MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2blem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2blem3 19576
Description: Sylow's second theorem. Putting together the results of sylow2a 19573 and the orbit-stabilizer theorem to show that ๐‘ƒ does not divide the set of all fixed points under the group action, we get that there is a fixed point of the group action, so that there is some ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ with โ„Ž๐‘”๐พ = ๐‘”๐พ for all โ„Ž โˆˆ ๐ป. This implies that invg(๐‘”)โ„Ž๐‘” โˆˆ ๐พ, so โ„Ž is in the conjugated subgroup ๐‘”๐พinvg(๐‘”). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
sylow2b.xf (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
sylow2b.h (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
sylow2b.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
sylow2b.a + = (+gโ€˜๐บ)
sylow2b.r โˆผ = (๐บ ~QG ๐พ)
sylow2b.m ยท = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ป, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
sylow2blem3.hp (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ pGrp (๐บ โ†พs ๐ป))
sylow2blem3.kn (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹))))
sylow2blem3.d โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
sylow2blem3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ ๐ป โІ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘”,๐‘ฆ,๐‘ง,๐บ   ๐‘”,๐พ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ยท ,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   + ,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   โˆผ ,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘”,๐‘ง   ๐‘ฅ, โˆ’ ,๐‘ง   ๐‘”,๐ป,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘”,๐‘‹,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘”)   โˆ’ (๐‘ฆ,๐‘”)

Proof of Theorem sylow2blem3
Dummy variable ๐‘ข is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2blem3.hp . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ pGrp (๐บ โ†พs ๐ป))
2 pgpprm 19547 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ pGrp (๐บ โ†พs ๐ป) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4 sylow2b.h . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
5 subgrcl 19085 . . . . . . . . . . 11 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
7 sylow2b.x . . . . . . . . . . 11 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
87grpbn0 18922 . . . . . . . . . 10 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐‘‹ โ‰  โˆ…)
96, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  โˆ…)
10 sylow2b.xf . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
11 hashnncl 14352 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘‹ โ‰  โˆ…))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘‹ โ‰  โˆ…))
139, 12mpbird 256 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•)
14 pcndvds2 16831 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
153, 13, 14syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
16 sylow2b.r . . . . . . . . . . 11 โˆผ = (๐บ ~QG ๐พ)
17 sylow2b.k . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
187, 16, 17, 10lagsubg2 19148 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)))
1918oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) = (((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) / (โ™ฏโ€˜๐พ)))
20 sylow2blem3.kn . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹))))
2120oveq2d 7429 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
22 pwfi 9196 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
2310, 22sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
247, 16eqger 19132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
2625qsss 8790 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โІ ๐’ซ ๐‘‹)
2723, 26ssfid 9285 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ Fin)
28 hashcl 14342 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) โˆˆ โ„•0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) โˆˆ โ„•0)
3029nn0cnd 12559 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) โˆˆ โ„‚)
31 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
3231subg0cl 19088 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐พ)
3317, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐พ)
3433ne0d 4332 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰  โˆ…)
357subgss 19081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐พ โІ ๐‘‹)
3617, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โІ ๐‘‹)
3710, 36ssfid 9285 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
38 hashnncl 14352 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โ†” ๐พ โ‰  โˆ…))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โ†” ๐พ โ‰  โˆ…))
4034, 39mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
4140nncnd 12253 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
4240nnne0d 12287 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โ‰  0)
4330, 41, 42divcan4d 12021 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )))
4419, 21, 433eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )))
4544breq2d 5156 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ ))))
4615, 45mtbid 323 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )))
47 prmz 16640 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
483, 47syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4929nn0zd 12609 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) โˆˆ โ„ค)
50 ssrab2 4070 . . . . . . . . . 10 {๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} โІ (๐‘‹ / โˆผ )
51 ssfi 9191 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} โІ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ {๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} โˆˆ Fin)
5227, 50, 51sylancl 584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} โˆˆ Fin)
53 hashcl 14342 . . . . . . . . 9 ({๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}) โˆˆ โ„•0)
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}) โˆˆ โ„•0)
5554nn0zd 12609 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}) โˆˆ โ„ค)
56 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))
57 sylow2b.a . . . . . . . . 9 + = (+gโ€˜๐บ)
58 sylow2b.m . . . . . . . . 9 ยท = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ป, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
597, 10, 4, 17, 57, 16, 58sylow2blem2 19575 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ยท โˆˆ ((๐บ โ†พs ๐ป) GrpAct (๐‘‹ / โˆผ )))
