Theorem ssnmz 19135

Description: A subgroup is a subset of its normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ssnmz	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssnmz

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmzsubg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19097	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
3	2	sselda 3922	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
4		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgrcl 19101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
7	4, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
8		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
9	7, 8	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
10		nmzsubg.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	1, 10, 11, 12	grplinv 18959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g‘𝐺))
14	6, 9, 13	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g‘𝐺))
15	14	oveq1d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = ((0g‘𝐺) + 𝑤))
16	12	subginvcl 19105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
17	4, 8, 16	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
18	7, 17	sseldd 3923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
19		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑋)
20	1, 10	grpass 18912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)))
21	6, 18, 9, 19, 20	syl13anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)))
22	1, 10, 11	grplid 18937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + 𝑤) = 𝑤)
23	6, 19, 22	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) + 𝑤) = 𝑤)
24	15, 21, 23	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) = 𝑤)
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
26	10	subgcl 19106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)
27	4, 17, 25, 26	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)
28	24, 27	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑆)
29	10	subgcl 19106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
30	4, 28, 8, 29	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
31		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
32		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
33	31, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
34		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑋)
35	31, 32, 3	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
36		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
37	1, 10, 36	grppncan 19001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) = 𝑤)
38	33, 34, 35, 37	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) = 𝑤)
39		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
40	36	subgsubcl 19107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
41	31, 39, 32, 40	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
42	38, 41	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑆)
43	10	subgcl 19106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
44	31, 32, 42, 43	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
45	30, 44	impbida 801	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
46	45	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
47	46	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
48		elnmz.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
49	48	elnmz 19132	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
50	3, 47, 49	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑁)
51	50	ex 412	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝑁))
52	51	ssrdv 3928	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  0_gc0g 17396  Grpcgrp 18903  inv_gcminusg 18904  -_gcsg 18905  SubGrpcsubg 19090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093

This theorem is referenced by:  nmznsg  19137  sylow3lem6  19601