Theorem nelsubgcld 42520

Description: A non-subgroup-member plus a subgroup member is a non-subgroup-member. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nelsubginvcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
nelsubginvcld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
nelsubginvcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
nelsubginvcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nelsubgcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
nelsubgcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nelsubgcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Proof of Theorem nelsubgcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nelsubginvcld.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		nelsubginvcld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
3	2	eldifad 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		nelsubginvcld.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		nelsubginvcld.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19110	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		nelsubgcld.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
9	7, 8	sseldd 3959	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		nelsubgcld.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	5, 10	grpcl 18924	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	1, 3, 9, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13	2	eldifbd 3939	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
14		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15	5, 10, 14	grppncan 19014	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
16	1, 3, 9, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
18	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
20	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
21	14	subgsubcl 19120	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
23	17, 22	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
24	13, 23	mtand 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
25	12, 24	eldifd 3937	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Grpcgrp 18916  -_gcsg 18918  SubGrpcsubg 19103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106

This theorem is referenced by:  nelsubgsubcld  42521