60 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (๐บ โ†พs ๐ป) = (๐บ โ†พs ๐ป)
6160subgbas 19084 . . . . . . . . . 10 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐ป = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)))
624, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)))
637subgss 19081 . . . . . . . . . . 11 (๐ป โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐ป โІ ๐‘‹)
644, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โІ ๐‘‹)
6510, 64ssfid 9285 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ Fin)
6662, 65eqeltrrd 2826 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป)) โˆˆ Fin)
67 eqid 2725 . . . . . . . 8 {๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} = {๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}
68 eqid 2725 . . . . . . . 8 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โІ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘” ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โІ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘” ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
6956, 59, 1, 66, 27, 67, 68sylow2a 19573 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) โˆ’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง})))
70 dvdssub2 16272 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) โˆ’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง})))
7148, 49, 55, 69, 70syl31anc 1370 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง})))
7246, 71mtbid 323 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}))
73 hasheq0 14349 . . . . . . . 8 ({๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}) = 0 โ†” {๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} = โˆ…))
7452, 73syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}) = 0 โ†” {๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} = โˆ…))
75 dvds0 16243 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ 0)
7648, 75syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ 0)
77 breq2 5148 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}) = 0 โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 0))
7876, 77syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}) = 0 โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง})))
7974, 78sylbird 259 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} = โˆ… โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง})))
8079necon3bd 2944 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง}) โ†’ {๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} โ‰  โˆ…))
8172, 80mpd 15 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} โ‰  โˆ…)
82 rabn0 4382 . . . 4 ({๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)
8381, 82sylib 217 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)
8462raleqdv 3315 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง))
8584rexbidv 3169 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐ป))(๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง))
8683, 85mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)
87 vex 3467 . . . . 5 ๐‘ง โˆˆ V
8887elqs 8781 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )
89 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )
9089oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ง) = (๐‘ข ยท [๐‘”] โˆผ ))
91 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)
92 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ๐œ‘)
93 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐ป)
94 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘” โˆˆ ๐‘‹)
957, 10, 4, 17, 57, 16, 58sylow2blem1 19574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ข ยท [๐‘”] โˆผ ) = [(๐‘ข + ๐‘”)] โˆผ )
9692, 93, 94, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ข ยท [๐‘”] โˆผ ) = [(๐‘ข + ๐‘”)] โˆผ )
9790, 91, 963eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ง = [(๐‘ข + ๐‘”)] โˆผ )
9889, 97eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ [๐‘”] โˆผ = [(๐‘ข + ๐‘”)] โˆผ )
9925ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
10099, 94erth 8768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘” โˆผ (๐‘ข + ๐‘”) โ†” [๐‘”] โˆผ = [(๐‘ข + ๐‘”)] โˆผ ))
10198, 100mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘” โˆผ (๐‘ข + ๐‘”))
1026ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
10336ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ๐พ โІ ๐‘‹)
104 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
1057, 104, 57, 16eqgval 19131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐พ โІ ๐‘‹) โ†’ (๐‘” โˆผ (๐‘ข + ๐‘”) โ†” (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง (๐‘ข + ๐‘”) โˆˆ ๐‘‹ โˆง (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”)) โˆˆ ๐พ)))
106102, 103, 105syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘” โˆผ (๐‘ข + ๐‘”) โ†” (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง (๐‘ข + ๐‘”) โˆˆ ๐‘‹ โˆง (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”)) โˆˆ ๐พ)))
107101, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง (๐‘ข + ๐‘”) โˆˆ ๐‘‹ โˆง (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”)) โˆˆ ๐พ))
108107simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”)) โˆˆ ๐พ)
109 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”)) โ†’ (๐‘” + ๐‘ฅ) = (๐‘” + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))))
110109oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”)) โ†’ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”) = ((๐‘” + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))) โˆ’ ๐‘”))
111 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”))
112 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘” + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))) โˆ’ ๐‘”) โˆˆ V
113110, 111, 112fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”)) โˆˆ ๐พ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”))โ€˜(((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))) = ((๐‘” + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))) โˆ’ ๐‘”))
114108, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”))โ€˜(((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))) = ((๐‘” + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))) โˆ’ ๐‘”))
1157, 57, 31, 104grprinv 18946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘” + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”)) = (0gโ€˜๐บ))
