Theorem rhmco 20473

Description: The composition of ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))

Proof of Theorem rhmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl2 20452	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Ring)
2		rhmrcl1 20451	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Ring)
3	1, 2	anim12ci 615	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring))
4		rhmghm 20458	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
5		rhmghm 20458	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
6		ghmco 19206	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
7	4, 5, 6	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
10	8, 9	rhmmhm 20454	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
12	11, 8	rhmmhm 20454	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
13		mhmco 18786	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
14	10, 12, 13	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
15	7, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈))))
16	11, 9	isrhm 20453	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))))
17	3, 15, 16	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5630  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   MndHom cmhm 18744   GrpHom cghm 19182  mulGrpcmgp 20116  Ringcrg 20209   RingHom crh 20444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-ghm 19183  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rhm 20447

This theorem is referenced by:  rhmsubcsetclem2  20633  rhmsubcrngclem2  20639  rhmsubclem4  20660  chrrhm  21525  evls1rhm  22301  evl1rhm  22311  aks5lem1  42643  rimco  42981  selvcllem2  43029  selvvvval  43036  rhmsubcALTVlem4  48776  funcringcsetcALTV2lem9  48790  ringccatidALTV  48798  funcringcsetclem9ALTV  48813