Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnghmco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnghmco 44394
Description: The composition of non-unital ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
rnghmco ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RngHomo 𝑈))

Proof of Theorem rnghmco
StepHypRef Expression
1 rnghmrcl 44376 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) → (𝑇 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng))
21simprd 499 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) → 𝑈 ∈ Rng)
3 rnghmrcl 44376 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
43simpld 498 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇) → 𝑆 ∈ Rng)
52, 4anim12ci 616 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng))
6 rnghmghm 44385 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
7 rnghmghm 44385 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
8 ghmco 18374 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
96, 7, 8syl2an 598 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
10 eqid 2824 . . . . 5 (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
11 eqid 2824 . . . . 5 (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
1210, 11rnghmmgmhm 44381 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
13 eqid 2824 . . . . 5 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1413, 10rnghmmgmhm 44381 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
15 mgmhmco 44284 . . . 4 ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MgmHom (mulGrp‘𝑈)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))) → (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
1612, 14, 15syl2an 598 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))
179, 16jca 515 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈))))
1813, 11isrnghmmul 44380 . 2 ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RngHomo 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ Rng) ∧ ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑈)))))
195, 17, 18sylanbrc 586 1 ((𝐹 ∈ (𝑇 RngHomo 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RngHomo 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  ccom 5546  cfv 6343  (class class class)co 7145   GrpHom cghm 18351  mulGrpcmgp 19235   MgmHom cmgmhm 44260  Rngcrng 44361   RngHomo crngh 44372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-grp 18102  df-ghm 18352  df-abl 18905  df-mgp 19236  df-mgmhm 44262  df-rng0 44362  df-rnghomo 44374
This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetclem2  44463  rngccatidALTV  44476
  Copyright terms: Public domain W3C validator