Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmco 19489
 Description: The composition of ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
rhmco ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))

Proof of Theorem rhmco
StepHypRef Expression
1 rhmrcl2 19472 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Ring)
2 rhmrcl1 19471 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Ring)
31, 2anim12ci 616 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring))
4 rhmghm 19477 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
5 rhmghm 19477 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
6 ghmco 18374 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
74, 5, 6syl2an 598 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
8 eqid 2801 . . . . 5 (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
9 eqid 2801 . . . . 5 (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
108, 9rhmmhm 19474 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
11 eqid 2801 . . . . 5 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1211, 8rhmmhm 19474 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
13 mhmco 17984 . . . 4 ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))) → (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
1410, 12, 13syl2an 598 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
157, 14jca 515 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈))))
1611, 9isrhm 19473 . 2 ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring) ∧ ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))))
173, 15, 16sylanbrc 586 1 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   MndHom cmhm 17950   GrpHom cghm 18351  mulGrpcmgp 19236  Ringcrg 19294   RingHom crh 19464 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-grp 18102  df-ghm 18352  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-rnghom 19467 This theorem is referenced by:  chrrhm  20227  evls1rhm  20950  evl1rhm  20960  selvval2lem2  39425  rhmsubcsetclem2  44643  rhmsubcrngclem2  44649  funcringcsetcALTV2lem9  44665  ringccatidALTV  44673  funcringcsetclem9ALTV  44688  rhmsubclem4  44710  rhmsubcALTVlem4  44728
 Copyright terms: Public domain W3C validator