Theorem nelsubgcld 38574

Description: A non-subgroup-member plus a subgroup member is a non-subgroup-member. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nelsubginvcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
nelsubginvcld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
nelsubginvcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
nelsubginvcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nelsubgcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
nelsubgcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nelsubgcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Proof of Theorem nelsubgcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nelsubginvcld.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		nelsubginvcld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
3	2	eldifad 3843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		nelsubginvcld.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		nelsubginvcld.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 18067	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		nelsubgcld.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
9	7, 8	sseldd 3861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		nelsubgcld.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	5, 10	grpcl 17902	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	1, 3, 9, 11	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13	2	eldifbd 3844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
14		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15	5, 10, 14	grppncan 17980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
16	1, 3, 9, 15	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
17	16	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
18	4	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
20	8	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
21	14	subgsubcl 18077	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
23	17, 22	eqeltrrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
24	13, 23	mtand 803	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
25	12, 24	eldifd 3842	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ∖ cdif 3828   ⊆ wss 3831  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  Basecbs 16342  +_gcplusg 16424  Grpcgrp 17894  -_gcsg 17896  SubGrpcsubg 18060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-0g 16574  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-subg 18063

This theorem is referenced by:  nelsubgsubcld  38575