Theorem rnghmco 45353

Description: The composition of non-unital ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rnghmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHomo 𝑈))

Proof of Theorem rnghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnghmrcl 45335	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) → (𝑇 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng))
2	1	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) → 𝑈 ∈ Rng)
3		rnghmrcl 45335	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
4	3	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇) → 𝑆 ∈ Rng)
5	2, 4	anim12ci 613	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng))
6		rnghmghm 45344	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
7		rnghmghm 45344	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
8		ghmco 18769	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
9	6, 7, 8	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
12	10, 11	rnghmmgmhm 45340	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
14	13, 10	rnghmmgmhm 45340	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
15		mgmhmco 45243	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MgmHom (mulGrp‘𝑈)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
16	12, 14, 15	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
17	9, 16	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈))))
18	13, 11	isrnghmmul 45339	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHomo 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))))
19	5, 17, 18	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHomo 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   GrpHom cghm 18746  mulGrpcmgp 19635   MgmHom cmgmhm 45219  Rngcrng 45320   RngHomo crngh 45331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-ghm 18747  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-mgmhm 45221  df-rng0 45321  df-rnghomo 45333

This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetclem2  45422  rngccatidALTV  45435