Theorem ssnmz 19154

Description: A subgroup is a subset of its normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ssnmz	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssnmz

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmzsubg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19115	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
3	2	sselda 3963	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
4		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgrcl 19119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
7	4, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
8		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
9	7, 8	sseldd 3964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
10		nmzsubg.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	1, 10, 11, 12	grplinv 18977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g‘𝐺))
14	6, 9, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g‘𝐺))
15	14	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = ((0g‘𝐺) + 𝑤))
16	12	subginvcl 19123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
17	4, 8, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
18	7, 17	sseldd 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
19		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑋)
20	1, 10	grpass 18930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)))
21	6, 18, 9, 19, 20	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) + 𝑤) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)))
22	1, 10, 11	grplid 18955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + 𝑤) = 𝑤)
23	6, 19, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) + 𝑤) = 𝑤)
24	15, 21, 23	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) = 𝑤)
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
26	10	subgcl 19124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)
27	4, 17, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)
28	24, 27	eqeltrrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑆)
29	10	subgcl 19124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
30	4, 28, 8, 29	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
31		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
32		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
33	31, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
34		simplrr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑋)
35	31, 32, 3	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
36		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
37	1, 10, 36	grppncan 19019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) = 𝑤)
38	33, 34, 35, 37	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) = 𝑤)
39		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
40	36	subgsubcl 19125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
41	31, 39, 32, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → ((𝑤 + 𝑧)(-g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
42	38, 41	eqeltrrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑆)
43	10	subgcl 19124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
44	31, 32, 42, 43	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
45	30, 44	impbida 800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
46	45	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
47	46	ralrimiva 3133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
48		elnmz.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
49	48	elnmz 19151	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
50	3, 47, 49	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑁)
51	50	ex 412	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝑁))
52	51	ssrdv 3969	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  {crab 3420   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922  -_gcsg 18923  SubGrpcsubg 19108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111

This theorem is referenced by:  nmznsg  19156  sylow3lem6  19618