Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nelsubgcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nelsubgcld 40601
Description: A non-subgroup-member plus a subgroup member is a non-subgroup-member. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
nelsubginvcld.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
nelsubginvcld.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
nelsubginvcld.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑆))
nelsubginvcld.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nelsubgcld.y (𝜑𝑌𝑆)
nelsubgcld.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nelsubgcld (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵𝑆))

Proof of Theorem nelsubgcld
StepHypRef Expression
1 nelsubginvcld.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 nelsubginvcld.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑆))
32eldifad 3920 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
4 nelsubginvcld.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 nelsubginvcld.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
65subgss 18887 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
8 nelsubgcld.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
97, 8sseldd 3943 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
10 nelsubgcld.p . . . 4 + = (+g𝐺)
115, 10grpcl 18715 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
121, 3, 9, 11syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
132eldifbd 3921 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑆)
14 eqid 2737 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
155, 10, 14grppncan 18796 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝐺)𝑌) = 𝑋)
161, 3, 9, 15syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝐺)𝑌) = 𝑋)
1716adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝐺)𝑌) = 𝑋)
184adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
208adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑌𝑆)
2114subgsubcl 18897 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆𝑌𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
2317, 22eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑋𝑆)
2413, 23mtand 814 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
2512, 24eldifd 3919 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3905  wss 3908  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  +gcplusg 17092  Grpcgrp 18707  -gcsg 18709  SubGrpcsubg 18880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-0g 17282  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-subg 18883
This theorem is referenced by:  nelsubgsubcld  40602
  Copyright terms: Public domain W3C validator