Theorem rnghmco 20572

Description: The composition of non-unital ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rnghmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHom 𝑈))

Proof of Theorem rnghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnghmrcl 20553	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → (𝑇 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng))
2	1	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Rng)
3		rnghmrcl 20553	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
4	3	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Rng)
5	2, 4	anim12ci 626	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng))
6		rnghmghm 20562	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
7		rnghmghm 20562	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
8		ghmco 19337	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
10		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
11		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
12	10, 11	rnghmmgmhm 20558	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
13		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
14	13, 10	rnghmmgmhm 20558	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
15		mgmhmco 18801	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MgmHom (mulGrp‘𝑈)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
16	12, 14, 15	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
17	9, 16	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈))))
18	13, 11	isrnghmmul 20557	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))))
19	5, 17, 18	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RngHom 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ∘ ccom 5670  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   MgmHom cmgmhm 18777   GrpHom cghm 19314  mulGrpcmgp 20247  Rngcrng 20261   RngHom crnghm 20549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-mgmhm 18779  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-grp 19034  df-ghm 19315  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-rnghm 20551

This theorem is used by:  rnghmsubcsetclem2  20768  rngccatidALTV  49078