Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nelsubgcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nelsubgcld 39934
Description: A non-subgroup-member plus a subgroup member is a non-subgroup-member. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
nelsubginvcld.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
nelsubginvcld.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
nelsubginvcld.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑆))
nelsubginvcld.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nelsubgcld.y (𝜑𝑌𝑆)
nelsubgcld.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nelsubgcld (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵𝑆))

Proof of Theorem nelsubgcld
StepHypRef Expression
1 nelsubginvcld.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 nelsubginvcld.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑆))
32eldifad 3878 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
4 nelsubginvcld.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 nelsubginvcld.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
65subgss 18544 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
8 nelsubgcld.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
97, 8sseldd 3902 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
10 nelsubgcld.p . . . 4 + = (+g𝐺)
115, 10grpcl 18373 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
121, 3, 9, 11syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
132eldifbd 3879 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑆)
14 eqid 2737 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
155, 10, 14grppncan 18454 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝐺)𝑌) = 𝑋)
161, 3, 9, 15syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝐺)𝑌) = 𝑋)
1716adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝐺)𝑌) = 𝑋)
184adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
208adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑌𝑆)
2114subgsubcl 18554 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆𝑌𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
2317, 22eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑋𝑆)
2413, 23mtand 816 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
2512, 24eldifd 3877 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cdif 3863  wss 3866  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  Grpcgrp 18365  -gcsg 18367  SubGrpcsubg 18537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540
This theorem is referenced by:  nelsubgsubcld  39935
  Copyright terms: Public domain W3C validator