Theorem nghmco 24575

Description: The composition of normed group homomorphisms is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nghmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))

Proof of Theorem nghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nghmrcl1 24569	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3		nghmrcl2 24570	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
5		nghmghm 24571	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
6		nghmghm 24571	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
7		ghmco 19157	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
8	5, 6, 7	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑇 normOp 𝑈) = (𝑇 normOp 𝑈)
10	9	nghmcl 24564	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → ((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) ∈ ℝ)
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑆 normOp 𝑇) = (𝑆 normOp 𝑇)
12	11	nghmcl 24564	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ)
13		remulcl 11201	. . 3 ⊢ ((((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ) → (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ)
15		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑆 normOp 𝑈) = (𝑆 normOp 𝑈)
16	15, 9, 11	nmoco 24574	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑈)‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))
17	15	bddnghm 24563	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)) ∧ ((((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 normOp 𝑈)‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))
18	2, 4, 8, 14, 16, 17	syl32anc 1377	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115   · cmul 11121   ≤ cle 11256   GrpHom cghm 19134  NrmGrpcngp 24406   normOp cnmo 24542   NGHom cnghm 24543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ico 13337  df-0g 17394  df-topgen 17396  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-ghm 19135  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-xms 24146  df-ms 24147  df-nm 24411  df-ngp 24412  df-nmo 24545  df-nghm 24546

This theorem is referenced by:  nmhmco  24593