MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoco Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmoco 24254
Description: An upper bound on the operator norm of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoco.1 𝑁 = (𝑆 normOp π‘ˆ)
nmoco.2 𝐿 = (𝑇 normOp π‘ˆ)
nmoco.3 𝑀 = (𝑆 normOp 𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoco ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)))
Proof of Theorem nmoco
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoco.1 . 2 𝑁 = (𝑆 normOp π‘ˆ)
2 eqid 2733 . 2 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2733 . 2 (normβ€˜π‘†) = (normβ€˜π‘†)
4 eqid 2733 . 2 (normβ€˜π‘ˆ) = (normβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2733 . 2 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
6 nghmrcl1 24249 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
76adantl 483 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
8 nghmrcl2 24250 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
98adantr 482 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
10 nghmghm 24251 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom π‘ˆ))
11 nghmghm 24251 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
12 ghmco 19112 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
1310, 11, 12syl2an 597 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
14 nmoco.2 . . . 4 𝐿 = (𝑇 normOp π‘ˆ)
1514nghmcl 24244 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ (πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
16 nmoco.3 . . . 4 𝑀 = (𝑆 normOp 𝑇)
1716nghmcl 24244 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ ℝ)
18 remulcl 11195 . . 3 (((πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (π‘€β€˜πΊ) ∈ ℝ) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
1915, 17, 18syl2an 597 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
20 nghmrcl1 24249 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
2114nmoge0 24238 . . . . 5 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom π‘ˆ)) β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ))
2220, 8, 10, 21syl3anc 1372 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ))
2315, 22jca 513 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ)))
24 nghmrcl2 24250 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
2516nmoge0 24238 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜πΊ))
266, 24, 11, 25syl3anc 1372 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜πΊ))
2717, 26jca 513 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜πΊ)))
28 mulge0 11732 . . 3 ((((πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜πΊ))) β†’ 0 ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)))
2923, 27, 28syl2an 597 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)))
308ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
3110ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom π‘ˆ))
32 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
33 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3432, 33ghmf 19096 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom π‘ˆ) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‡)⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
3531, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‡)⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
3611ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
372, 32ghmf 19096 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
39 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
4038, 39ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
4135, 40ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
4233, 4nmcl 24125 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
4330, 41, 42syl2anc 585 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
4415ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
4520ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
46 eqid 2733 . . . . . . 7 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
4732, 46nmcl 24125 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
4845, 40, 47syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
4944, 48remulcld 11244 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
5017ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ ℝ)
512, 3nmcl 24125 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
526, 51sylan 581 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5352ad2ant2lr 747 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5450, 53remulcld 11244 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5544, 54remulcld 11244 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
56 simpll 766 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ))
5714, 32, 46, 4nmoi 24245 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
5856, 40, 57syl2anc 585 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
5923ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ)))
6016, 2, 3, 46nmoi 24245 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
6160ad2ant2lr 747 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
62 lemul2a 12069 . . . . 5 (((((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ ((πΏβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΏβ€˜πΉ))) ∧ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))))
6348, 54, 59, 61, 62syl31anc 1374 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))))
6443, 49, 55, 58, 63letrd 11371 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))))
65 fvco3 6991 . . . . 5 ((𝐺:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
6638, 39, 65syl2anc 585 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
6766fveq2d 6896 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
6844recnd 11242 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
6950recnd 11242 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ β„‚)
7053recnd 11242 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7168, 69, 70mulassd 11237 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((πΏβ€˜πΉ) Β· ((π‘€β€˜πΊ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))))
7264, 67, 713brtr4d 5181 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘ˆ)β€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘₯)) ≀ (((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
731, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 19, 29, 72nmolb2d 24235 1 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom π‘ˆ) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((πΏβ€˜πΉ) Β· (π‘€β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  Basecbs 17144  0gc0g 17385   GrpHom cghm 19089  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086   normOp cnmo 24222   NGHom cnghm 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-ghm 19090  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nmo 24225  df-nghm 24226
This theorem is referenced by:  nghmco  24255
  Copyright terms: Public domain W3C validator