MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoco 24101
Description: An upper bound on the operator norm of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoco.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑈)
nmoco.2 𝐿 = (𝑇 normOp 𝑈)
nmoco.3 𝑀 = (𝑆 normOp 𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoco ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝐹𝐺)) ≤ ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)))

Proof of Theorem nmoco
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoco.1 . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑈)
2 eqid 2736 . 2 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2736 . 2 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4 eqid 2736 . 2 (norm‘𝑈) = (norm‘𝑈)
5 eqid 2736 . 2 (0g𝑆) = (0g𝑆)
6 nghmrcl1 24096 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
76adantl 482 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
8 nghmrcl2 24097 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
98adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
10 nghmghm 24098 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
11 nghmghm 24098 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
12 ghmco 19028 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
1310, 11, 12syl2an 596 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
14 nmoco.2 . . . 4 𝐿 = (𝑇 normOp 𝑈)
1514nghmcl 24091 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → (𝐿𝐹) ∈ ℝ)
16 nmoco.3 . . . 4 𝑀 = (𝑆 normOp 𝑇)
1716nghmcl 24091 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → (𝑀𝐺) ∈ ℝ)
18 remulcl 11136 . . 3 (((𝐿𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝑀𝐺) ∈ ℝ) → ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)) ∈ ℝ)
1915, 17, 18syl2an 596 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)) ∈ ℝ)
20 nghmrcl1 24096 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2114nmoge0 24085 . . . . 5 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈)) → 0 ≤ (𝐿𝐹))
2220, 8, 10, 21syl3anc 1371 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 0 ≤ (𝐿𝐹))
2315, 22jca 512 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → ((𝐿𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝐹)))
24 nghmrcl2 24097 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2516nmoge0 24085 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑀𝐺))
266, 24, 11, 25syl3anc 1371 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 0 ≤ (𝑀𝐺))
2717, 26jca 512 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑀𝐺) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐺)))
28 mulge0 11673 . . 3 ((((𝐿𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝐹)) ∧ ((𝑀𝐺) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐺))) → 0 ≤ ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)))
2923, 27, 28syl2an 596 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 0 ≤ ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)))
308ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
3110ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
32 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
33 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3432, 33ghmf 19012 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑇)⟶(Base‘𝑈))
3531, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹:(Base‘𝑇)⟶(Base‘𝑈))
3611ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
372, 32ghmf 19012 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐺:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝐺:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
39 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
4038, 39ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
4135, 40ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑈))
4233, 4nmcl 23972 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑈)) → ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
4330, 41, 42syl2anc 584 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
4415ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝐹) ∈ ℝ)
4520ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
46 eqid 2736 . . . . . . 7 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
4732, 46nmcl 23972 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
4845, 40, 47syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
4944, 48remulcld 11185 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐿𝐹) · ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
5017ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀𝐺) ∈ ℝ)
512, 3nmcl 23972 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
526, 51sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
5352ad2ant2lr 746 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
5450, 53remulcld 11185 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ∈ ℝ)
5544, 54remulcld 11185 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐿𝐹) · ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))) ∈ ℝ)
56 simpll 765 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈))
5714, 32, 46, 4nmoi 24092 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) ≤ ((𝐿𝐹) · ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥))))
5856, 40, 57syl2anc 584 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) ≤ ((𝐿𝐹) · ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥))))
5923ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐿𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝐹)))
6016, 2, 3, 46nmoi 24092 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ≤ ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
6160ad2ant2lr 746 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ≤ ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
62 lemul2a 12010 . . . . 5 (((((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝐹) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝐹))) ∧ ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥)) ≤ ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))) → ((𝐿𝐹) · ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥))) ≤ ((𝐿𝐹) · ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
6348, 54, 59, 61, 62syl31anc 1373 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐿𝐹) · ((norm‘𝑇)‘(𝐺𝑥))) ≤ ((𝐿𝐹) · ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
6443, 49, 55, 58, 63letrd 11312 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))) ≤ ((𝐿𝐹) · ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
65 fvco3 6940 . . . . 5 ((𝐺:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
6638, 39, 65syl2anc 584 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
6766fveq2d 6846 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑈)‘((𝐹𝐺)‘𝑥)) = ((norm‘𝑈)‘(𝐹‘(𝐺𝑥))))
6844recnd 11183 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝐹) ∈ ℂ)
6950recnd 11183 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀𝐺) ∈ ℂ)
7053recnd 11183 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
7168, 69, 70mulassd 11178 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((𝐿𝐹) · ((𝑀𝐺) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
7264, 67, 713brtr4d 5137 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑈)‘((𝐹𝐺)‘𝑥)) ≤ (((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
731, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 19, 29, 72nmolb2d 24082 1 ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝐹𝐺)) ≤ ((𝐿𝐹) · (𝑀𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056  cle 11190  Basecbs 17083  0gc0g 17321   GrpHom cghm 19005  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933   normOp cnmo 24069   NGHom cnghm 24070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-ghm 19006  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nmo 24072  df-nghm 24073
This theorem is referenced by:  nghmco  24102
  Copyright terms: Public domain W3C validator