Theorem nelsubgcld 43370

Description: A non-subgroup-member plus a subgroup member is a non-subgroup-member. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nelsubginvcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
nelsubginvcld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
nelsubginvcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
nelsubginvcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nelsubgcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
nelsubgcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nelsubgcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Proof of Theorem nelsubgcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nelsubginvcld.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		nelsubginvcld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
3	2	eldifad 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		nelsubginvcld.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		nelsubginvcld.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19249	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		nelsubgcld.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
9	7, 8	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		nelsubgcld.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	5, 10	grpcl 19064	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	1, 3, 9, 11	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13	2	eldifbd 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
14		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15	5, 10, 14	grppncan 19153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
16	1, 3, 9, 15	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
18	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
20	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
21	14	subgsubcl 19260	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
23	17, 22	eqeltrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
24	13, 23	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
25	12, 24	eldifd 3913	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303  +_gcplusg 17344  Grpcgrp 19056  -_gcsg 19058  SubGrpcsubg 19242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-0g 17528  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-subg 19245

This theorem is used by:  nelsubgsubcld  43371