MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoco 24641
Description: An upper bound on the operator norm of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoco.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑈)
nmoco.2 𝐿 = (𝑇 normOp 𝑈)
nmoco.3 𝑀 = (𝑆 normOp 𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoco ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝐹𝐺)) ≤ ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)))

Proof of Theorem nmoco
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoco.1 . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑈)
2 eqid 2727 . 2 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2727 . 2 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4 eqid 2727 . 2 (norm‘𝑈) = (norm‘𝑈)
5 eqid 2727 . 2 (0g𝑆) = (0g𝑆)
6 nghmrcl1 24636 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
76adantl 481 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
8 nghmrcl2 24637 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
98adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
10 nghmghm 24638 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
11 nghmghm 24638 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
12 ghmco 19181 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
1310, 11, 12syl2an 595 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
14 nmoco.2 . . . 4 𝐿 = (𝑇 normOp 𝑈)
1514nghmcl 24631 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → (𝐿𝐹) ∈ ℝ)
16 nmoco.3 . . . 4 𝑀 = (𝑆 normOp 𝑇)
1716nghmcl 24631 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝑀𝐺) ∈ ℝ)
18 remulcl 11215 . . 3 (((𝐿𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝑀𝐺) ∈ ℝ) → ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)) ∈ ℝ)
1915, 17, 18syl2an 595 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)) ∈ ℝ)
20 nghmrcl1 24636 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2114nmoge0 24625 . . . . 5 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈)) → 0 ≤ (𝐿𝐹))
2220, 8, 10, 21syl3anc 1369 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 0 ≤ (𝐿𝐹))
2315, 22jca 511 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → ((𝐿𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝐹)))
24 nghmrcl2 24637 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2516nmoge0 24625 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑀𝐺))
266, 24, 11, 25syl3anc 1369 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 0 ≤ (𝑀𝐺))
2717, 26jca 511 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑀𝐺) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐺)))
28 mulge0 11754 . . 3 ((((𝐿𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝐹)) ∧ ((𝑀𝐺) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐺))) → 0 ≤ ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)))
2923, 27, 28syl2an 595 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 0 ≤ ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)))
308ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
3110ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
32 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
33 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3432, 33ghmf 19165 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑇)⟶(Base‘𝑈))
3531, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹:(Base‘𝑇)⟶(Base‘𝑈))
3611ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
372, 32ghmf 19165 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐺:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝐺:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
39 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
4038, 39ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
4135, 40ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑈))
4233, 4nmcl 24512 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑈)) → ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
4330, 41, 42syl2anc 583 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
4415ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝐹) ∈ ℝ)
4520ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
46 eqid 2727 . . . . . . 7 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
4732, 46nmcl 24512 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
4845, 40, 47syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
4944, 48remulcld 11266 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐿𝐹) · ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
5017ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀𝐺) ∈ ℝ)
512, 3nmcl 24512 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
526, 51sylan 579 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
5352ad2ant2lr 747 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
5450, 53remulcld 11266 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ∈ ℝ)
5544, 54remulcld 11266 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐿𝐹) · ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))) ∈ ℝ)
56 simpll 766 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈))
5714, 32, 46, 4nmoi 24632 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) ≤ ((𝐿𝐹) · ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥))))
5856, 40, 57syl2anc 583 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) ≤ ((𝐿𝐹) · ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥))))
5923ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐿𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝐹)))
6016, 2, 3, 46nmoi 24632 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ≤ ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
6160ad2ant2lr 747 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ≤ ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
62 lemul2a 12091 . . . . 5 (((((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝐹))) ∧ ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ≤ ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))) → ((𝐿𝐹) · ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥))) ≤ ((𝐿𝐹) · ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
6348, 54, 59, 61, 62syl31anc 1371 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐿𝐹) · ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥))) ≤ ((𝐿𝐹) · ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
6443, 49, 55, 58, 63letrd 11393 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) ≤ ((𝐿𝐹) · ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
65 fvco3 6991 . . . . 5 ((𝐺:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
6638, 39, 65syl2anc 583 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
6766fveq2d 6895 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑈)‘((𝐹𝐺)‘𝑥)) = ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))))
6844recnd 11264 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝐹) ∈ ℂ)
6950recnd 11264 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀𝐺) ∈ ℂ)
7053recnd 11264 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
7168, 69, 70mulassd 11259 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((𝐿𝐹) · ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
7264, 67, 713brtr4d 5174 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑈)‘((𝐹𝐺)‘𝑥)) ≤ (((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
731, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 19, 29, 72nmolb2d 24622 1 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝐹𝐺)) ≤ ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  ccom 5676  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11129  0cc0 11130   · cmul 11135  cle 11271  Basecbs 17171  0gc0g 17412   GrpHom cghm 19158  normcnm 24472  NrmGrpcngp 24473   normOp cnmo 24609   NGHom cnghm 24610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13354  df-0g 17414  df-topgen 17416  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-ghm 19159  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-xms 24213  df-ms 24214  df-nm 24478  df-ngp 24479  df-nmo 24612  df-nghm 24613
This theorem is referenced by:  nghmco  24642
  Copyright terms: Public domain W3C validator