	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
22		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
23		hspmbllem3.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ {𝑙 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ) ∣ 𝑎 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑙‘𝑗))‘𝑘)})
24		hspmbllem3.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℎ ∈ ((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ ℎ)‘𝑘)))
25		hspmbllem3.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
26	17, 20, 21, 22, 23, 24, 25	ovncvrrp 47311	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒))
27		hspmbllem3.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘 ∈ 𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
28	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝑋 ∈ Fin)
29	18	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝐾 ∈ 𝑋)
30		hspmbllem3.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
31	30	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝑌 ∈ ℝ)
32	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
33	21	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
34		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = ℎ → (𝑖‘𝑗) = (ℎ‘𝑗))
35	34	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = ℎ → (𝐿‘(𝑖‘𝑗)) = (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))
36	35	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = ℎ → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗))))
37	36	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = ℎ → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))))
38	37	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = ℎ → ((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟) ↔ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)))
39	38	cbvrabv 3428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑖 ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)} = {ℎ ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}
40	39	mpteq2i 5209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {ℎ ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)})
41	40	mpteq2i 5209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑖 ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(𝑖‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)})) = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {ℎ ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
42	25, 41	eqtri 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {ℎ ∈ (𝐶‘𝑎) ∣ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐿‘(ℎ‘𝑗)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝑎) +𝑒 𝑟)}))
43		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒))
44		hspmbllem3.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ (1st ‘((𝑖‘𝑗)‘𝑘))))
45		hspmbllem3.11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ (2nd ‘((𝑖‘𝑗)‘𝑘))))
46	28, 33, 32, 23, 24, 42, 43, 44, 45	ovncvr2 47358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (((𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇‘𝑗)‘𝑘))) ∧ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝐵‘𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇‘𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒)))
47	46	simplld 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋)))
48	47	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝐵:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋))
49	47	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝑇:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑋))
50	46	simplrd 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (((𝐵‘𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇‘𝑗)‘𝑘)))
51	46	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝐵‘𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇‘𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒))
52	1	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
53	22	rpred 13071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ)
54	52, 53	rexaddd 13271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 𝑒) = (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
56	51, 55	breqtrd 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(((𝐵‘𝑗)‘𝑘)[,)((𝑇‘𝑗)‘𝑘))))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
57	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ)
58	9	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
59	14	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) ∈ ℝ)
60		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
61		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ ∈ (𝑋 ∖ {𝐾}), (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑦, (𝑐‘ℎ), 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ ∈ (𝑋 ∖ {𝐾}), (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑦, (𝑐‘ℎ), 𝑦)))))
62		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐‘ℎ), (𝑐‘ℎ), 𝑥), (𝑐‘ℎ))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐‘ℎ), (𝑐‘ℎ), 𝑥), (𝑐‘ℎ)))))
63	27, 28, 29, 31, 32, 48, 49, 50, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62	hspmbllem2 47374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒)) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
64	63	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
65	64	exlimdv 1966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 𝑖 ∈ ((𝐷‘𝐴)‘𝑒) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
66	26, 65	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
67	66	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒))
68	9, 14	readdcld 11249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ∈ ℝ)
69		alrple 13243	. . . 4 ⊢ (((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ∈ ℝ ∧ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ∈ ℝ) → ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
70	68, 1, 69	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) + 𝑒)))
71	67, 70	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) + ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
72	16, 71	eqbrtrd 5135	1 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌))) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ (𝐾(𝐻‘𝑋)𝑌)))) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  {crab 3418   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ifcif 4489  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  ∪ ciun 4958   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987   ↑_m cmap 8826  Xcixp 8897  Fincfn 8945  ℝcr 11110  0cc0 11111   + caddc 11114  -∞cmnf 11252   ≤ cle 11255  ℕcn 12244  ℝ⁺crp 13027   +_𝑒 cxad 13146  (,)cioo 13383  [,)cico 13385  ∏cprod 15975  volcvol 25651  Σ^{^}csumge0 47109  voln*covoln 47283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-sum 15757  df-prod 15976  df-rest 17492  df-topgen 17513  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-top 23080  df-topon 23097  df-bases 23132  df-cmp 23573  df-ovol 25652  df-vol 25653  df-sumge0 47110  df-ovoln 47284

This theorem is used by:  hspmbl  47376