Theorem nelsubgcld 42507

Description: A non-subgroup-member plus a subgroup member is a non-subgroup-member. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nelsubginvcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
nelsubginvcld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
nelsubginvcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
nelsubginvcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nelsubgcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
nelsubgcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nelsubgcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Proof of Theorem nelsubgcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nelsubginvcld.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		nelsubginvcld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
3	2	eldifad 3963	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		nelsubginvcld.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		nelsubginvcld.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19145	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		nelsubgcld.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
9	7, 8	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		nelsubgcld.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	5, 10	grpcl 18959	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	1, 3, 9, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13	2	eldifbd 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15	5, 10, 14	grppncan 19049	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
16	1, 3, 9, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
18	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
20	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
21	14	subgsubcl 19155	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
23	17, 22	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
24	13, 23	mtand 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
25	12, 24	eldifd 3962	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  SubGrpcsubg 19138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141

This theorem is referenced by:  nelsubgsubcld  42508