Theorem rnghmco 20405

Description: The composition of non-unital ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rnghmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHom 𝑈))

Proof of Theorem rnghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnghmrcl 20386	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → (𝑇 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng))
2	1	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Rng)
3		rnghmrcl 20386	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
4	3	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Rng)
5	2, 4	anim12ci 615	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng))
6		rnghmghm 20395	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
7		rnghmghm 20395	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
8		ghmco 19177	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
9	6, 7, 8	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
12	10, 11	rnghmmgmhm 20391	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
14	13, 10	rnghmmgmhm 20391	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
15		mgmhmco 18651	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MgmHom (mulGrp‘𝑈)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
16	12, 14, 15	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
17	9, 16	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈))))
18	13, 11	isrnghmmul 20390	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))))
19	5, 17, 18	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   MgmHom cmgmhm 18627   GrpHom cghm 19153  mulGrpcmgp 20087  Rngcrng 20099   RngHom crnghm 20382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-mgmhm 18629  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-grp 18878  df-ghm 19154  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-rnghm 20384

This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetclem2  20577  rngccatidALTV  48629