Theorem rnghmco 20373

Description: The composition of non-unital ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rnghmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHom 𝑈))

Proof of Theorem rnghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnghmrcl 20354	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → (𝑇 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng))
2	1	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Rng)
3		rnghmrcl 20354	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
4	3	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Rng)
5	2, 4	anim12ci 614	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng))
6		rnghmghm 20363	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
7		rnghmghm 20363	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
8		ghmco 19175	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
10		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
11		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
12	10, 11	rnghmmgmhm 20359	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
13		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
14	13, 10	rnghmmgmhm 20359	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
15		mgmhmco 18648	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MgmHom (mulGrp‘𝑈)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
16	12, 14, 15	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
17	9, 16	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈))))
18	13, 11	isrnghmmul 20358	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))))
19	5, 17, 18	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   MgmHom cmgmhm 18624   GrpHom cghm 19151  mulGrpcmgp 20056  Rngcrng 20068   RngHom crnghm 20350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-mgmhm 18626  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-grp 18875  df-ghm 19152  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-rnghm 20352

This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetclem2  20548  rngccatidALTV  48264