116102, 94, 115syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘” + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”)) = (0gโ€˜๐บ))
117116oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘” + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”)) + (๐‘ข + ๐‘”)) = ((0gโ€˜๐บ) + (๐‘ข + ๐‘”)))
1187, 104grpinvcl 18943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) โˆˆ ๐‘‹)
119102, 94, 118syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) โˆˆ ๐‘‹)
12064ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ๐ป โІ ๐‘‹)
121120, 93sseldd 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹)
1227, 57grpcl 18897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ข + ๐‘”) โˆˆ ๐‘‹)
123102, 121, 94, 122syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ข + ๐‘”) โˆˆ ๐‘‹)
1247, 57grpass 18898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) โˆˆ ๐‘‹ โˆง (๐‘ข + ๐‘”) โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘” + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”)) + (๐‘ข + ๐‘”)) = (๐‘” + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))))
125102, 94, 119, 123, 124syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘” + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”)) + (๐‘ข + ๐‘”)) = (๐‘” + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))))
1267, 57, 31grplid 18923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ข + ๐‘”) โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (๐‘ข + ๐‘”)) = (๐‘ข + ๐‘”))
127102, 123, 126syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (๐‘ข + ๐‘”)) = (๐‘ข + ๐‘”))
128117, 125, 1273eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘” + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))) = (๐‘ข + ๐‘”))
129128oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘” + (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))) โˆ’ ๐‘”) = ((๐‘ข + ๐‘”) โˆ’ ๐‘”))
130 sylow2blem3.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
1317, 57, 130grppncan 18986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘ข + ๐‘”) โˆ’ ๐‘”) = ๐‘ข)
132102, 121, 94, 131syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ข + ๐‘”) โˆ’ ๐‘”) = ๐‘ข)
133114, 129, 1323eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”))โ€˜(((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))) = ๐‘ข)
134 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”) โˆˆ V
135134, 111fnmpti 6693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)) Fn ๐พ
136 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)) Fn ๐พ โˆง (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”)) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”))โ€˜(((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))) โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))
137135, 108, 136sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”))โ€˜(((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘”) + (๐‘ข + ๐‘”))) โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))
138133, 137eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง (๐‘ข โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))
139138expr 455 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐ป) โ†’ ((๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ ๐‘ข โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”))))
140139ralimdva 3157 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป ๐‘ข โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”))))
141140imp 405 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป ๐‘ข โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))
142141an32s 650 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง) โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป ๐‘ข โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))
143 dfss3 3962 . . . . . . . . 9 (๐ป โІ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)) โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป ๐‘ข โˆˆ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))
144142, 143sylibr 233 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง) โˆง (๐‘” โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ )) โ†’ ๐ป โІ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))
145144expr 455 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง) โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ง = [๐‘”] โˆผ โ†’ ๐ป โІ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”))))
146145reximdva 3158 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ ๐ป โІ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”))))
147146ex 411 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ ๐ป โІ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))))
148147com23 86 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ ๐‘ง = [๐‘”] โˆผ โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ ๐ป โІ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))))
14988, 148biimtrid 241 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ ) โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ ๐ป โІ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))))
150149rexlimdv 3143 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐ป (๐‘ข ยท ๐‘ง) = ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ ๐ป โІ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”))))
15186, 150mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ ๐ป โІ ran (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ ((๐‘” + ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060  {crab 3419   โІ wss 3941  โˆ…c0 4319  ๐’ซ cpw 4599  {cpr 4627   class class class wbr 5144  {copab 5206   โ†ฆ cmpt 5227  ran crn 5674   Fn wfn 6538  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   โˆˆ cmpo 7415   Er wer 8715  [cec 8716   / cqs 8717  Fincfn 8957  0cc0 11133   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  โ„•0cn0 12497  โ„คcz 12583  โ†‘cexp 14053  โ™ฏchash 14316   โˆฅ cdvds 16225  โ„™cprime 16636   pCnt cpc 16799  Basecbs 17174   โ†พs cress 17203  +gcplusg 17227  0gc0g 17415  Grpcgrp 18889  invgcminusg 18890  -gcsg 18891  SubGrpcsubg 19074   ~QG cqg 19076   pGrp cpgp 19480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-pc 16800  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-eqg 19079  df-ga 19240  df-od 19482  df-pgp 19484
This theorem is referenced by:  sylow2b  19577
  Copyright terms: Public domain W3C validator