Theorem nghmco 25066

Description: The composition of normed group homomorphisms is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nghmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))

Proof of Theorem nghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nghmrcl1 25060	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3		nghmrcl2 25061	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
5		nghmghm 25062	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
6		nghmghm 25062	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
7		ghmco 19459	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
8	5, 6, 7	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑇 normOp 𝑈) = (𝑇 normOp 𝑈)
10	9	nghmcl 25055	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → ((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) ∈ ℝ)
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑆 normOp 𝑇) = (𝑆 normOp 𝑇)
12	11	nghmcl 25055	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ)
13		remulcl 11292	. . 3 ⊢ ((((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ) → (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ)
15		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑆 normOp 𝑈) = (𝑆 normOp 𝑈)
16	15, 9, 11	nmoco 25065	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑈)‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))
17	15	bddnghm 25054	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)) ∧ ((((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 normOp 𝑈)‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))
18	2, 4, 8, 14, 16, 17	syl32anc 1405	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206   · cmul 11212   ≤ cle 11351   GrpHom cghm 19436  NrmGrpcngp 24905   normOp cnmo 25033   NGHom cnghm 25034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ico 13489  df-0g 17621  df-topgen 17623  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-grp 19156  df-ghm 19437  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-xms 24648  df-ms 24649  df-nm 24910  df-ngp 24911  df-nmo 25036  df-nghm 25037

This theorem is used by:  nmhmco  25084