Theorem rhmco 20476

Description: The composition of ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))

Proof of Theorem rhmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl2 20452	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Ring)
2		rhmrcl1 20451	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Ring)
3	1, 2	anim12ci 621	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring))
4		rhmghm 20458	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
5		rhmghm 20458	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
6		ghmco 19206	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
7	4, 5, 6	syl2an 603	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
8		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
9		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
10	8, 9	rhmmhm 20454	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
11		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
12	11, 8	rhmmhm 20454	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
13		mhmco 18786	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
14	10, 12, 13	syl2an 603	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
15	7, 14	jca 517	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈))))
16	11, 9	isrhm 20453	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))))
17	3, 15, 16	sylanbrc 590	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   MndHom cmhm 18744   GrpHom cghm 19182  mulGrpcmgp 20116  Ringcrg 20209   RingHom crh 20444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-ghm 19183  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rhm 20447

This theorem is referenced by:  rhmsubcsetclem2  20637  rhmsubcrngclem2  20643  rhmsubclem4  20664  chrrhm  21510  selvcllem2  22115  selvvvval  22122  evls1rhm  22312  evl1rhm  22322  aks5lem1  42686  rimco  43020  rhmsubcALTVlem4  48789  funcringcsetcALTV2lem9  48803  ringccatidALTV  48811  funcringcsetclem9ALTV  48826