MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnmz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnmz 18582
Description: A subgroup is a subset of its normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ssnmz (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssnmz
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmzsubg.2 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
21subgss 18544 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑋)
32sselda 3901 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑋)
4 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 subgrcl 18548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
74, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑆𝑋)
8 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑧𝑆)
97, 8sseldd 3902 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑧𝑋)
10 nmzsubg.3 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝐺)
11 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝐺) = (0g𝐺)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝐺) = (invg𝐺)
131, 10, 11, 12grplinv 18416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
146, 9, 13syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
1514oveq1d 7228 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = ((0g𝐺) + 𝑤))
1612subginvcl 18552 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
174, 8, 16syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
187, 17sseldd 3902 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
19 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑤𝑋)
201, 10grpass 18374 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)))
216, 18, 9, 19, 20syl13anc 1374 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)))
221, 10, 11grplid 18397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑤) = 𝑤)
236, 19, 22syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((0g𝐺) + 𝑤) = 𝑤)
2415, 21, 233eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) = 𝑤)
25 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
2610subgcl 18553 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)
274, 17, 25, 26syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)
2824, 27eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑤𝑆)
2910subgcl 18553 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤𝑆𝑧𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
304, 28, 8, 29syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
31 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
32 simplrl 777 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑧𝑆)
3331, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
34 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑤𝑋)
3531, 32, 3syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑧𝑋)
36 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (-g𝐺) = (-g𝐺)
371, 10, 36grppncan 18454 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤𝑋𝑧𝑋) → ((𝑤 + 𝑧)(-g𝐺)𝑧) = 𝑤)
3833, 34, 35, 37syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g𝐺)𝑧) = 𝑤)
39 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
4036subgsubcl 18554 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆𝑧𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
4131, 39, 32, 40syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
4238, 41eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑤𝑆)
4310subgcl 18553 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆𝑤𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
4431, 32, 42, 43syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
4530, 44impbida 801 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
4645anassrs 471 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
4746ralrimiva 3105 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆) → ∀𝑤𝑋 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
48 elnmz.1 . . . . 5 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
4948elnmz 18579 . . . 4 (𝑧𝑁 ↔ (𝑧𝑋 ∧ ∀𝑤𝑋 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
503, 47, 49sylanbrc 586 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑁)
5150ex 416 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑧𝑆𝑧𝑁))
5251ssrdv 3907 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  {crab 3065  wss 3866  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  0gc0g 16944  Grpcgrp 18365  invgcminusg 18366  -gcsg 18367  SubGrpcsubg 18537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540
This theorem is referenced by:  nmznsg  18584  sylow3lem6  19021
  Copyright terms: Public domain W3C validator