Theorem nghmco 23636

Description: The composition of normed group homomorphisms is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nghmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))

Proof of Theorem nghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nghmrcl1 23630	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2	1	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3		nghmrcl2 23631	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
5		nghmghm 23632	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
6		nghmghm 23632	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
7		ghmco 18642	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
8	5, 6, 7	syl2an 599	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑇 normOp 𝑈) = (𝑇 normOp 𝑈)
10	9	nghmcl 23625	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → ((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) ∈ ℝ)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑆 normOp 𝑇) = (𝑆 normOp 𝑇)
12	11	nghmcl 23625	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ)
13		remulcl 10814	. . 3 ⊢ ((((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ) → (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2an 599	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ)
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑆 normOp 𝑈) = (𝑆 normOp 𝑈)
16	15, 9, 11	nmoco 23635	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑈)‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))
17	15	bddnghm 23624	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)) ∧ ((((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 normOp 𝑈)‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))
18	2, 4, 8, 14, 16, 17	syl32anc 1380	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053   ∘ ccom 5555  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728   · cmul 10734   ≤ cle 10868   GrpHom cghm 18619  NrmGrpcngp 23475   normOp cnmo 23603   NGHom cnghm 23604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ico 12941  df-0g 16946  df-topgen 16948  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-grp 18368  df-ghm 18620  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-xms 23218  df-ms 23219  df-nm 23480  df-ngp 23481  df-nmo 23606  df-nghm 23607

This theorem is referenced by:  nmhmco  23654