MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmco 19130
Description: The composition of ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
rhmco ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))

Proof of Theorem rhmco
StepHypRef Expression
1 rhmrcl2 19113 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Ring)
2 rhmrcl1 19112 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Ring)
31, 2anim12ci 607 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring))
4 rhmghm 19118 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈))
5 rhmghm 19118 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
6 ghmco 18068 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
74, 5, 6syl2an 589 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
8 eqid 2778 . . . . 5 (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
9 eqid 2778 . . . . 5 (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
108, 9rhmmhm 19115 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
11 eqid 2778 . . . . 5 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1211, 8rhmmhm 19115 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
13 mhmco 17752 . . . 4 ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑇) MndHom (mulGrp‘𝑈)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))) → (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
1410, 12, 13syl2an 589 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
157, 14jca 507 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈))))
1611, 9isrhm 19114 . 2 ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring) ∧ ((𝐹𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ (𝐹𝐺) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑈)))))
173, 15, 16sylanbrc 578 1 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑆 RingHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2107  ccom 5361  cfv 6137  (class class class)co 6924   MndHom cmhm 17723   GrpHom cghm 18045  mulGrpcmgp 18880  Ringcrg 18938   RingHom crh 19105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-plusg 16355  df-0g 16492  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-mhm 17725  df-grp 17816  df-ghm 18046  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-rnghom 19108
This theorem is referenced by:  evls1rhm  20087  evl1rhm  20096  chrrhm  20279  rhmsubcsetclem2  43047  rhmsubcrngclem2  43053  funcringcsetcALTV2lem9  43069  ringccatidALTV  43077  funcringcsetclem9ALTV  43092  rhmsubclem4  43114  rhmsubcALTVlem4  43132
  Copyright terms: Public domain W3C validator