Theorem nghmco 24475

Description: The composition of normed group homomorphisms is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nghmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))

Proof of Theorem nghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nghmrcl1 24469	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2	1	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3		nghmrcl2 24470	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
5		nghmghm 24471	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
6		nghmghm 24471	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
7		ghmco 19150	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
8	5, 6, 7	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
9		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑇 normOp 𝑈) = (𝑇 normOp 𝑈)
10	9	nghmcl 24464	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) → ((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) ∈ ℝ)
11		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑆 normOp 𝑇) = (𝑆 normOp 𝑇)
12	11	nghmcl 24464	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ)
13		remulcl 11197	. . 3 ⊢ ((((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺) ∈ ℝ) → (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ)
15		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑆 normOp 𝑈) = (𝑆 normOp 𝑈)
16	15, 9, 11	nmoco 24474	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → ((𝑆 normOp 𝑈)‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))
17	15	bddnghm 24463	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)) ∧ ((((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 normOp 𝑈)‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ (((𝑇 normOp 𝑈)‘𝐹) · ((𝑆 normOp 𝑇)‘𝐺)))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))
18	2, 4, 8, 14, 16, 17	syl32anc 1376	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147   ∘ ccom 5679  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   · cmul 11117   ≤ cle 11253   GrpHom cghm 19127  NrmGrpcngp 24306   normOp cnmo 24442   NGHom cnghm 24443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-ghm 19128  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nmo 24445  df-nghm 24446

This theorem is referenced by:  nmhmco  24493