MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoco Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmoco 24245
Description: An upper bound on the operator norm of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoco.1 𝑁 = (𝑆 normOp π‘ˆ)
nmoco.2 𝐿 = (𝑇 normOp π‘ˆ)
nmoco.3 𝑀 = (𝑆 normOp 𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoco ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)))
Proof of Theorem nmoco
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoco.1 . 2 𝑁 = (𝑆 normOp π‘ˆ)
2 eqid 2732 . 2 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2732 . 2 (normβ€˜π‘†) = (normβ€˜π‘†)
4 eqid 2732 . 2 (normβ€˜π‘ˆ) = (normβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2732 . 2 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
6 nghmrcl1 24240 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
76adantl 482 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
8 nghmrcl2 24241 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
98adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
10 nghmghm 24242 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom π‘ˆ))
11 nghmghm 24242 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
12 ghmco 19106 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
1310, 11, 12syl2an 596 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
14 nmoco.2 . . . 4 𝐿 = (𝑇 normOp π‘ˆ)
1514nghmcl 24235 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ (πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
16 nmoco.3 . . . 4 𝑀 = (𝑆 normOp 𝑇)
1716nghmcl 24235 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ ℝ)
18 remulcl 11191 . . 3 (((πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (π‘€β€˜πΊ) ∈ ℝ) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
1915, 17, 18syl2an 596 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
20 nghmrcl1 24240 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
2114nmoge0 24229 . . . . 5 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom π‘ˆ)) β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ))
2220, 8, 10, 21syl3anc 1371 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ))
2315, 22jca 512 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ)))
24 nghmrcl2 24241 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
2516nmoge0 24229 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜πΊ))
266, 24, 11, 25syl3anc 1371 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜πΊ))
2717, 26jca 512 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜πΊ)))
28 mulge0 11728 . . 3 ((((πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜πΊ))) β†’ 0 ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)))
2923, 27, 28syl2an 596 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)))
308ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
3110ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom π‘ˆ))
32 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
33 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3432, 33ghmf 19090 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom π‘ˆ) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‡)⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
3531, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‡)⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
3611ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
372, 32ghmf 19090 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
39 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
4038, 39ffvelcdmd 7084 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
4135, 40ffvelcdmd 7084 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
4233, 4nmcl 24116 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
4330, 41, 42syl2anc 584 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
4415ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
4520ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
46 eqid 2732 . . . . . . 7 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
4732, 46nmcl 24116 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
4845, 40, 47syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
4944, 48remulcld 11240 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
5017ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ ℝ)
512, 3nmcl 24116 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
526, 51sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5352ad2ant2lr 746 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5450, 53remulcld 11240 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5544, 54remulcld 11240 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
56 simpll 765 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ))
5714, 32, 46, 4nmoi 24236 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
5856, 40, 57syl2anc 584 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
5923ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ)))
6016, 2, 3, 46nmoi 24236 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
6160ad2ant2lr 746 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
62 lemul2a 12065 . . . . 5 (((((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ ((πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ))) ∧ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))))
6348, 54, 59, 61, 62syl31anc 1373 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))))
6443, 49, 55, 58, 63letrd 11367 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))))
65 fvco3 6987 . . . . 5 ((𝐺:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
6638, 39, 65syl2anc 584 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
6766fveq2d 6892 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
6844recnd 11238 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
6950recnd 11238 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ β„‚)
7053recnd 11238 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7168, 69, 70mulassd 11233 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))))
7264, 67, 713brtr4d 5179 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘₯)) ≀ (((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
731, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 19, 29, 72nmolb2d 24226 1 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  Basecbs 17140  0gc0g 17381   GrpHom cghm 19083  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077   normOp cnmo 24213   NGHom cnghm 24214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nmo 24216  df-nghm 24217
This theorem is referenced by:  nghmco  24246
  Copyright terms: Public domain W3C validator